二阶离散周期边值问题的Ambrosetti-Prodi结果

王瑞 路艳琼 杨晓梅

摘要：本文讨论了二阶离散周期边值问题

解的个数与参数s的关系，其中是连续函数，f≥0是常数，T≥2是一个整数，.本文运用上下解方法及拓扑度理论获得了存在常数，当s与s位置关系变化时该问题没有解、至少有一个解、至少有两个解的结果.

关键词：Ambrosetti-Piodi問题;上下解方法;拓扑度理论

中图分类号：O175.8文献标志码：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.006

Ambrosetti-Prodi results for second-order discrete periodic boundary value problems

WANG Rui，LU Yanqiong，YANG Xiaomei

（College of Mathematics and Statistics^ Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

Abstract：This paper explores the relationship between the number of solutions and the parameter s of second-order discrete periodic boundary value problems of the form

where  is a continuous function，f≥0 is a constant，T≥2 is an integer，and s is a real number. By using the upper and lower solution method and the theory of topological degree，we obtain the Ambrosetti-Prodi type alternatives which demonstrate the existence of either zero，one. or two solutions depending on the choice of the parameter s with fixed constant s∈R.

Keywords：Ambrosetti-Prodi problem;upper and lower solution method;topological degree theory

0引言

Ambrosetti-Prodi问题是微分方程中的经典问题之一，该问题由Ambrosetti和Prodi[1]在1972年研究Dirichlet问题

解的个数时提出，其中g是一个严格凸的C函数且

λ<λ是Dirichlet问题（0.1）对应的特征值问题在Ω上的主特征值和第二个特征值.他们证明了存在一个C流形M将空间分为O和O两部分，使得

（i）如果h∈O，则（0.1）无解;

（ii）如果h∈M，则（0.1）恰有一个解;

（iii）如果h∈O，则（0.1）恰有两个解.

此后这类问题受到许多学者的关注并对此进行了大量研究.特别地，1986年Fabry、Mawhin和Nkashama[2]讨论了二阶连续周期边值问题

其中g是连续的T周期函数且对t一致满足

并得到结论：存在，使得问题（0.2）在s<s时无解;在s=s时至少有一个解;在s>s时至少有两个解.这一结果被称为A.P.结果[2].众多学者在强制性条件（0.3）下获得了不同边值问题的A.P.结果，参见文献[3-5]等.值得注意的是，2019年Feltrin、Sovrano和Zanolin[6]运用上下解方法和拓扑度理论减弱了二阶连续周期边值问题

存在A.P.结果时非线性项对t的一致性条件（0.3）.

差分方程在物理学、经济学、生态学和传染病动力学等自然科学、工程技术中有着广泛的应用，如文献[7-9]中建立的差分方程普遍描述了系统随离散时间变化的规律性.因此，对差分方程的研究引起了众多学者的关注.2015年He等[10]得到了二阶离散周期边值问题

的符号变化解和正解存在的充分条件.2008年，Bereami和Mawhin[11]运用上下解方法和度理论探究了带有离散算子的二阶非线性差分方程周期问题解的存在情况并得到了A.P.结果（参见文献[11]中的定理6、定理7）.

2006年，Bereanu和Mawhin运用拓扑度和上下解方法研究了问题

并得到了A.P.结果（参见文献[12]中的定理2、定理3），其中f，…，f连续，为参数，为常数且

我们自然会问，在减弱条件（0.7）的情形下二阶离散周期边值问题

的A.P.结果是否存在？受上述文献启发，本文探究并获得了问题（0.8）的A.P.结果.

1预备知识

令，设u（t）是定义在上的函数，则∆u（t）=u（t+1）-u（t）称为u（t）在t的差分，∆称为（前向）差分算子，用/表示恒等算子，即Iu（t）=u（t）.当n<n时，约定.

考虑问题

其中是连续函数.记，E按范数构成Banach空间，按范数构成Banach空间.

