高中数学分层辅导为学生排疑解惑

兰淋海

[摘要] 高中数学在初中数学的基础上提升了不少，不但新增了数学内容，而且拓展了数学思想和方法 。在解答数学问题时，学生普遍感到数学抽象严谨有条理、方法多样有优劣、计算能力须扎实。部分高中学生原在初中时数学基础就不是很好的，有的计算能力也弱，在解答教辅材料上的诸多习题总感力不从心，疑难问题接踵而来，甚至到了抱怨高中数学太困难了，期望老师能适时为他们排疑解难，树立起学习高中数学的信心。

[关键词] 高中数学 ; 学生疑问 ;教师解惑

高中数学要求学生具有初中的数学综合知识和计算能力，新增了数学内容，拓展了数学思想和方法 。学生在解答许多高中数学问题时，普遍感到数学有的很抽象又严谨，考虑问题要周全、解答过程要有条理性且方法手段多样并有有优劣、计算能力须扎实。笔者见到一些学生在解答一些高中数学问题过程中时感困惑、迷茫，尤其在解答教辅材料上的诸多习题总感力不从心，疑难问题接踵而来，抱怨高中数学太难了。倘若教师不能给予他们辅导，这些学生受挫心就会增加，畏难情绪表露无遗，导致他们消极地学习数学。因此，教师若能细致地为学生解惑，就能不断地促进学生探索高中数学问题，提高他们学习数学的积极性。高中学生的数学学习水平差异也较大，包括初中数学基础及其计算能力、分析能力、解决问题策略方法、数学空间想象能力等等。因人而异，分层辅导为学生排疑解惑，是以人为本的教育理念的体现，是教师的一种责任，也是一门艺术。下面择几道学生求问的高中数学题与同仁分享，以期抛砖引玉。

1.区分学生解题能力，做好不同层面的辅导工作

例1，图1，用 ， ， 三类不同的元件链成一个系统，当 正常工作， 、 至少一个正常工作时，系统正常工作。已知 ， ， 正常工作的概率依次为0.9， 0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（  ）A. 0.960       B. 0.864     C. 0.720     D. 0.576

解析：求教的学生有的茫然解答，有的无法选项。复习：若事件 ， ，...， 相互独立，则 .

用 表示“元件 正常工作”， 表示“元件 正常工作”， 。学生的疑惑：所求的概率为 ， 、 分别表示元件 与 、 同时正常工作的概率， 表示三个元件都正常工作的概率，但计算后得不出要选择的结果。笔者点拨：数学是严谨的！分三种情况中前两种都是两个元件正常工作，还要考虑余下的一个元件是不正常工作的！解开迷雾，他们改为如下的计算：

，点拨成功！

鼓励学生试着用“系统正常工作”的对立事件“系统不正常工作”的概率去间接求解。“系统不正常工作”的概率为： ，从而得到“系统不正常工作”的概率为：

本题不但考查学生对独立事件和互斥事件的理解及其概率计算方法的掌握，而且学生需要有一定的分析问题的能力和数学解题的策略。

对于解答该题毫无头绪的学生，启发如下：①独立事件概率是如何计算？②本题中三个元件怎样才能保证系统正常工作？具体有几种情况？③各元件不能正常工作时各自概率是多少？④如何列式表示“系统正常工作”概率。辅导时，更有甚者要边问边给出解答过程，直到愁云散去。

2.为学生解惑，让不同层次的学生全面理解題目的要求和合理选择解题方法

例2.甲、乙、丙三人射击命中目标的概率分别是 、 、 ，现三人同时射击目标，则目标击中的概率为             。

学生的误解：所求的概率为： =......。解题思路简单化，对题目的要求不够全面理解。

先明确题目的要求“甲、乙、丙三人射击是否命中目标”是相互独立的，“目标击中”即为“甲、乙、丙三人射击至少一人命中目标”。用 、 、 分别表示甲、乙、丙三人射击命中目标，则用 、 、 分别表示甲、乙、丙三人射击没命中目标， 表示甲、乙、丙三人射击都没命中目标，因为 、 、 相互独立，所以

