基于SEIR 模型改进的疫情传播模型的研究与验证

周 文，范玲瑜，吴 涛，孙 娟，麻丽俊

（北方自动控制技术研究所，太原 030006）

0 引言

2020 年新年伊始，以武汉为中心的湖北省出现了新型冠状病毒引发的肺炎传染病疫情。疫情发展初期势头迅猛，来势汹汹，向全国扩散，经过各级各地党委政府的有力、果断地管控、抑制疫情的措施，现阶段疫情已初步得到控制，同时各新闻媒体纷纷辟谣，认为此次疫情的出现可排除生物武器袭击。但此次疫情也对我们敲响了警钟，现代战争中战争手段多样化，我国又是一个人口密度大、城镇化程度不断提高，同时现代化的高铁、高速公路网十分发达的国家，一旦被敌生物武器袭击发生传染病疫情，后果十分严重。这就要求我们对现代战争条件下的传染病疫情传播模型进行深入、有效地研究和探讨，从中得出可以指导疫情应对活动的科学理论。

1 现有模型及不足

现有模型一般是基于传染病动力学的经典模型——SEIR 模型适配具体疫情传播案例的数据修正而来［1］。国内现有的比较经典的模型出现在2003年非典疫情之后，当时疫情的各类总结性数据在随后的模型研究中发挥了很大作用，现有模型基本上都是适用2003 年非典疫情传播数据的。

1.1 现有模型的假设与符号约定

1）模型所适用的疫情传播地域区域内假设总人口保持为一个常数，不考虑出生死亡率、迁入和迁出率，因病死亡的人口仍然计数在内，作为总人口的一部分［2］；

2）时间以天（d）为单位计算，传染病具有长度不定的潜伏期，定义潜伏期患者是已感染，但尚未发病的人；

3）已发病患者是可以被确诊的，同时不会被误诊，即已感染人群仅被区分为已发病患者和潜伏期患者两类；

4）潜伏期病人不具备传染性，已治愈病例、已死亡病例也不具备传染性，已治愈患者不会再次感染；

5）传播地域内所有人口分为3 大类:未感染者，即人口中的正常人，这个群体是易感人群，与感染者接触后就有一定概率感染。已感染者，即已经感染的人群，如前文所述可分为两类，已发病患者和潜伏期患者。移出者，即前文所述的已痊愈和已死亡的患者，他们实质上已退出传染病系统。

针对以上的假设，现对模型需要用到的符号及所代表的意义约定如下［3］:

1.2 现有模型的建立

根据以上假设与约定的符号，可以得到一系列关于以上几类人员之间相互转化的方程［4］:

首先可得S+I+R=N；

至此，建立起了针对传染病传播与扩散的现有比较常见的微分方程模型。

同时可建立相应的计算机模拟模型来追踪病毒的个体传播情况。在计算机模拟模型中，为了进一步简化便于数据的处理，将整个传染病系统中的人群分为5 类［5］:

传播者为f（t），指已被感染，具备传染性但未确诊、隔离，尚可自由活动与外界人群接触的群体；

每日新增确诊者为x（t），指医疗机构每日确诊并加以隔离治疗的患者群体；

被隔离的疑似患者为y（t），指与病人有接触史被政府疾控管理部门强制隔离但尚未被医疗机构确诊的群体；

有效接触者为z1（t），易感人群中每日与传播者接触后被感染的群体；

无效接触者为z2（t），易感人群中每日与传播者接触后未被感染的群体；

传播者人均每日有效接触的人数为k1，传播者人均每日无效接触的人数为k2，与传播者接触的人群中可被有效控制，隔离的比例为β。

在现有的计算机模拟模型中，一般伴随作出如下假设［6］:

1）已确诊的或已隔离的人群不会发生传染或被传染；

2）有效接触者必然会发病。

1.3 现有模型的缺陷

从之前的假设可以很容易地发现这个统一模型的缺陷［8］:

1）未考虑潜伏期病人的传染性，而很多传染病的潜伏期病人都具有传染性；

2 改进方法和提出新模型

2.1 建立统一模型

前文给出了基于SEIR 模型的微分方程模型形式，和便于跟踪个体感染情况的计算机模拟模型的形式，现将两者联立，建立一个统一模型，便于进一步分析和改进模型。

2.2 考虑潜伏期病人的传染性

2.3 考虑潜伏期长度的概率分布

3 新模型的数据模拟与求解

为了验证所建立模型的有效性，需要寻找有关传染病的官方统计数据，使用这些数据对模型中相关参数赋值，并将模型在Matlab 中编程实例化，将相关结果以图表形式显示即可直观判断模型的效果。本文以2003 年“非典”疫情的相关统计数据为依据，对本文所设计的模型进行模拟仿真与求解。

由公开披露的“非典”疫情的相关数据［10］可知，“非典”潜伏期从2 d～7 d 不等，潜伏期的长短服从以5 d 为期望值，2 d 为方差的正态分布；潜伏期感染率非常小，认为v 低于千分之一，可忽略；自由携带者将以68%的概率在3 d～7 d 内发病，以95 %的概率在1 d～9 d 内发病；4 月20 日政府调控之前k1为3，β 为0.1，4 月20 日政府调控后k1为1，β 为0.6；缺乏疫情初始几天的染病人数，在程序中用1个1～6 的向量模拟最初6 d 的感染人数；从发现疫情到4 月20 日政府采取措施历时35 d，k 取值1.35，λ 取值为0.6。Matlab 程序中主函数如下:

可以看到主函数调用了func1 和func2 两个函数，前者主要作用是计算人群被感染1 d 后才可能被发现并采取措施时人群中各类群体数量的变化，后者作用是计算感染者当天即可被发现并隔离的情况推算，其中代码在此不作赘述。Matlab 程序运行后得出对3 月15 日作为疫情传播开始的每日新增患者数的序列，首先来看感染后1 d 即采取隔离措施时所得的序列值，及序列值拟合而成的曲线与实际数据的对比结果。序列值如下:

拟合曲线与实际情况对比如图1 所示。

图1 实际感染情况与仿真拟合曲线对比图

如果进一步考虑疾控部门采取措施的时效性对疫情蔓延的影响，可以制作感染后滞后5 d 才采取措施及提前5 d 采取措施这两种情况下的仿真数据，并与目前的拟合曲线作对比。

图2 提前与滞后5 d 干预感染情况仿真对比图

4 对新模型的评价

通过以上对本文所建立的新模型的介绍，以及按照2003 年“非典”疫情的相关数据对新模型进行参数赋值，并进行数据模拟与求解的结果分析来看，新模型对于一般烈度的、固定地域范围内的传染病疫情传播有一定的预测、指导意义，可以对局部区域传染病蔓延时的应对工作起到一定的参考价值。但新模型由于考虑因素有限，同时可供使用的真实疫情数据十分有限，不可避免地暴露出以下问题和不足:

1）本模型考虑到了潜伏期病人的传染性，但使用的“非典”疫情的特点是潜伏期病人传染率极低，未能充分验证潜伏期病人传染性高时的情况对模型预测结果的影响，需要进一步进行研究；

2）本模型考虑的情况倾向于小区域，较大人口规模，同时初始感染人数少，且未考虑正常的人口迁移和流动。实际的情况中，初始感染人数的预测是比较困难的；同时现代社会交通发达，各地区间人口流动频繁，对一系列相连区域统筹考虑疫情传播模型，可能会牵扯到马尔科夫随机过程，这也需要后续能够进行深入研究。