下面给出本文的主要定义及引理.首先引入离散情形下Villari条件、广义零点和上下解的定义.

定义1连续函数h（t，u（t））在+∞（或-∞）处满足离散情形下的Villari条件，若存在δ=±1和d>0，使得

对任意的u∈E且u（t）≥d（或u（t）≤-d），，成立.

定义2[8]设u是

∆（p（t-1）∆u（t-1））+q（t）u（t）=0，

定义在上的一个解，若存在，使得下列之一成立：

（1）当t=0时，u（t）=0;

（2）当t>0时，u（t）=0或u（t-1）u（t）<0.

则称t为u的一个广义零点.

定义3设α，β∈Z，若

成立，称α为问题（1.1）的下解.若

成立，则称β为问题（1.1）的上解.若条件（1.3）、条件（1.4）中的第一个不等式是严格的，则分别称α，β为严格下解和严格上解.

下面给出一些重要的结论.

引理1设是连续函数且满足

（A）对，和ε>0，存在δ>0，使得当时有.设a>0，f≥0，则当

时，α为问题（1.1）的一个严格下解.

证明设u为问题（1.1）的一个T-周期解，下证对任意有u（t）>α（t）.

令w（t）=α（t）-u（t），反设存在使得w（t）≥0.

不妨设存在包含t的最大区间使得在区间内任意一点t′，有w（t′）≥0.则由w（t+1）≥0，w（t）<0得∆w（t+1）>0;由w（t1）≥0，w（t）<0得∆w（t）<0.所以存在为w（t）的极大值点，∆w（t*-1）=∆α（t*-1）-∆u（t*-1）≤0.于是

矛盾.故假设不成立，即不存在使得w（t）≥0.因此，对，有α（t）<u（t），α为问题（1.1）的严格下解.

利用引理1的证明思路同理可得下列结论.

引理2设是连续函数且满足条件（A）.设b>0，f≥0，则当

时，β为问题（1.1）的一个严格上解.

下面考虑问题（1.1）的同伦族问题

首先给出获得问题（1.5）的解的先验界估计的两个重要结论.

引理3设是连续函数.

（1）若存在d>0，使得对任意d≤u∈E有

成立，则问题（1.5）的任意T-周期解u均满足minu<d，其中.

（ii）若存在d>0，使得对任意-d≥u∈E有式（1.6）成立，则问题（1.5）的任意T-周期解u均满足maxu>-d，其中.

证明设u是当μ∈（0，1]时问题（1.5）的任意T-周期解，对问题（1.5）在上求和可得

由式（1.6）得u（t）<d或u（t）>-d，即有minu<d或maxu>-d.

引理4設为连续函数且满足

对，，存在，使得h（t，u）≥-γ（t）成立.

则存在常数K=K（γ），使得问题（1.5）的任意T-周期解u满足maxu-minu≤K.另外，且l<l，若对有l≤u（t）≤l，则.

证明设u为问题（1.5）的任意T-周期解，令u（t）=maxu，记v（t）：=maxu-u（t），则∆v（t）=-∆u（t），v（0）=v（T-1），∆v（0）=∆v（T-1）.由可知

∆u（t-1）=-μf∆u（t）-μh（t，u（t））≤μ[f∆u（t）+γ（t）]，

将上式两边同乘以v（t）≥0，并在上求和，得

另外，对任意b>0，存在K>0，使得对，有，所以

综上，有

令，可得，则，因此maxu-minu≤K.又h是连续函数且u有界，则对且l<l，若对有l≤u（t）≤l，则.

引理5设为连续函数且满足

，，存在，使得h（t，u）≤γ（t）成立.

则存在常数M=M（γ）使问题（1.5）的任意T-周期解u满足maxu-minu≤M.另外，对且n<n，若对有n≤u（t）≤n，则.

证明在问题（1.5）中令u=-x，由类似于引理4的论证可得结果.