= = ，因此，  ，即所求的概率为 。另一种解答，“目标击中”分为三种情况：

（1）甲、乙、丙三人中只有一个击中目标，即  ，则

（2）甲、乙、丙三人中只有2个击中目标，即 ，  ;

（3）甲、乙、丙三人中3个都击中目标，即 ， 。

用 表示击中目标，且 、 、 两两互斥，因此

对比两种计算方法，哪种方法孰优孰劣，学生有了切身的感受。容易看出，利用对立事件的概率间接地求解，计算更加简单，省去了多种击中目标的分析计算。对于各层次的学生，都要让他们全面理解题意，感受数学的严谨性，同时尽量地合理选择解题策略。

例3.学校文艺队每一个队员唱歌、跳舞至少会一门，已知会唱歌的有5人，会跳舞的 有7人，现从中选3人，且至少有1个既会唱歌又会跳舞的概率为 ，则该队共有     人。

解析：本题借助于图示帮助学生全面理解题目。如图所示，

依题意，设既会唱歌又会跳舞的有 人，则只会唱歌的有 人，只会跳舞的有 人，那么只会唱歌的和只会跳舞的共有 人，该队共有 人。从 人中选出3人，用A 表示“至少有1个既会唱歌又会跳舞”，则 表示“只会唱歌

或只会跳舞”，有  ，即 ，化为 ，容易验证 是方程的解。从而求得该队人数为9人。

在给学生辅导过程中，结合图示引导学生说出上面的各种数量关系，根据学生的回答情况有针对性地点拨。学生普遍感到图示法直观、容易理解，领略了独到的解题策略。

3.指导学生将数学式子转化，对比，针对不同程度的学生给出稍有不同的辅导

例4.函数 的图象的一条对称轴方程为（   ）

A.       B.      C.       D.

分析：对于形如函数 ，从 ， 求得

， 为函数对称轴方程。现在，命题老师把该题的函数改成了 ，求的问题不变，这时，就有些学生不知怎样解答了。有经验的学生看到 ，就会将 化为 = ，于是函数 ，化为前面所呈现的题型，即由 ， 解得 ， 为函数 的对称轴的方程，当 时，对称轴方程为 。当然，也可提示学生利用正弦与余弦和（差）角公式展开后合并，也能化为 。

以上针对不同层次的学生，还可以进行适当的延伸和拓展。如把本题要求改为求单调区间，求对称中心，求最值等。还可以提出新的问题：如何将正弦曲线 进行伸缩平移成 等。

4.解决空间几何计算问题，精心给学生分析并视学生几何基础，详略有别地辅导

例5.在正方体 - 中， 、 分别为棱 、 的中点，过 、 、 作该正方体的截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为（  ）

A.       B.      C .       D.

解析：本题是几何题，要求学生要有一定的几何基礎和空间想象力，学生感到解题困难的不在少数。

先让学生画出正方体的示意图（如图2），再教学生作出所求的截面 （如图3）。

设正方体的棱长为 ，并设正方体被分割的两部分的体积分别为 、 ，则

对于几何基础好的学生，教师指引他自己独立完成计算。而对于空间想象力差且平面几何知识薄弱的学生，教师将正方体的底面ABCD 与侧面 画在稿纸上（成为平面图形）进行引导，得出  ， 。

总之，高中数学问题有代数的也有几何的，平面几何是空间几何的基础，空间想象力是学生重要的数学能力。高中数学综合性强，解决数学问题的方法手段多种多样，要求高中学生数学综合素质比较高。分层辅导高中学生数学也是因材施教的体现。在辅导时教师应慈祥热情接受学生提出的问题，应表现出乐于帮助学生的态度，带给学生亲切感，让学生放松性情，愉悦配合。教师乐为学生解惑，有利于提高学生学习高中数学的积极性，也是教师的使命所在。

参考文献

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[2] 唐丽娜.中学数学教学中培养学生创新思维的措施[J]科技资讯.2015（26）：134-135