双参数轨道非线性能量阱控制性能分析

2020-12-29王菁菁李浩博

科学技术与工程 2020年33期

王菁菁，李浩博，张超

(1.广州大学土木工程学院，广州 510006； 2.上海大学力学与工程科学学院, 上海 200444； 3.湖南工业大学土木工程学院，株洲 412007)

调谐质量阻尼器(tuned mass damper，TMD)是一种能够有效降低结构响应的被动控制方法[1-3]，由于其概念简单且无需外部能量输入，TMD被广泛应用于高层结构之中。TMD通过与主体结构调谐形成共振，以自身剧烈振动耗能减振。但当结构动力特性与设计值出现偏差，如在极端荷载下结构受损而频率发生变化时，TMD与主体结构失谐，减振性能大为退化[4-5]。为改善TMD对频率变化较敏感的问题，有学者提出了将阻尼增大[6]、使用多个TMD(multiple tuned mass damper, MTMD)[7-8]等方法，但两种方法都将增加TMD的使用成本和安装难度，同时MTMD还有可能引起结构的高频响应[9]。

从改变控制装置恢复力-位移关系的本质出发，非线性能量阱(nonlinear energy sink，NES)能够有效解决上述问题。NES[10-11]是一种非线性的被动控制方法，具有非线性恢复力，能够与较广泛的频率发生共振，即在主体结构频率改变时依然能够保持较高的减振性能。其中研究较多的为一型NES[12]，其通过立方刚度的弹簧单元和黏滞阻尼单元与主体结构相连。由于一型NES的自振频率随装置位移大小而变化，当输入能量过大或过小时，一型NES减振性能发生退化[13]。以一型NES为基础，有学者[14]提出了通过小车沿曲线轨道运动产生非线性恢复力的轨道NES，其能够通过改变轨道形状灵活调节控制装置的非线性程度。Wang等[15]和王菁菁等[16]对轨道NES附加于低自由度钢结构的动力性能进行了理论研究，其轨道采用单项的四阶多项式形式，仅具有一个轨道形状参数，所得恢复力-位移关系与一型NES相近。其研究中同样观察到轨道NES具有频率鲁棒性高而能量鲁棒性较差的特点。文献[17]对轨道NES附加于两自由度钢框架结构的减振性能进行了试验研究，试验结果与数值结果吻合度较高，验证了数值模型的准确性。目前，对多参数轨道NES，即采用低阶项和多阶项的组合多项式作为轨道形状的研究尚鲜见报道。在NES轨道形状中加入低阶多项式可以增加原轨道NES恢复力中的线性成分，使轨道NES同时具有线性和非线性特点，是一种改善NES能量敏感性的潜在方法。

为此，以传统轨道NES为基础，提出了具有线性和非线性特点的双参数轨道非线性能量阱(double-term track nonlinear energy sink, DT轨道NES)。首先，对低阶项和多阶项组合多项式的DT轨道NES系统进行理论分析；其次，对各DT轨道NES系统进行控制参数优化与数值模拟；最后，考察最优DT轨道NES系统分别在脉冲型荷载以及地震作用下的控制性能。

1 DT轨道NES理论分析

1.1 DT轨道NES恢复力

DT轨道NES以传统轨道NES为基础，通过质量块沿竖直平面内的曲线轨道运动而产生非线性恢复力。图1为DT轨道NES的概念模型。传统轨道NES的轨道形状采用单项四阶多项式，而DT轨道NES将轨道形状改进为包含2阶项和高阶项两项的多项式，其中2阶项产生类似TMD的线性恢复力，因而DT轨道NES具有线性和非线性双重特点。

图2为DT轨道NES的受力分析。分析中假设质量块运动时保持平动，且质量块不会脱离轨道，即恢复力连续。

图1 DT轨道NES概念模型Fig.1 Conceptual model of DT track NES

mN为NES质量；uN为NES水平相对位移；vN为NES竖向相对位移；h(uN)为轨道的形状函数，与vN实际意义相同；θ为水平向与切线的夹角；z为轨道水平位移；FNomal为NES在轨道上产生的法向反力；FN为FNomal的水平分量，即DT轨道NES的恢复力；FV为 FNomal的竖向分量；g为重力加速度图2 DT轨道NES受力分析Fig.2 Stress analysis of DT track NES