令f∆u（t）+h（t，u（t））=F（t，u（t），∆u（t）），下面介绍关于边值问题

的不动点理论和延拓定理.

易见为连续函数，定义线性算子L：E→Z，

和算子N：E→Z，

易证问题（1.8）等价于算子方程

Lu=μNu，u∈E.

定义投影算子P：E→E，

Pu：=u（0）

和Q：Z→Z，

令

则易证Ker（L）=Im（P），Im（L）=Ker（Q），且存在E的子空间，使得.对任意u∈E有唯一分解u（t）=u（0）+u（1），其中u（0）∈Ker（L），u（t）∈E.存在為Z的子空间.令z（t）=z（t）-Qz，验证可得z∈Im（L），又Im（L）∩Z={0}，因此.易证为双射，其逆算子为K：Im（L）→E.当且仅当全连续算子，

有不动点时，问题（1.8）有T-周期解u.

定理1设为有界开集且满足

（1）对∀μ∈[0，1]，问题（1.8）在Ω上无解;

（2）方程在上无解.

则，并且当时问题（1.8）在Ω中有解.

证明不妨设在Ω上无不动点，否则定理得证.

记，u∈Ω，μ∈[0，1].由（1）知当u∈Ω时，B（u）≠0.由拓扑度的同伦不变性有deg（B，Ω，θ）=deg（B，Ω，θ）.由边界值性质又有，，故由可解性可得，问题（1.8）在Ω中有解.

定理2设为连续函数，且满足δ=1时-∞处的离散Villari条件和.假设存在β是问题（1.1）的严格上解，则问题（1.1）有一个T-周期解，使得.另外，存在R≥d，K>0，使得

其中

证明首先构造截断函数

考虑含参方程

由的构造易证其满足，由引理4可得存在常数K，使得方程（1.9）的任意T-周期解u满足.设，由引理3，有maxu>-d，minu>-K- d=：-R.事实上，当μ∈（0，1]时，存在，使得.否则，反设对，有u（t）≥β（t），则u是

∆（t-1）+μ[f∆u（t）+h（t，β（t））]=0

的一个T-周期解，对上式在上求和，有，又由β是严格上解，故，矛盾.因此，.

令l=-R，，由引理4可知.此时在任意有界开集

上有定义，其中R>R，，.

定义均值映射

由-∞处的Villari条件有.取，则.因此由定理1得

特别地，当μ=1时方程（1.9）在Γ上至少有一个解.

下证：对，有.反设存在，使得.

令，则存在，使得w（t）在t处取极大值.所以，∆w（t-1）≤0，即

矛盾.故对，有.

因此是问题（1.1）的一个解，当对有，β是问题（1.1）的一个严格上解.

最后，对问题（1.1）应用引理4，可得常数K：=l-l>0，使得对问题（1.1）的任意T-周期解u，有.故由拓扑度的切除性可得

定理3设为连续函数，且满足δ=-1时+∞处的离散Villari条件和.假设存在α是问题（1.1）的严格下解，则问题（1.1）有一个T-周期解，使得.另外，存在R>d，K>0，使得

其中.

注1设h满足（A），β是问题（1.1）的一个上解，此时仍可证得存在T-周期解，使得在更一般的Villari条件下成立，即对任意u≤-c有.构造辅助函数

此时β是修正后的方程∆u（t-1）+f∆u（t）+h（t，u）=0的一个严格上解，定理2保证了问题（1.1）T- 周期解的存在性，其中R和K是依赖于ε的常量.在上述条件下，定理3的结论仍成立.

2主要结果

考虑二阶离散周期边值问题

其中是连续函数，f≥0为常数，为参数.

本文主要假设条件如下.

（H）对，和ε>0，存在δ>0，使得当时有.

对，，存在，使得g（t，u）≥-γ（t）成立.

对，存在，使得g（t，u）≤g成立.

