降低解析几何运算量的几种思维策略

李怀忠

(甘肃省景泰县第二中学 730400)

解析几何是用代数的方法解决几何问题的一类题型，它集代数、几何、三角等知识于一体，运算量大、方法与技巧要求比较高.很多学生往往是按常规思路进行求解，常在繁杂的运算中越陷越深，不能自拔，很难将运算结果进行到底，出现半途而废的情况.如何减低运算量，提升学生的运算能力和学习效率，本文就降低解析几何运算量谈几点思维策略.

一、合理运用圆锥曲线的定义

解析由椭圆定义得PF1+PF2=2a

所以，当PF1=PF2时，PF1·PF2取得最大值a2.

点评圆锥曲线的定义运用广泛，对于圆锥曲线中与焦点有关的最值问题、轨迹问题、计算或证明问题，需要把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的.

二、合理运用曲线系方程

例2已知双曲线的一条渐近线方程为2x-3y=0且经过点(1,2)，求它的标准方程.

解析设所求双曲线的方程为4x2-9y2=λ(λ≠0).

因为已知双曲线经过点(1,2)，所以4×12-9×22=λ，解得λ=-32.

三、合理利用对称原理

例3自点P(-3,3)发出的光线L经x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆(x-2)2+(y-2)2=1相切，求入射光线L所在的直线方程

解析常规方法解此题比较困难，利用对称性能使运算简单，根据光学原理，入射光线所在的直线和已知圆关于x轴对称的圆相切，则圆(x-2)2+(y-2)2=1关于x轴对称的圆为(x-2)2+(y+2)2=1,

设入射光线所在的直线方程为y-3=k(x+3)，

所以直线方程为3x+4y-3=0 或者4x+3y+3=0.

解析此题常规的方法有两种，一种是设出过P点的点斜式方程，然后和椭圆方程联立，结合中点坐标，利用韦达定理求斜率；另一种方法是点差法，利用设而不求的思想求出斜率.现在利用对称性求解，可以使问题更加简洁.

两式相减有48x1+25y1=169 ①.

把上式可以改写为

48(6-x1)+25(2-y1)=169 ②.

由①②两式表明A(x1,y1)与B(6-x1,2-y1)均满足48x+25y=169.

所以48x+25y=169就是所要求的直线方程.

点评合理运用对称思想解题.利用轴对称和中心对称的性质沟通已知与未知的关系，来确定问题的入手点，寻找解题的突破口，从而简化计算，提高解题速度.

四、合理运用设而不求的方法

点评“设而不求”就是根据题意巧妙设立未知数来建立“未知”和“已知”之间的关系，而设置的未知数不需要求解的一种方法.点差法是设而不求的思想最典型的题型，它的特点是题目中有明显或隐含的中点，中点的坐标与斜率具有相关性，解题的程序是设出关键点的坐标，然后代入曲线方程，再作差得到问题的解决.

五、合理运用平面几何方法

点评解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，数形结合是其主要特征，因此，灵活运用代数知识的同时，充分利用问题中的几何性质，往往是解决解析几何问题的关键.本题是从平面几何的角度入手，利用了三角形的中位线的性质，找出OM与PF2的关系是本题的数学本质，彰显了数形结合的思维优势.

六、合理运用参数方法

点评参数方程是用参数把曲线上的点的横、纵坐标表达出来.圆和椭圆的参数方程，对于解决圆锥曲线上与动点有关的最值问题，直线的参数方程对于处理两线段长度的积、和、差等问题，有着普通方程无可比拟的优越性.

七、合理运用向量法

例8已知点A(1,2)，过点D(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于B，C两点，试判断△ABC的形状．

即t1t2+t1+t2+5=0.

点评由于向量具有几何和代数的双重属性，以向量为工具，几何问题代数化，代数问题坐标化，使得复杂运算更加简洁、直接；抽象问题更加具体、明了；数形结合思想体现得更深刻、更完善.

八、合理选用极坐标方程

证明将椭圆方程化为极坐标方程得

点评借助极坐标的特征表示出了所求线段的长，长度的量值关系用坐标运算完成，从而使问题得以解决.极坐标法是解决平面解析几何常用的方法，在解决过程中，遇到从一点出发的几条线段长度问题和角度问题可以考虑借助极坐标解决，利用极坐标的几何意义，结合三角函数可以使问题更加简洁、明晰.