Lowner微分方程与调和拟共形映射

聂云梦，黄华鹰①

（安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥230601）

0 引言

设F(ω,t)∈C2(D,[0,T])，D表示复平面C上的单连通区域，t∈[0,T]，T ＞0，对Lowner微分方程1990年，Reich在文献［1］中证明以et-拟共形映射ω=f(z,t)为解的Lowner微分方程式（1）中复值连续函数F(ω,t)满足，同时证明若F(ω,t)是定义在Δ×[0,T]上的拟共形形变，且存在非负常数A，满足|Fωˉ(ω,t)|≤A，则Lowner 微分方程式（1）存在拟共形映射解. 2011 年，魏华影［2］推广Reich 的结果，证明如果F(ω,t)是定义在Δ×[0,T]上的拟共形形变，且存在非负连续函数A(t)，满足|Fωˉ(ω,t)|≤A(t)，则方程（1）的解是-拟共形映射，进一步证明了解ω=f(x,t)是R→R的拟对称同胚，当且仅当F(ω,t)满足

对任意的ω∈R，h＞0 成立，其中R是实轴，F(t)是关于t的非负连续函数. 并且对于单位圆周Γ上的情形，文献［2］也给出类似的结果. 对于Lowner微分方程（1）在拟共形映射和拟对称同胚的参数表示中的具体研究可参考文献［3-9］等.

本文将考虑一类特殊的拟共形映射—调和拟共形映射. 1968 年，Martio［10］提出这一类函数，随后，Partyka和Sakanf分别在文献［11-12］中给出关于调和拟共形映射的更多例子和性质. 特别地，Kalaj等［13］给出任一上半平面H上的调和拟共形映射f(z)，其中z=x+iy∈H，具有唯一的表示形式：

其中：u(x,y)为实值调和函数，c为固定常数.

本文将结合这一类调和拟共形映射与Lowner微分方程，考虑以下问题：具有一族上半平面的调和同胚（或调和拟共形映射）解的Lowner微分方程，F(ω,t)满足什么条件？

本文主要给出2个定理.

1 预备知识

首先给出一些基本概念.

定义1.1［14］设f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是平面区域D⊂C内具有二阶连续偏导函数的复值函数，即f(z)∈C2(D)，z=x+iy∈D， 若f(z)的拉普拉斯算子

设f(z)是平面单连通区域D上的调和映射，则f(z)具有如下形式

其中g(z),h(z)是平面区域D内的全纯函数，且其幂级数形式可以写成

关于调和映射的表示形式可参考文献［14］.

由Lewy 定理可知，函数f(z) 在平面区域D上局部单叶当且仅当f(z) 的Jacobian 行列式Jf=|fz|2-|fzˉ|2≠0.

若Jf ＞0，则称f(z)是区域D上的保向映射.

如果g(z),h(z)是平面区域D内的全纯函数，则关于z的偏导数gz(z),hz(z)可写成g′(z),h′(z).

定义1.2［15］复值连续函数F∈C2(D)在平面区域D内有广义偏导数Fzˉ，且Fzˉ∈L∞(D)，则称F是区域D内的拟共形形变. 其中L∞(D)是指在平面区域D上本性有界函数全体.

拟共形映射定义有多种形式，本文利用以下分析定义.

定义1.3［16］设f(z):D→D′是区域D到区域D′的保向同胚，若f(z)在区域D内线段上几乎处处绝对连续，且存在常数K≥1，使得不等式

对几乎处处z∈D都成立，则称f(z)是K-拟共形映射. 特别地，当K=1时，f(z)为共形映射.

由拟共形映射的分析定义可知，K-拟共形映射ω=f(z)满足如下的Beltrami方程

2004年，Duren［14］证明，若ω=f(z)是平面区域D内具有二阶偏导数的同胚映射，则f是调和函数当且仅当f的第二复伸张νf在区域D内是全纯函数.

2 主要结果

首先给出存在调和同胚解的Lowner方程所需的必要条件.

定理2.1设F(ω,t)∈C2(H,[0,T])，若Lowner 微分方程（1）的解ω=f(z,t)在H×[0,T]是一族调和同胚，则对任一t∈[0,T],F(ω,t)满足

证明对任一t∈[0,T]，由于ω=f(z,t)是上半平面H到复平面C内的调和同胚，在上半平面H上存在全纯函数g(z,t)和h(z,t)，使得ω=f(z,t)=g(z,t)+h(z,t)，并且fzzˉ(z,t)=0.

因此，具有一族调和同胚解的Lowner方程族必满足上述条件.

推论2.1设F(ω,t)∈C2(H,[0,T])，Lowner 微分方程（1）的解ω=f(z,t)是H×[0,T]上的一族调和同胚，则F(ω,0)是上半平面H的调和映射.