对u∈E，存在σ>max{0，g}，d>0，使得对且成立.

对u∈E，存在σ>max{0，g}，d>0，使得对且u（t）≥d成立.

下面给出本章的主要结论.

定理4假设（H），，，成立，并设

则存在s∈（-∞，σ），使得

（i）当s<s<σ时，问题（2.1）至少有一个T-周期解;

（ii）当s<s时，问题（2.1）没有T-周期解.

进一步，若成立，记

则

（iii）当s=s时，问题（2.1）至少有一个T-周期解;

（iv）当s<s<σ时，问题（2.1）至少有两个T-周期解.

证明记h（t，u）：=g（t，u）-s，则问题（2.1）可改写为

下面分两步证明结论.

（1）证明对充分小的参数s，问题（2.1）无解，并给出问题（2.1）有一个解时参数s的存在区间.

若u是问题（2.1）的解，则.由条件成立可得

故当时问题（2.1）没有T-周期解.

由h满足知，当s>g时有

∆（t-1）+f∆β（t）+h（t，β（t））=g（t，u）-s≤g-s<0，

故常值函数是问题（2.1）的严格上解.设σ满足，使得当δ=1时-∞处的Villari条件成立，根据定理2可得问题（2.1）至少存在一个T-周期解u，即当s=σ时u<u.设ω是当时问题（2.1）的一个T-周期解，则问题（2.1）在时有一个T-周期解.事实上，设，由引理2知ω是问题（2.1）的严格上解，因此

由和定理2知，当时u<ω，问题（2.1）至少有一个T-周期解u.

由σ的定义可知，问题（2.1）的具有T-周期解的参数s（≤σ）的存在范围是一个以s$#为界（下有界）的区间.设

通过选择σ定义σ，由此推得，当s∈（s，σ）时问题（2.1）至少存在一个T-周期解.

（2）证明问题（2.1）至少有两个解的参数s的范围.

考虑问题（2.1）的同伦族问题

∆（t-1）+μ[f∆u（t）+h（t，u（t））]=0，μ∈（0，1].（2.3）

定义N是Nemytskii算子，（Nu）（t）：=f∆u（t）+h（t，u（t）），u∈E.定义，u∈E，μ∈（0，1]，其中R，Q，K均如第1章所定义的，则问题（2.3）存在解等价于算子方程有不动点.

设σ满足假设、，则存在正常数Λ=Λ（σ），使得当s≤σ时的任意解u

满足.引理3保证了问题（2.3）的任意解满足maxu>-d，minu<d，d=max{d，d}.由和s≤σ，有h（t，u（t））≥-γ（t）-σ.令，由引理4知存在一个正常数K=K（σ），使得对问题（2.3）的任意可能的T-周期解u，有maxu-minu≤K，故.设σ<s，ρ是非负函数，且对，s∈[σ，σ]，u[-Λ（σ），Λ（σ）]，有.由引理4知，存在常数K=K（σ，σ）>0，使得的任意解满足.定义

则

由步骤（1）可知，当时问题（2.1）有一个T-周期解.设是问题（2.1）当时的一个T-周期解.固定，下证问题（2.1）第二个解的存在性.

由于，故是问题（2.1）的一个严格上解，据有

其中R≥Λ（σ）+1，R≥K.由式（2.4）、式（2.5）和，通過拓扑度的切除性可得

故问题（2.1）在上至少存在一个解.

下证当s=s时，问题（2.1）至少有一个T-周期解.取σ<s<σ<σ，设{s}为区间（s，σ）上单调递减且趋于s的数列.∀n，至少存在一个T-周期解ω，使得

∆ω（t-1）+f∆ω（t）+g（t，ω（t））=s，

其中，.令n→∞，根据Ascoli-Afzela定理，问题（2.1）在s=s处至少存在一个T-周期解.

对偶地，本文还可在如下假设条件下获得A.P.结论.

对，存在，使得g（t，u）≤γ（t）成立.

