结合局部和非局部信息的FCM 图像分割算法

宋小鹏，李国熊，张 权，桂志国

（中北大学生物医学成像与影像大数据山西省重点实验室，太原 030051）

0 引言

图像分割就是根据灰度、纹理或者形状等图像特征，把图像分成若干个特定的、具有同质性区域的过程［1］，在目标探测与追踪、模式识别、机器视觉以及军事图像处理等领域有着广泛的应用，是图像处理领域重要的研究课题。模糊聚类算法作为一种无监督图像分割算法，通过模糊集合理论对数字图像进行有效地分割，已经在图像分割领域得到了广泛地应用。

作为一种软聚类算法，模糊C 均值聚类算法（fuzzy C-means，FCM）［2-3］引入隶属度，隶属度表示单个像素属于某个类的可能性大小。未被噪声污染的图像能较好地被FCM 算法分割，但对噪声图像的分割效果不理想，这是由于数字图像本身具有复杂性和多样性的特点，标准FCM 算法对在目标函数最小化的原则下，没有考虑像素点的空间邻域信息，仅将图像的灰度信息作为分类依据，抗噪性能较差。针对标准FCM 算法对噪声敏感的问题，有大量的学者进行了相关研究，并从不同的角度提出了很多有效的改进算法［4-8］。其中，Ahmed 等人最早在目标函数中添加了空间邻域的约束项，提出了FCM_S 算法［4］，Chen 等人通过评估邻域像素对中心像素的影响，提出FCM_S1&S2 算法［5］，提高了运算速度；KFCM［6］算法用核函数替代了FCM 中的欧式距离作为测度，将像素灰度变换到新的特征空间进行处理；Szilagyi［7］等提出一种基于图像灰度级的快速FCM 算法（En-FCM），通过计算像素与局部邻域像素的线性加权，提高了分割速度。Cai 引入了同时包含邻域空间距离以及邻域灰度差的相似度量方法，提出FGFCM算法［8］；Zheng 提出一种结合广义平均和多层聚类的GHFCM 算法［9］，该算法具有较好的拓展性。

上述算法均利用了像素邻域信息，改进了FCM目标函数或者对算法迭代过程中隶属度进行处理，从而达到抑制噪声的目的。这些算法中，参数的选择是一个至关重要的环节，参数的大小直接关系到分割效果的优劣，针对不同的图像或者同一图像含有不同水平的噪声，均需通过调整参数，使得分割效果达到更好。为解决上述问题，Stelios 等提出了一种不受参数影响的改进FCM 算法-FLICM［10］。在FLICM 的目标函数中包含一项模糊因子，用于替代其他改进算法中含有参数的添加项，提高了算法的稳健性。在FLICM 算法中，噪声图像像素间的约束关系不准确［11］，邻域像素对中心像素的抑制作用仅取决于像素之间的欧式距离，这使得在对含有较多细节和边缘的图像进行分割时，造成图像细节的丢失和边缘模糊，Gong 等在FLICM 基础上，提出一种折衷模糊因子的改进算法［12］，采用核空间距离替代了传统的欧式距离。为了进一步提升FLICM 的抗噪性能和边缘细节保护能力。Zhang 等将图像的非局部信息引入到FLICM 的模糊因子中，提出NLFCM［13］算法，将像素之间的相关性引入到模糊因子中，像素之间的抑制程度由其相关性决定，而非空间距离，使得周围像素对中心像素的抑制程度更加合理。NLFCM 解决了由于欧式距离作为模糊因子权重带来的边缘模糊和细节丢失问题，在对噪声图像分割中保持了良好的细节效果。为了进一步提升算法的抗噪性能和边缘细节保持能力，本文提出一种同时结合局部与非局部信息的改进FLICM 算法-LNLFCM（Local and Non-local FCM）。本文改进算法中的模糊因子同时包含局部项和非局部项，并根据像素点的灰度和结构信息，自适应地计算局部项和非局部项的权重，使周围像素对中心像素的抑制程度更加合理，从而达到在降噪的同时，对边缘和细节进行较为合理分割。

1 相关算法

1.1 标准FCM 算法

其中，ε 为收敛阈值。

在目标函数最小化的原则下，标准FCM 算法在对图像分割时，将图像的灰度信息作为分类的唯一依据，所有特征向量之间互相独立，邻域信息没有得到利用，忽略了图像中像素与像素之间的关系，导致了算法对噪声的敏感度高，图像中的噪声点容易被错误分类。