以2阶和6阶组合多项式DT轨道NES为例，采用拉格朗日方法[18]对其运动方程进行推导。

(1)

式(1)中：T为DT轨道NES的动能；V为势能；外界激励为pi(t)，其中T与V表达式分别为

(2)

V=mNgh(uN)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

DT轨道形状表达式为

(8)

将式(4)～式(8)及轨道形状表达式分别代入式(1)后，可得 NES 的运动方程为

(9)

FN的表达式为

(10)

1.2 系统运动方程

图3为n自由度主体结构顶层附加DT轨道NES的示意图，其中各楼层通过线性刚度和阻尼单元连接，NES质量与轨道间的摩擦阻尼可简化为线性黏滞阻尼[17]。

ki、mi、ci分别为主体结构第i层的刚度、质量及阻尼；xg为地面位移图3 DT轨道NES系统示意Fig.3 Phenomenological model of DT track NES system

n自由度主体结构的运动方程为

(11)

(12)

(13)

当附加DT轨道NES后，主体结构中与之相连的顶层运动方程变为

(14)

式(14)中：cij和kij分别为C和K矩阵中的第i行第j列元素;cN为轨道NES黏滞阻尼系数。

NES质量的运动方程为

(15)

2 DT轨道NES数值优化

2.1 主体结构

主体结构采用三层剪切型钢框架模型，实际结构如图4，其中固定支座板采用1 100 mm×1 100 mm×15 mm尺寸，各层楼板采用440 mm×440 mm×15 mm尺寸，柱子共有18根，采用高屈服弹性钢，为了起到保护主体结构的作用，且采用 80 mm×1.5 mm×250 mm尺寸，以上结构尺寸是根据多层框架的频率设计的。此实际结构可简化为三自由度的层串模型进行分析，DT轨道NES置于结构顶层。每层楼板质量为29.67 kg，第1～3层的刚度分别为1.86×104、2.22×104、2.88×104N/m，第1～3阶的模态阻尼比分别为0.1%、0.2%、0.9%，结构的第1～3阶自振频率分别为1.86、5.59和8.26 Hz。以上结构参数通过实际测量和识别得到。

图4 三自由度钢框架模型Fig.4 Three-degree-of-freedom steel frame model

2.2 参数优化

采用MATLAB软件对DT轨道NES的控制参数进行优化。优化采用脉冲型荷载，通过对主体结构和NES质量设置0.2 m/s的初始速度施加，此优化荷载作用下结构顶层位移峰值约为0.02 m。

NES的质量取为主体结构总质量的5%，为4.45 kg，DT轨道NES阻尼系数取为3.23 N·s/m，均与相似体量的NES研究中所取量值保持一致[19]。优化考察了四种2阶和高阶组合多项式的轨道形状，分别为2阶和3阶、2阶和4阶、2阶和5阶与2阶和6阶组合多项式，各项系数通过优化得到。优化目标为使DT轨道NES系统顶层位移响应均方根达到最小值，此时的DT轨道NES所对应的轨道形状系数为最优值。经过优化后，不同阶组合多项式的DT轨道形状函数如式(16)～式(19)所示。图5为其中2阶和6阶组合多项式轨道形状的优化图。

(16)

(17)

(18)

(19)

图5 2阶和6阶组合多项式轨道形状优化图Fig.5 Optimization results of two-and six-order polynomial track shape

2.3 最优轨道形状阶次组合

为得到最适合所考察主体结构的DT轨道NES，选择最优多项式组合作为轨道形状，将研究上节优化得到的2阶与高阶组合多项式的DT轨道NES对主体结构频率(即刚度)变化和荷载能量(即初始速度)变化的鲁棒性。其中，主体结构刚度减小代表结构构件发生损伤的影响，主体结构刚度增加代表制造偏差、非结构构件加入等的影响。