对，存在，使得g（t，u）≤g成立.

对u∈E，存在v<min{0，g}，d>0，使得对且u（t）≤-d成立.

对u∈E，存在v<min{0，g}，d>0，使得对且u（t）≥d成立.

定理5假设（H），，，成立，并设

则存在s∈（v，+∞），使得

（i）当v<s<s时，问题（2.1）至少有一个T-周期解;

（ii）当s>s时，问题（2.1）没有T-周期解.

进一步，若成立，记

则

（iii）当s=s时，问题（2.1）至少有一个T-周期解;

（iv）当v<s<s时，问题（2.1）至少有两个T-周期解.

证明在问题（2.1）中令，由类似于对定理4的论证可得结论.

例1考虑二阶离散周期边值问题

其中.验证可得如下性质成立.

对和ε>0，存在δ=2ε>0，使得当时有

对，存在，，使得成立.

对u∈E，存在σ>max{0，g}，d>1，使得

对且u（t）≤-d成立.

对u∈E，存在σ>max{0，g}，d>1，使得

对且u（t）≥d成立.

另外，对，存在充分大的常数M，令γ（t）=M，则，使得g（t，u）≥-γ（t），即成立.

因此满足（H），，，，，故问题（2.6）满足定理4的假设，并由σ，σ满足的条件可设，，则存在，使得

（i）当s<s<σ时，问题（2.6）至少有一个T-周期解;

（ii）当s<s时，问题（2.6）没有T-周期解;

（iii）当s=s时，问题（2.6）至少有一个T-周期解;

（iv）当s<s<σ时，问题（2.6）至少有两个T-周期解.

[参考文献]

[1]AMBROSETTI A，PRODI G. On the inversion of some differentiable mappings with singularities between Banach spaces [J]. Ann Mat Pura Appi，1972，93（4）：231-246.

[2]FABRY C，MAWHIN J，NKASHAMA M N. A multiplicity result for periodic solutions of forced nonlinear second order ordinary differential equations [J]. Bull Lond Math Soc 1986，18：173-180.

[3]MAWHIN J. The periodic Ambrosetti-Prodi problem for nonlinear perturbations of the p-Laplacian [J]. J Eur Math Soc，2006，8（2）：375-388.

[4]BEREANU CMAWHIN J. Multiple periodic solutions of ordinary differential equations with bounded nonlinearities and ø-Laplacian [J]. NoDEA Nonlinear Differ Equ Appi，2008，15：159-168.

[5]SOVRANO E. Ambrosetti-Prodi type result to a Neumann problem via a topological approach [J]. Discrete Contin Dyn Syst Ser S，2018，11（2）：345-355.

[6]FELTRIN G，SOVRANO E，ZANOLIN F. Periodic solutions to parameter-dependent equations with a ø-Laplacian type operator [J]. Nonlinear Differ Equ Appi，2019，26（5）：1-38.

[7]萬飞.水下潜器航行仿真系统中深海流体的模拟[D].辽宁大连：大连海事大学，2019.

[8]马如云，高承华，马慧莉，等.差分方程理论及其应用[M].北京：科学出版社，2019.

[9]KELLEY W G，PETERSON A C. Difference Equations：An Introduction with Appications [M]. San Diego，CA：Academic Press，2001.

[10]HE T S，ZHOU Y XU Y T，et al. Sign-changing solutions for discrete second-order periodic boundary value problems [J]. Bull Malays Math Sci Soc，2015，38：181-195.

[11]BEREANU C，MAWHIN J. Boundary value problems for second-order nonlinear difference equations with discrete ø-Laplacian and singular ø[J]. Difference Equ Appi，2008，14：1099-1118.

[12]BEREANU C，MAWHIN J. Existence and multiplicity results for periodic solutions of nonlinear difference equations [J]. J Difference Equ Appi，2006，12（7）：677-695.

（责任编辑：林磊）