数学猜想及其在教学中的应用

◎邹琳

根据中国日报网在10月31日发布的文章中提到最近全球有多名学者声称证明了黎曼假设，而黎曼假设是当今世界最著名、最重要的数学猜想。许多专家学者认为，如果这一猜想被证明成立，它将对数学乃至科学的发展有着极为重要的推动作用。可以说，猜想是当今社会科学经济实力发展的强大动力之一。但是，伴随着教育课程改革以及数学学科核心素养的引进，数学学科的课堂教学环节面临着新一轮严峻的挑战。同时，数学教学活动的目标指向性也更加的明确，更加重视数学探究活动和数学建模活动，促进学生创新意识和应用能力的发展。猜想作为一种数学发现的方法，有助于提高学生的创新能力。

随着社会的不断进步，教育的不断改革，教学方法的不断改进，教学方式也在不断做出改变，而作为和创新相关的“猜想”不断的出现在人们的视野。数学猜想更是被列入数学学习的主要方法之一，由此可见其重要性。数学猜想的方法不只体现在对于教学方法的改进，它对于学生的学习更有着促进和推动的作用。本文首先介绍了数学猜想的含义，把数学猜想的类型作了总结并给出相应的实例；最后，我们结合数学教学实践，探讨了数学猜想教学的深远意义。

何谓数学猜想？它是指在现有数学理论和方法的指导下，以已知事实、数学知识和知识为基础的预测推理。它是数学学科教学研究中一种特别常见的科学方法，也是数学学科发展的一种重要形式。作为一种手段，猜想的目的是通过推理来验证猜想的正确性。猜想是一种合理的推断，它补充了论证中使用的逻辑推理。对于没有结论的数学问题，猜想的形式有助于问题解决思路的正确归纳；猜测也是我们思考解决问题策略的重要方式。

猜想是在某些思维方法的指导下进行的。数学猜想的一些基本方法是构成学生猜想能力的基本要素。在数学学科教学中，教师为了培养提高学生的数学猜想能力，有必要帮助学生掌握数学猜想的一些基本方法。这里有一些细节。

一、归纳性猜想

归纳猜想的含义是在特定事物的前提下推导出一般结论的过程。由于归纳推理通常与人们理解普通事物的方式一致，因此很容易被接受和理解。利用数学中的归纳猜想可以发现和解决一些一般性问题。这里我们所说的归纳法主要是指不完全归纳法。其思维方式主要是：调查问题，归纳问题，进行合理猜测。例如在数学“二项式定理的推导”时，就可以用归纳猜想分析：首先从较为常见的简单情形着手研究：

它们都是（a+b）n（n ∈ N）的一种情形，那么下面的问题自然就是：它们的展开式具有什么样共同的属性呢？怎样展开（a+b）14？那么一般形式（a+b）n又是如何展开的呢？我们现在经过分析得到（a+b）4展开结果的过程如下：

这个时候，我们可以引导学生列表观察，从中寻找出规律性的东西，同时进行大胆猜测。由此不难归纳猜想出：对于（a+b）14展开后共有15项，它们分别是a14、a13b、a12b2、…、ab13、b14，它们的系数虽然不能一下子给出，但是我们根据上面的规律，一定可以求出。用同样的方法似乎也可以解决（a+b）n的展开问题，尽管此时还没有推出二项式定理，但显然学生大胆的猜想已经获得了许多重要的成果，这对掌握二项式定理的推导及其性质非常关键。

二、类比性猜想

类比是一种思维方式，它基于这样一个事实：两个物体之间存在着某些相同或相似的属性，而且它们也可以具有其他相似的属性。伊曼努尔·康德曾经说过”只要理性缺乏可靠的推理路线，类比就是解决之道。“这是我最可靠的老师，”开普勒说，他最强调类比。因此，在数学探索中，通过比较两个命题的共同性质，猜出新命题的方法并不少见。例如，找到任意点P与长度为1的正六边形之和。我们可以把这个问题和一个类似的正三角形问题联系起来：从任意点P到正三角形两边的距离之和是一个固定值。我们可以用”面积法”来证明