表1列出了主体结构刚度为原刚度的80%～120%时各DT轨道NES系统的顶层位移响应。其中锁住系统表示将NES质量锁定于顶层的无控系统。从表1可以看出，主体结构刚度减小或增大时，所有DT轨道NES系统较锁住结构都能有效降低结构响应。图6为主体结构刚度改变时各DT轨道NES系统与锁住系统顶层位移均方根的比值。当主体结构刚度为100%时，各DT轨道NES减振性能相当且减振比例高达50%。当主体结构刚度降至原刚度的80%和增加至原刚度的120%时，2阶和6阶组合多项式DT轨道NES减振比例仍能保持在50%左右，较2阶和3阶、2阶和4阶与2阶和5阶组合多项式DT轨道NES减振性能更优。

表2列出了初始速度改变时2阶与高阶组合多项式的DT轨道NES的顶层位移响应。图7为不同初始速度时各DT轨道NES与锁住系统的位移均方根比值。当初始速度取为优化脉冲荷载0.2 m/s时，各 DT轨道NES都能有效减少结构位移响应。

表1 结构刚度改变时各系统的顶层位移

图6 结构刚度改变时各DT轨道NES的顶层位移比Fig.6 Top displacement ratios of different DT track NES systems with various structural stiffnesses

表2 结构变速度时各DT轨道NES的顶层位移

图7 结构变速度时各DT轨道NES的顶层位移比Fig.7 Top displacement ratios of different DT track NES systems under various intial velocities

当初始速度降至0.1 m/s时，各DT轨道NES减振性能均发生退化，但此时结构位移响应较小，不会对结构安全造成影响。当初始速度增大至0.5 m/s时，相比其他DT轨道NES，2阶和6阶组合多项式DT轨道NES减振性能最优，减振比例达到40%以上。

结果表明当主体结构频率(即刚度)或改变荷载能量(即初始速度)时，2阶和6阶组合多项式DT轨道NES的鲁棒性能优于其他DT轨道NES。因此，将选择2阶和6阶组合多项式为最优DT轨道NES的轨道形状，并对比分析该DT轨道NES与TMD和传统轨道NES在脉冲型荷载和地震作用下的控制性能。

3 结构响应分析

3.1 脉冲响应分析

图8对比了原始刚度的锁住系统、TMD系统、传统轨道NES系统与DT轨道NES系统在初始速度0.2 m/s作用下的顶层位移响应。DT轨道NES系统、传统轨道NES系统与TMD系统减振性能相当，能够在短时间内降低结构响应。

图8 100%刚度0.2 m/s初始速度各系统顶层位移Fig.8 Top displacements of systems with 100% stiffness under 0.2 m/s initial velocity

图9为初始速度0.2 m/s作用下结构保持原始刚度时各控制装置的恢复力-位移曲线。当相对位移在±0.02 m范围内时，DT轨道NES的力与位移几乎呈线性关系，而当相对位移超过±0.02 m时，DT轨道NES的力与位移关系呈现出明显的非线性。DT轨道NES的力-位移关系介于线性的TMD和完全非线性的轨道NES之间，即同时具有线性和非线性两种特点。

图10为初始速度降至0.1 m/s和初始速度增至0.5 m/s时各系统的顶层位移响应。当初始速度降至0.1 m/s时，由于非线性系统对能量变化较敏感，传统轨道NES系统和DT轨道NES系统减振性能发生退化，此时TMD系统减振性能最佳。当初始速度增至0.5 m/s时，在2.5 s前，TMD系统减振性能略优于其他两个系统，在2.5 s后，DT轨道NES系统与TMD系统减振性能优于传统轨道NES系统，且DT轨道NES系统响应最小。结果表明，TMD系统能量鲁棒性最优，DT轨道NES系统减振性能在能量中等和较大时与TMD相当，传统轨道NES系统能量鲁棒性最差。

