高中数学函数最值问题求解思路之我见

吴焱焱

【摘 要】 高中数学中的函数是一个重点和难点，也是充分考查学生核心素养的关键所在，而函数的最值问题更是重中之重，对此，在这个环节，如何引领学生突破思维瓶颈，达成解题方法和解题策略的融会贯通，成为我们数学教育工作者的一项研究课题。

【关键词】 函数;高中数学;策略

函数属于高中数学知识体系中的重要内容，历年来都是高考中的一个热门考点，其中，求函数最值问题考查得最为频繁，这类题目的灵活性、综合性与概念性较强，对学生的逻辑思维、推理能力与分析能力要求较高，还与其他方面的知识相结合。高中数学教师需要指导学生准确运用所学知识求解函数最值问题，帮助他们优化解题思路，找到合理的解题方法。

一、科学运用配方法迅速求解函数最值

在高中数学函数教学中求解最值问题时，在各种求解方法中，配方法是最为常见的一种，即将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形转变成完全平方式或几个完全平方式的和，能发掘出题目中的隐性条件。运用配方法求解函数最值问题时，关键在于转变之前的函数式，高中生需科学使用配方法转化题设中的函数式，转化完后就能求出函数特定的取值范围，再结合题目中给出的定义域，快速求解函数最值问题。

比如这道题目：已知f（x）=2+log3x，x∈[1，3]，求函数y=[f（x）]2+

f（x2）的最值。解析：学生在处理这类函数最值问题时，第一步需要做的是利用配方法把函数式变形，由f（x）=2+log3x，x∈[1，3]，得到y=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2=（log3x）2+6log3x

+6=（log3x+3）2-3，由于函數f（x）的定义域是[1，3]，则函数y=[f（x）]2+f（x2）的定义域是，解得1≤x≤，得出log3x∈[0，]，根据二次函数的单调性可得6≤y≤，所求函数的最大值ymax=，最小值ymin=6。反思：运用二次函数性质求解最值问题时，一定要注意到自变量的取值范围以及对称轴和区间的相对位置关系。

在上述案例中，学生运用配方法求解函数最值问题时，应当密切关注函数的对称轴，以此为前提设置与其对应的取值范围，相当于把握住题目中的隐性条件，最终迅速求出答案。

二、合理应用换元法简化求解函数最值

换元法即为面对结构比较复杂的多项式时，如果把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，就能把复杂式子变得明朗化、简单化，达到化难为易、化繁为简的效果，确定快捷的解题思路。教师可指导学生处理函数式时引入特定的变量取代某些代数式或变量，简化函数式，促使整个解题流程也变得简单化，同时要提示学生不能忽视定义域与取值范围，以此为基础求解函数最值问题。

换元法主要有代数换元与三角换元两种，其中，形如y=ax+b+

（a、b、c、d均是常数，且a≠0）的函数，常用代数换元法求解。例如：求函数y=2x+的最大值。解析：在这里可设t=（t≥0），那么x=，y=-t2+t+1=-（t-）2+≤，则该函数的最大值ymax=。解题中学生要注意换元前后的等价性，题目中t=（t≥0），并非求t的取值范围，而是需注意换元后的可操作性。三角换元则是用三角函数代替函数表达式中的某个字母，然后利用三角函数的关系，解决问题。例如：求函数y=的最大值与最小值。解析：先把函数式化简，得到y=+=+，此时令x=tan，

则f（x）=f（θ）=cos2θ+sinθ=-sin2θ+sinθ+1=-（sinθ-）2+，

所以，当sinθ=时，f（x）有最大值，ymax=，当sinθ=-1时，f（x）有最小值，ymin=-。

如此，学生根据具体题目选用代数换元法或三角换元法解决函数最值问题，把函数式化简，使解题过程由复杂变得简单，提升解题正确率。

三、大胆采用判别式法准确求函数最值

判别式法在解决数学题目时经常会用到，通过直觉对式子进行直接判断，优化解题思路。在学习数学知识过程中，直觉可谓是一项相当重要的能力，高中生已经积累了不少知识与学习经验，形成了一定的思维与判断能力，求解函数最值问题时，教师需鼓励他们大胆采用判别式法，调动自身的数学直觉，采用变形整理的方式全面转化函数表达式，判断出实根条件所对应的函数最值。

例如，在求函数最值问题时，假如能把已知函数式经过适当的代数变形后，转化成一元二次方程的形式，即a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，a（y）≠0，通过对方程有无实根的直觉判断来求得函数的最值。如：已知x、y∈R，且满足x2+y2+2xy+x-y=0，求x的最大值与y的最小值。解析：根据题目中的已知条件，将原函数式变形后得到y2+（2x-1）y+（x2+x），y∈R，则Δ≥0，那么有（2x-1）2-4（x2+x）≥0，得到-8x+1≥0，即x≤，则x的最大值xmax=。运用同样的方法，原式变形为x2+（2y+1）x+（y2-y）=0，x∈R，则Δ≥0，那么有（2y+1）2-4（y2-y）≥0，得到8y+1≥0，即y≥-，则y的最小值ymin=-。

对于上述案例，教师指导学生大胆采用判别式法求解函数最值问题，综合考虑多个因素，从而求出准确答案。

综上所述，在解答高中数学函数最值问题时，学生要牢固掌握基础知识，同时认真审题，了解题目条件与要求，根据实际情况确定求解思路，找到正确的解题方法，最终顺利解决问题。