从P点到每边做垂直线PD、PE、PF，分别设为 h1、h2、h3，连接 PA、PB、PC，然后SΔABC=SΔPAB+SΔPBC+SΔPCA。设 ΔABC 的边长为a，面积为 S，则有 S=12ah1+12ah2+12ah3，故h1+h2+h3=2Sa（定值）。通过将这个问题与关联命题相类比，我们得到一个猜想：正六边形任意点P到每边的距离之和是2Sa的固定值，其中S是正六边形的面积，a是每边的长度。我们可以通过与上述方法的类比来证明这一猜想，从而很容易地解决上述问题。

三、试验性猜想

实验猜测是用实验的方法来研究，每个实验可以给人们提供一种信息，然后得出相应的猜测。如，计算13+23+33+…+n3的和。我们可以尝试代入具体数字，通过实验来发现这个式子的规律：

从以上的测试结果，我们可以很容易地找到这些公式的共同点：方程的右边是自然数的平方，所以我们可以得到如下初步猜测：立方和的第一个n个自然数是自然数的平方。为了得出更清晰的结论，我们将进行下一个测试，并进一步分析这些平 方 数 （ 即 1，3，6，10，15）：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5，因此我们推测了一个更明确的命题：前n个自然数之和等于n个自然数之和的平方，即 13+23+33+n3=[n（n+1）/2]2。

四、探索性猜想

探索性猜想是指运用合理性探索的方法，在已有的知识经验的基础上，对此类问题进行研究，进而对结论的方向首先作出猜测。这一猜测可以不是“一步到位”的，往往需要根据不断的修正来探讨分析结论的正确性，以此来增强其合理性和可靠性。探索性猜想的思维方式一般是：合理猜测——不断修改——再思考。一道例题如下：若△ABC的边长分别为2，1.5，2.点p是三角形中的一个点。求点p到三角形的最大距离。下面我们来分析一下这道题的思路，设点P到三边的距离为x，y，z，f（P）=xyz，考虑用平均值不等式求最大值。因此，我们可以猜测x+y+z是一个固定值。由已知很容易得到，△ABC是直角三角形，只要我们在斜边所在的高上任取两点，就可以验证x+y+z为定值是不可能的。我们再进行进一步猜想：如果x，y，z的若干倍之和为一个定值，则这个问题可以解决。事实上，根据三角形面积关系S△PAC+S△PAB+S△PBC=S△ABC便 可 以 得 出3x+4y+5z=6， 于 是 f （P）=xyz=160（3x+4y+5z）≤1/60 （3x+4y+5z/3）3=1/60（6/3）3=2/15，∴ 当 3x=4y=5z=2 时 ，即x=2/3，y=1/2，z=2/5时，xyz有最大值为215。数学中的一些定点或定值问题可以通过先猜测不动点或定值，然后再验证猜测值的正确性而较容易地解决。

关于数学猜想的教学意义，我从阅读的一些文献中总结如出，数学猜想可以说是数学学科发展的动力，也是科学发现的先导者，数学猜想促进了我国数学理论的发展以及对数学学科教学方法的研究。我们可以通过研究过去著名的费马猜想、哥德巴赫猜想等一些数学猜想的发展史，这些著名猜想对于数学的研究和发展起到了很大的推波助澜的作用。我们发现也正是这些伟大数学家的猜想，数学科学才能够发展成为现代数学。猜想是解决一般数学问题的重要思维方式，是培养学生创造性思维的重要组成部分。同时，我认为知识不是主体对客观现实的被动反映，而是主动建构的过程。学习者在构建知识系统和理解假设猜想、推理和验证的过程中，我们便可以不断地进行思考，处理和转化各种数学信息。因此，我们可以认为假设是数学建构中学科思维的重要关键环节，它能够促进对数学知识的同化，加速知识的产生和迁移，有着科学性、假设性、批判性、敏捷性等特点。但我国传统的数学教学过分强调数学学科的科学性和严谨性，忽视了猜想等非逻辑思维能力的培养，严重阻碍了学生思维能力的培养，特别是可持续发展能力的培养。