现代微分几何学的发展（下）

陈跃 朱善军

从1920年代开始，德国有两位几何学家霍普夫（H. Hopf）、布拉施克（W. Blaschke）开始研究局部微分几何的结构与整体拓扑结构之间的关系。布拉施克是汉堡大学数学教授，他有一位十分出色的中国学生，就是后来成为现代微分几何学大师的陈省身先生。

陈省身从导师布拉施克那里学到了整体微分几何的思想方法，并学习了很新的凯勒流形理论。1936年博士毕业后，他听从布拉施克建议，赴巴黎跟随é.嘉当继续学习。在随后几年里，陈省身系统学习和掌握了é.嘉当关于李群、活动标架法、微分形式和联络几何学的思想和理论，迅速到达微分几何学的研究前沿。特别值得一提的是，陈省身在他以后毕生的研究生涯里，始终一心一意地运用微分形式这个十分有效的数学工具。

陈省身先生不愧为微分几何学的大师，在他一生所研究的范围中，实际上涉及微分几何学中大部分主要的研究方向，其中就包括射影微分几何、欧氏微分几何、几何结构和它们的内蕴联络、积分几何、示性类、全纯映射、极小子流形、值分布理论等方向。从20世纪的50—70年代这30年里，陈省身在美国的芝加哥大学和加州大学伯克利分校的数学系任教，培养和影响了一大批研究微分几何学的数学家。陈省身在1950年代初写的两本油印的教材是当时唯一的关于微分流形与纤维丛理论的教科书，因此也成了十分抢手的学习和研究资料，并且流传到世界各地，后来一直要等到1960年代才出现了第一批讲解现代微分几何的正式教材。

受到陈省身的思想和研究工作的巨大影响，并且在其他现代数学主要分支学科的合力作用下，微分几何学在20世纪后半叶迅速发展成为现代数学的一门主流分支学科，研究的主要方向包括曲率与拓扑的关系、子流形、特征值问题、调和映射、复流形、里奇流、度量黎曼几何等。从事微分几何学研究的数学家人数大幅度增加，研究的成果也大量涌现。下面仅简单介绍影响较大的几项工作。

1960年代的阿蒂亚—辛格（Atiyah-Singer）指标定理

2004年，數学界三大奖之一的阿贝尔奖授予阿蒂亚和辛格，以表彰他们在40年前证明了这个指标定理，这个定理被认为是20世纪最伟大的数学定理之一，因为它揭示了微分几何学与拓扑学、代数几何学、偏微分方程等学科之间的深刻联系。

1970年代的卡拉比—丘（成桐）（Calabi-Yau）定理

前文曾讲到凯勒流形，这种复流形是复微分几何与复代数几何（有时将这两者统称为复几何）的主要研究对象。数学家卡拉比（E. Calabi）在1950年代曾经提出过一个重要猜想：在“第一陈类”为零的紧凯勒流形中，一定存在唯一的里奇曲率为零的凯勒度量。卡拉比自己只能证明唯一性。要证明这种特殊度量的存在性问题，可以归结为求一个高度非线性的复偏微分方程的解。证明解的存在性这一极其艰难的任务是陈省身的得意门生丘成桐完成的。他运用多种几何与分析的方法（包括经典的先验估计方法），经过几年努力研究，终于在1976年证明了这个偏微分方程解的存在性，也就是把卡拉比猜想变成了“卡拉比—丘定理”。

和陈省身证明了高维高斯—博内定理相类似，卡拉比猜想的解决也同样不是一个问题的结束，而是开创了一个庞大的全新研究领域——卡拉比—丘流形的几何学。因为既然已经证明了里奇曲率为零的凯勒度量的存在性，所以数学家们自然就将具有这种特殊度量、并且第一陈类为零的复流形命名为“卡拉比—丘流形”。这种新流形的几何学在代数几何学与理论物理中具有很重要的应用。目前在理论物理中所研究的超弦理论是一种试图统一自然界中所有的力（包括量子引力）的理论，完全出乎人们意料的是，在超弦理论中所用到的主要数学模型正好就是卡拉比—丘流形！

1980年代微分几何学与规范场论的互相促进发展

物理学家杨振宁和米尔斯（R. Mills）在1954年所提出的规范场论主要用于描写基本粒子的内在对称性，利用规范场论所建立起的弱相互作用和电磁相互作用的统一理论已经为实验所证实。数学家们后来发现，规范场论中的规范势实际上就是纤维丛上的联络。不仅如此，在这个理论中出现的杨（振宁）—米尔斯方程是一组极有意义的非线性偏微分方程。于是，就像爱因斯坦在广义相对论中运用了黎曼几何一样，物理学家们大量运用纤维丛的微分几何来推进规范场论的研究，例如他们运用阿蒂亚—辛格指标定理来确定杨—米尔斯方程的自对偶解集。

在另一方面，规范场理论反过来也促进了对于微分几何学的研究。在1980年代，数学家唐纳森（S. Donaldson）发现：4维流形上杨—米尔斯方程的自对偶解集的模空间与流形的拓扑性质有直接的联系，在此基础上他发现了4维流形的新的拓扑不变量。唐纳森的崭新理论极大地推进了人们对于4维流形的研究。

2021年2月，中国科学技术大学几何与物理研究中心特任教授陈杲完成的论文The J-equation and the supercritical deformed Hermitian–Yang–Mills equation（J方程和超临界厄米—杨—米尔斯方程的变形），在数学界知名杂志Inventions Mathematics（《数学新进展》）上发表。J方程和超临界厄米—杨—米尔斯方程均是来自物理学上的方程，其中J方程是由中国科学技术大学陈秀雄和英国数学家唐纳森独立提出的，而超临界厄米—杨—米尔斯方程的变形则是由丘成桐等人提出的。

这篇论文涉及两个方程：一个是成为量子力学标准模型的厄米—杨—米尔斯方程，而另一个则正是和相对论紧密相关的凯勒—爱因斯坦方程。凯勒—爱因斯坦方程是可以用来描述非常大的宇宙尺度上的方程，而厄米—杨—米尔斯方程則是用于描述量子尺度上的量子物理现象的方程。这一工作是在稳定的前提下，建立起凯勒—爱因斯坦方程和厄米—杨—米尔斯方程之间的一座桥梁，解决了复微分几何领域里的世界性难题。

1990年代至21世纪初庞加莱猜想的彻底解决

2003年，俄罗斯数学家佩雷尔曼（G. Perelman）宣布他证明了庞加莱猜想，他所用的方法主要是改进的（“带手术的”）里奇流方法。这样，随着这个长达百年的庞加莱猜想终于被证明，20世纪微分几何学的发展成就也达到了一个辉煌的顶峰。

近年来华人数学家的又一大成就

2020年11月，中国科学技术大学的陈秀雄与王兵在Journal of Differential Geometry（《微分几何学杂志》）上发表了令人振奋的文章Space of Ricci Flows （Ⅱ）——Part B： Weak Compactness of the Flows [里奇流空间（Ⅱ）——B部分：流的弱紧性]。这篇文章标志着“汉密尔顿—田猜想”和“偏零阶估计猜想”这两个国际数学界的重大猜想被成功证明。据悉，这两个猜想曾困扰整个国际数学界20多年，并且它们的表述也有赖于微分几何学中的“里奇流”。关于他们的工作，1986年于伯克利荣获菲尔兹奖的唐纳森曾给出高度评价，称这是“几何领域近年来的重大突破”。

关键词：微分几何 整体微分几何 陈类 卡拉比—丘定理庞加莱猜想 ■