结构可靠度分析的概率密度演化理论

周通 彭勇波 李杰

摘要：为提高结构可靠度分析的精度和效率，发展了自适应代理模型与概率密度演化理论组合的一类高效可靠度求解方法。由于候选点集分布对于目标代理模型的导出速率具有关键作用，考察了GF偏差点集与常用MCS点集对代理模型构建的影响，确定了GF偏差点集作为优选点集。为验证优选点集及自适应代理模型与概率密度演化理论组合可靠度分析方法的有效性，以径向基函数为基础，开展了解析函数的代理模型构建与随机非线性结构抗震可靠度评估。结果表明：GF偏差候选点集增强了代理模型的构建效率，进一步提高了自适应代理模型与概率密度演化理论组合可靠度分析方法的精度和效率。

关键词：结构可靠度;概率密度演化理论;自适应代理模型;GF偏差点集;MCS点集

中图分类号：0213.2;0324文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）05-1035-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.018

引言

工程结构在服役期内会遭受灾害性随机动力作用，如地震、强风和巨浪等。同时，结构系统自身的力学行为也具有明显的随机性。因此，开展结构在灾害性动力作用下的可靠度分析工作对于评估结构性能、保障结构安全性至关重要。目前，求解结构可靠度的方法一般可分为四类：（1）近似数值法，如1阶和2阶可靠度分析方法（FORM，SORM）。该类方法基于功能函数在最可能失效点处进行1阶或2阶的Taylor展开。然而，该方法不适用于存在多个最可能失效点和功能函数具有较强非线性等情形。（2）随机模拟方法，包括直接蒙特卡洛模拟法（MCS）及其改进方法，如子集模拟等。这类方法简单易行，但计算效率相对低下。（3）代理模型方法，即利用代理模型来近似表征结构的功能函数，由此估计失效概率。常用的代理模型包括Kriging、径向基函数（RBF）等，这类方法的精度取决于所采用的代理模型类型和抽样策略。（4）直接积分法。该类方法通过导出功能函数的概率密度函数，从而直接积分求解失效概率。然而，概率密度解析解一般较难获得，通常利用结构响应的前若干阶统计矩来估计概率密度，如最大熵法等。

基于概率守恒原理，近年来发展了一类获取概率分布精确解答的概率密度演化理论（ProbabilityDensity Evolution Method，PDEM）;并借助等价极值事件准则，实现了首次超越问题的精确求解。然而，基于PDEM的可靠度分析，其计算效率依赖于概率空问剖分代表点的数目（每一个代表点对应着一次确定性结构分析）。目前发展了一系列选点策略，主要包括：数论选点法、切球选点法、拟对称选点法和基于广义F偏差（Gener-alized F-discrepancy，GF偏差）最小准则的点集优选策略等。其中，基于GF偏差最小化准则所得到的样本点集（简称为GF偏差点集）因在概率空问中的分布均匀程度进一步增强而应用最为广泛。为有效降低PDEM的计算成本，通过构建代理模型直接估计结构确定性解答是较为直观的方式。然而，构建代理模型的关键在于如何在保证满足精度条件下采用尽可能少的样本点来进行训练学习。目前常用的采样方法大致分为两大类口引，即一次性采样（One-stage Sampling，OS）和自适应采样（Adap-tive Sampling，AS）。一次性采样同时确定所有样本点的数目和位置，之后不再新增样本点，典型的一次性采样包括拉丁超立方采样等;自适应采样首先基于少量的初始样本点来构建初始代理模型，进而迭代增加新的样本点，从而更新代理模型直至满足目标精度。鉴于自适应采样代理模型具有良好的适用性和可扩展性，本文作者将其用于改进PDEM的计算效率，提出了基于自适应代理模型与PDEM组合的可靠度分析方法。

在代理模型的自适应采样更新过程中，候选点集分布对于目标模型的导出速率具有关键作用。鉴于此，本文考察GF偏差点集作为候选点集相对于常用MCS点集在代理模型构建过程中的有效性，在此基础上，利用构建的代理模型预测GF代表点集的等价极值量，从而结合PDEM进行结构可靠度的高效分析。为评估GF偏差点集作为候选点集对于代理模型构建和可靠度分析的效率与精度的影响，基于某解析函数校核代理模型的构建，并针对某一多层框架随机滞回结构开展抗震可靠度评估。

对于候选点集的选取，常规的自适应采样方法均采用MCS生成候选样本点，考虑到PDEM计算一般基于GF偏差最小化准则生成代表点集，本文将重点考察GF偏差点集相对于常用MCS点集在代理模型构建过程中的有效性。因此，分别选取GF偏差点集和MCS点集作为候选点集，且数目均设置为10⁵。

圖2分别给出了基本随机变量不同概率分布下、自适应采样过程中采样点的分布状况以及代理模型误差量的变化过程：自适应采样过程首先生成10个初始样本点并计算相应的函数值，从而得到初始DoE;随后在每一个迭代步中，针对候选点集内的每个样本点计算J（θ），并基于J（θ）最大化准则从候选点依次识别出新样本点θnew;将θnew添加入当前DoE中，进而改进当前的代理模型;最后，判断当前迭代步中的PSE指标是否连续4次小于给定的阈值εthr来决定是否终止采样，此处εthr设为0.1。