证明由于ω=f(z,t)是上半平面H内的一族调和同胚，则存在H×[0,T]内的全纯函数族g(z,t)，h(z,t)，使得

又ω=f(z,0)=z，则

当t=0 时，ω=f(z,t)的第二复伸张

由式（3）知，νf(z,0)=0.结合定理2.1中式（2）知，Fωωˉ(ω,0)=0,因此F(ω,0)在上半平面内是调和映射.

一个自然的问题是，具有调和拟共形映射解的Lowner方程中复值连续函数F(ω,t)是否为调和映射？对于这个问题，一般调和拟共形映射来说是难于研究的. 本文中，考虑上半平面内形如ω=f(z,t)=u(x,y,t)+iy的调和拟共形映射，以这一族调和拟共形映射为解的Lowner方程，其F(ω,t)也是一族调和映射.

引理2.1设f(z,t)=u(z,t)+iv(z,t)是定义在上半平面H×[0,T]内的一族C1类K(t)-拟共形映射，K(t)是大于或等于1 且只依赖于t的非负连续函数，若v(z,t)=c(t)y，其中c(t)为非负连续函数，则对任意t∈[0,T]，f(z,t)均是上半平面H内的满射且是bi-Lipschitz的.

证明因为f(z,t)=u(z,t)+iv(z,t)是一族C1类拟共形映射，则对任意t∈[0,T]，下列不等式成立：

其中：Jf(z,t)是f(z,t)的Jacobian行列式，K(t)是大于1且只依赖于t的非负连续函数.

另一方面，对f(z,t)=u(z,t)+iv(z,t)分别关于求偏导得到

其中：ux(z,t),uy(z,t)分别是u(z,t)的偏导数z=x+iy∈H. 将fz(z,t),fzˉ(z,t)分别代入式（4）得到下列不等式：

显然，由式（5）可以看出

从而得到

即

又K(t),c(t)均在闭区间[0，T]内是非负连续函数，从而K(t),c(t)在闭区间[0，T]内必一致有界，由上述不等式（6）和（7）可得，u(z,t)的偏导数ux(z,t),uy(z,t)在闭区间[0，T]内也是一致有界的，即存在非负常数M，使得

再由不等式（6）知，ux(z,t)＞0，(z,t)∈H×[0,T].

由v(z,t)=c(t)y与不等式（8）式可知，Jf(z,t)≠0，从而对任意t∈[0,T]，f(z,t)均是满的，且f(z,t)满足Lipschitz 条件. 又因为拟共形映射的逆也是拟共形映射，可知，f-1(z,t)也满足Lipschitz 条件，即f(z,t)在H内是bi-Lipschitz的.

定理2.2设F(ω,t)∈C2(H,[0,T]) ，若Lowner 微分方程（1）在上半平面H×[0,T]内存在一族形如ω=f(z,t)=u(x,y,t)+iy的K(t)-调和拟共形映射解，则F(ω,t)在上半平面H内是一族调和映射，其中u(x,y,t)是一族连续依赖于t的上半平面H内的实值调和函数，且满足初始条件u(x,y,0)=x，K(t)(≥1)是非负连续函数. 特别地，若u(z,t)∈C2(H,[0,T])，则F(ω,t)是上半平面H内的调和拟共形形变.

证明对任意t∈[0,T]，因为ω=f(z,t)=u(x,y,t)+iy是拟共形映射，则ω=f(z,t)关于z与zˉ的偏导数为

其中ux(x,y,t),uy(x,y,t)分别是u(x,y,t)，z=x+iy∈H的偏导数.，显然当t=0 时，F(ω,0)是调和映射.

另一方面，对Lowner 微分方程（1）两边分别对z与zˉ求偏导，得到

把fz(z,t),fzˉ(z,t)分别代入上述两个等式的两端，并化简得到

式（9）+式（10）得

式（9）-式（10）得

把式（11）代入上式得

结合式（11）和式（12）得

从式（13）（14）可看出Fω(ω,t)与Fωˉ(ω,t)互为共轭，即又因为F(ω,t)∈C2(H,[0,T])，所以F(ω,t)在H×[0,T]内的第二复伸张即F(ω,t)的第二复伸张νF(ω,t)在H×[0,T]内为全纯函数. 因此，对任意t∈[0,T]，函数F(ω,t)在H内是调和的.

另一方面，由式（14）知

又因为ω=f(z,t)=u(x,y,t)+iy是K(t)-调和拟共形映射，由引理2.1 的证明过程知，存在非负常数M，且M ＞1，使得对所有的t∈[0,T]，

特别地，由u(z,t)∈C2(H,[0,T])可知，对任意的z=x+iy∈H，ux(x,y,t),uy(x,y,t)关于t∈[0,T]分别是一阶连续偏导函数，于是得到在闭区间[0，T]内一致有界，即存在非负常数N，L，使得对所有的t∈[0,T]，均有

将不等式（16）（17）分别代入式（15）得到

记Q=MN+M2N+L，则|Fωˉ(ω,t)|≤Q2，于是得到，若u(z,t)∈C2(H,[0,T])，F(ω,t)是上半平面H内的调和拟共形形变.