图11为主体结构刚度下降50%时各系统的顶层位移响应。与图8相比，从整个时程来看，TMD系统减振性能严重退化，而传统轨道NES系统和DT轨道NES系统仍能有效地降低结构响应。6 s左右，两个轨道NES系统减振比例高达70%，且其顶层位移响应仅为TMD系统顶层位移响应的1/2。10 s左右，两个轨道NES系统顶层位移响应已十分微小。结果表明DT轨道NES系统与传统轨道NES系统频率鲁棒性优于TMD系统。

图9 各控制装置力-位移关系Fig.9 Force-displacement relationships of control devices

图10 100%刚度各系统顶层位移Fig.10 Top displacements of systems with 100% stiffness

图11 50%刚度0.2 m/s初始速度各系统顶层位移Fig.11 Top displacements of systems with 50% stiffness under 0.2 m/s initial velocity

3.2 地震响应分析

为了研究DT轨道NES在实际地震作用下的减震性能，选取11条日本神户地震(1995年)地面加速度记录作为激励。表3列出了11条地震记录的信息，峰值地面加速度(PGA)为0.33(1号)～3.20 m/s2(11号)。

图12对比了11条地震作用下主体结构刚度不发生改变时TMD系统、传统轨道NES系统和DT轨道NES系统与锁住系统顶层位移均方根比。各控制系统均能降低所考察地震作用下的位移响应，除6号地震和9号地震外，其他地震作用下各控制系统减震性能相当，能够降低位移响应比例达40%以上，尤其是3号地震作用下可减小响应约80%。

6号地震作用下传统轨道NES系统和DT轨道NES系统响应远大于TMD系统响应，9号地震作用下传统轨道NES系统响应远大于TMD系统响应，DT轨道NES系统介于两者之间，且更接近TMD系统。原因在于地震输入结构的能量大小各不相同，当输入能量与优化荷载能量等级相差较大时，能量鲁棒性较差的传统轨道NES减震性能发生退化，而TMD系统的控制效果与能量大小无关。以9号地震为例，图13为各系统顶层位移时程，此时结构位移最大值为0.015 m，小于优化荷载作用下的 0.02 m，因此非线性控制方法减震性能不及TMD，但DT轨道NES同时具有一定的线性特点，减震效果接近TMD。与此相对，在8号地震作用下(图14)，各系统顶层位移最大值约为0.02 m，与优化荷载能量等级十分接近，各控制系统减震能力相当且减震性性能优越。

表3 地震记录特性

图15为主体结构刚度下降50%时各控制系统与锁住系统顶层位移均方根比。其中6号地震、7号地震、8号地震、9号地震和11号地震作用下TMD系统的位移响应均大于两个非线性控制系统，说明当线性系统失谐后减震性能退化严重。3号地震作用下，三个控制系统减震性能均退化严重，其原因一方面与刚度改变有关，另一方面与地震本身的能量和频谱特性有关。

图12 地震作用下各控制系统与锁住系统响应比值Fig.12 Response ratios of controlled systems to locked system under seismic excitations

图13 9号地震作用下各系统顶层位移响应Fig.13 Top displacements of systems under earthquake No.9

图14 8号地震作用下100%刚度各系统顶层位移响应Fig.14 Top displacements of systems under earthquake No.8

图16为8号地震作用下主体结构刚度下降50%时各控制系统的顶层位移响应。从整个时程图来看， DT轨道NES的减震性能远优于传统轨道NES和TMD，其中TMD的位移减小能力十分有限。与图14相比，TMD减震性能退化严重，而DT轨道NES仍保持着优越的减震性能。

根据所考察的地震响应分析可得，尽管DT轨道NES通过脉冲型荷载优化得到，但在地震作用下仍具备较好的控制性能。在大多数地震作用下，DT轨道NES的减震性能接近TMD。当主体结构刚度改变时，DT轨道NES减震性能最优，传统轨道NES次之，TMD最差。结果表明，DT轨道NES是一种兼备能量鲁棒性和频率鲁棒性的优越控制方法。