1.2 FLICM 算法

在图像分割中，降噪和边缘细节保护是难点。EnFCM、FGFCM 等算法均需要图像的先验信息来确定算法中的具体参数，使分割效果在降噪和保护细节上相对平衡。为此，Stelios 提出了FLICM 算法［9］，FLICM 算法引入了不需要依赖图像先验信息的模糊因子Gki，Gki作为其目标函数的惩罚项，控制着算法在降噪和细节保护上的平衡。FLICM 算法中Gki定义如下:

其中，Ni为点i 邻域，dij为中心像素点i 与邻域内某像素点j 之间的欧式距离。在迭代过程中，由于模糊因子的作用，邻域内相关像素点隶属度的收敛值很接近，从而使图像噪声得到抑制。下面给出FLICM的目标函数:

在式（2）的约束条件下，通过迭代，使目标函数最小化，迭代过程中，隶属度和聚类中心更新如下:

在FLICM 算法目标函数的模糊因子中，邻域像素对中心像素抑制程度的权重仅仅依赖于像素之间的欧式距离，忽略了像素本身的结构信息，邻域内像素对中心像素的抑制作用是强制性的。图像边缘处的像素点在邻域像素的作用下，其隶属度会发生较大的变化，最终导致错误分割。

图1 FLICM 对合成图像分割

图1（a）为添加了高斯噪声（δ=20）的人工合成图像，其大小为256*256。采用FLICM 算法对其进行分割，图1（b）为分割结果，（c）、（d）分别为（a）、（b）局部放大图，可以看出，在类间交界处，有大量的像素被错分。

1.3 NLFCM 算法

Zhang 等［13］将非局部均值滤波［14］的思想引入到了FLICM 的模糊因子中，提出了NLFCM 算法。NLFCM 充分利用非局部均值滤波中片相似性的特点，构造了一种像素相关性的计算方法，使得非局部邻域内像素点对中心像素的影响程度由像素的结构信息决定，而非传统欧式距离。其模糊因子为:

其中，Wir为以i 点为中心的非局部搜索窗，其半径为r。S（i，j）表示像素相关性:

Ni和Nj分别为以点i 和点j 为中心的图像块（大小一般取3*3）。其中，

上式中，Zi定义如下:

由于在聚类迭代中，非局部均值计算耗时长，时间复杂度大，所以算法的非局部搜索窗不宜过大。若搜索窗较小，非局部均值思想的优势没有完全得到发挥，特别是当图像噪声过大，容易造成噪声点错分聚集的现象。

2 LNLFCM 算法

为了解决上述算法中的问题，本文提出一种同时结合了图像局部信息和非局部信息的模糊因子Gki，相应算法为LNLFCM 算法。Gki定义如下:

其中，GkiL表示模糊因子局部项，同FLICM 中Gki的相同，GkiL则表示模糊因子的非局部项；为非局部项的相对权重系数，相应的，1-则为局部模糊因子的权重系数。模糊因子局部求和项是经过欧式距离加权计算得出，而在非局部项中，各个加和项是经过非局部归一化得出，这导致了模糊因子局部项对中心像素的影响作用要大于非局部项，因此，本文采用平衡系数θ 对非局部项进行放大，使局部项和非局部到达平衡。

Ni为局部项邻域大小。下面给出GkiNL的定义:

其中，wij:

其中，α 为高斯加权欧式距离的标准偏差（本文取1.5）。在非局部均值滤波算法中，h 的大小决定了滤波的结果［15］，h 越大，则平滑的程度越大，越适用于噪声较大的图像；当噪声较小，则应采用较小的h值。本文提出h 自适应取值方法:

Dj为像素j 的局部标准方差（窗口大小3*3），N为图像像素总和。待分割图像噪声越大，则h 取值越大，搜索窗内像素对中心像素的影响越大，各个像素点隶属度越接近，越可能被划分为同质区域，使去噪能力增强；反之亦然。

文献［16］中提出一种对相似度择优取平均的方法，设xj为当前处理像素点，非局部搜索窗Ωj半径为r，由式（16）、式（17）计算出xj与Ωj中像素归一化后的相关性系数wij，对wij进行降序排序，定义如下:

定义ws为wij中第s 大的值。

LNLFCM 算法具体算法步骤如下:

1）初始化聚类数目c，模糊指数m，收敛参数ε，设定局部邻域半径l 和非局部搜索窗邻域半径r；

2）在满足式（2）的条件下，对隶属度矩阵U 进行随机初始化，并由式（9）初始化聚类中心；

3）由式（15）计算出平衡系数θ，并根据式（17）和式（20）分别计算出每个像素wij和；

4）根据式（8）、式（14）更新隶属度U；

5）由式（9）更新聚类中心V；

3 实验与分析

本文算法分别对叠加了噪声的合成图像、军用战斗机图像进行分割实验。对实验选取图像添加不同种类、不同程度的噪声，并将本文算法分割的结果与FLICM 以及NLFCM 的分割效果进行对比。实验中，模糊加权指数（m）为2，收敛阈值为0.02，局部邻域半径l 为1，非局部搜索窗半径为r 为3。

3.1 合成图像

为了评估各种算法分割效果，本文引入分割准确率SA 来分析算法的分割效果［17］，SA 表示分割结果中，得到正确划分的像素点与图像所有像素总和之比，定义如下:

其中，Ak表示分割结果中第k 类的像素总和，Ck代表原图像中第k 类像素总和的理想值，SA 越高，正确分割率越大，分割效果越好。

图2（a）为包含了4 类的合成图像，其大小为256*256，图2（b）为高斯噪声图（δ=20），分别用FLICM、NLFCM 以及本文算法进行噪声图像分割，分割结果越接近图2（a），错分率越低。从分割结果来看，FLICM 算法在分割过程中对大部分的噪声进行了抑制，但由于其模糊因子权重只依赖于欧式距离导致有大量在类间交界的像素点被误分，造成了视觉模糊；NLFCM 在边缘处的分割效果较好，轮廓明晰，但其在平坦区仍有部分噪声点没有得到正确分类，而本文算法不仅对噪声有着较好的抑制，其在边缘处正确分割率也较高。

图2 对含高斯噪声合成图像分割结果

对图2（a）添加不同水平的高斯噪声，下页表1为各个算法对噪声图的分割结果SA 统计。数据显示，本文算法有着较好的分割性能。

表1 各算法对合成图像分割准确率（SA）对比

3.2 军用战斗机图像

本文对军用某战斗机图像进行分割实验，目的是将图中所示目标（战斗机）从背景（云层）中分割出来。为了更全面地对算法评判，本文引入划分系数（Vpc）和划分熵（Vpe）［18］，划分系数和划分熵被广泛应用于评价聚类效果，Vpc和Vpe定义如下:

划分系数Vpc越大，划分熵Vpe越小，则模糊聚类分割效果越好。

对原始待分割图像和噪声图像分别进行分割实验，其中噪声图像的噪声类型为高斯噪声，均值为0，δ 为10。设定分割类数为2，分别是背景云层和目标前景。图3（a）为原始待分割图像，图3（b～d）分别为FLICM、NLFCM 以及本文算法LNLFCM 算法的分割结果。另外，图4（a）给出了噪声图，图4（b～d）分别给出了FLICM、NLFCM 以及本文算法LNLFCM 对噪声图的分割结果。

图3 对原始军用战斗机图像分割结果

图4 对噪声军用战斗机图像分割结果

观察图3，对比分割结果，发现前两种算法均有明显错分（飞机机头左下的一块背景区），而本文算法表现较好，无明显错分。所以，在对原始图像进行分割时，本文算法有明显优势。另外，观察图4 可知，在存在较强噪声的情况下，FLICM 分割结果细节信息丢失严重（例如螺旋桨部分），且仍有明显错分；在3 种算法中，NLFCM 对噪声抑制的效果最差；从图4（d）可以看出，本文算法既对噪声抑制较好，又能保持边缘信息，视觉效果最佳。

分别对含有不同水平噪声的图像进行分割实验，表2 给出了实验的Vpc和Vpe。可以看出，对于不同水平的含噪军事战斗机图像，从Vpc和Vpe的数据统计分析，本文算法有着更好的模糊划分效果。

表2 各算法对军事图像分割Vpc 和Vpe 对比

4 结论

本文针对FLICM 算法对边缘细节保护能力不足的问题，提出了一种改进的FLICM 图像分割算法。通过引入一种结合了局部信息与非局部信息的模糊因子，有效解决了FLICM 算法中模糊因子权重仅由传统欧式距离决定带来的边缘模糊、细节丢失的问题。对合成图像以及军用战斗机图像做分割实验，并与FLICM 和NLFCM 算法对比，结果证明，本文算法在保持良好的抗噪性能的基础上，不仅有效地提升了分割准确率，而且有着更好的模糊划分效果。