弹性约束的功能梯度曲梁等几何振动分析

陈明飞 靳国永 张艳涛 刘志刚

摘要：基于一阶剪切变形理论并采用等几何有限元方法对任意曲率的功能梯度曲梁进行自由振动分析。假设曲梁的材料属性在厚度方向上为均匀分布，但是在跨度方向上是呈功能梯度变化。利用等几何中的基函数对曲梁几何形状和位移分量进行描述，可以实现任意曲率半径的曲梁动力学特性分析。采用人工弹簧模拟曲梁边界，可以实现任意边界约束。在数值算例中，验证了该方法的收敛性和精确性，并给出新的数值结果和重要参数分析。

关键词：结构振动;等几何分析;功能梯度;曲梁;一阶剪切变形理论

中图分类号：0327文献标志码：A 文章编号：i004-4523（2020）05-0930-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.008

引言

功能梯度结构是一种材料属性在指定方向上呈连续功能梯度变化的优质复合结构，由于其具有高刚度、耐高温和无脱层等优点而广泛应用于航空航天、交通运输、医疗设备等。功能梯度曲梁的振动特性一直是振动噪声控制领域的热门课题。工程中常用于求解功能梯度曲梁静力学和动力学特性的数值方法有传统有限元法、傅里叶法、微分求积法等。Piovan等利用有限元法计算了曲梁的动力学特性和屈曲特性。Su等利用傅里叶级数法分析了功能梯度压电曲梁的自由振动和瞬态响应。Jin等还利用谱一空问陪面法研究了功能梯度可变曲率曲梁的振动特性。Malekzadeh等利用微分求积法计算功能梯度曲梁在热环境下的振动特性。然而，大部分的数值方法不利于复杂结构建模和分析处理。如传统有限元方法在分析曲梁力学特性时很难保证结构几何的精确性和高阶函数连续等问题。等几何方法是一种能够实现CAD与CAE的无缝连接，并具有高精确性的数值方法。由于该方法具有高精度，高收敛，网格细化方便与高阶函数连续性等优点而被广泛应用于求解各种复合结构的静力学和动力学行为。Yu等用该方法分析了功能梯度板的非线性振动特性、带孔层合板、功能梯度板的线性振动特性。Chen等利用该方法计算了功能梯度三维直梁_1引、各向异性四边形板和功能梯度曲壳的自由振动。Xue等利用该方法并结合限制板理论分析了功能梯度板的振动特性。Luu等利用等几何方法研究了功能梯度曲梁的振动特性和层合曲梁的振动特性。Hos-seini等利用等几何方法研究了曲梁的非线性力学特性。Zhang等利用等几何方法进行了三维曲梁的静力学分析。然而，关于功能梯度曲梁的大部分文献只考虑了厚度方向上的功能梯度变化和经典边界约束，对弹性约束下跨度方向上呈功能梯度曲梁的研究较少。本文基于一阶剪切变形曲梁理论，并结合等几何有限元方法分析任意曲率的功能梯度曲梁自由振动特性，同时考虑了跨度方向上的功能梯度与弹性边界条件对频率参数的影响。通过数值结果验证该方法的收敛性和精确性。

1功能梯度曲梁

1.1曲梁几何建模

本文研究的功能梯度曲梁如图1所示，其材料属性沿跨度方向（图中z方向）呈功能梯度变化。L，6和h分别为曲梁的长、寬和高。笛卡尔坐标（z，z）和曲线坐标（a，β）的选择如图1所示。Ls为曲梁在跨度方向上的长度，甜和叫为曲梁在a方向和β方向上的位移分量，θ为曲梁的中面法线关于a方向的转角。曲率半径R（a）是关于a的函数。

3.3参数影响

表5给出了Al/Al2O3功能梯度圆弧曲梁的前4阶无量纲固有频率，在该表中，曲梁左端点材料为铝（A），右端点材料为三氧化二铝（Al2o3），并按功能梯度指数kin=1复合而成，材料属性如表1所示。几何参数设置如下：R=1m，h/R=0.1，θ=π/3。图3给出了表5中C-C，C-S，S-S边界下所对应的模态图。从图3和表5可以看出，边界约束能引起固有频率和模态振型的变化，边界约束越强，结构的固有频率就会越高。然而边界C-S，S-S下的第1阶和边界C-C，C-S，S-S边界下的第4阶频率和模态振型变化较小。在该结构尺寸下，曲梁左端转角约束对第1阶振动特性影响较小，曲梁右端转角约束对第4阶振动特性影响较小。相比于各向均匀材料或者在厚度方向上呈功能梯度变化的曲梁模态图，可以看出在C_c边界下跨度方向功能梯度曲梁的模态图在跨度方向的模态不是对称的。这是因为跨度上的功能梯度材料导致梁的局部刚度和密度不同。图5给出了不同边界下功能梯度指数kin对曲梁的前4阶无量纲固有频率的影响。在该分析中材料参数与曲梁的几何参数同表5中的一样。由图5可以看出，在该种功能梯度材料属性下，功能梯度指数的增加能够导致结构的无量纲固有频率降低。当功能梯度指数为0时，该曲梁可认为只含有三氧化二铝材料，其系统的无量纲固有频率最大。当功能梯度指数增加时，铝在总材料中的比例增加，系统的固有频率降低。改变曲梁某一端点转角约束，部分阶次振动频率变化曲线几乎不变，由前文可知该端点边界转角约束对振型的影响较小。

图6给出了C-C边界下不同材料属性功能梯度指数kin对曲梁的前4阶无量纲固有频率的影响。在该分析中，曲梁的左端点金属材料为Al，右端点陶瓷材料分别为ZrO2-2，ZrO2-3和ZrO2-4，其材料属性如表1所示。曲梁的几何参数与图5中的一样。通过图6可以看出，随指数kin的增加，材料ZrO2-4所对应的无量纲频率先急剧降低然后趋于平缓，而材料ZrO2-2和ZrO2-3所对应的无量纲频率先降低然后缓慢升高或趋于平缓。因此，梯度指数kin对曲梁的无量纲频率的影响还与曲梁两端的材料属性有关。

4结论

本文针对弹性边界下的任意曲率半径的功能梯度曲梁进行几何建模和振动特性分析。该曲梁的材料属性沿曲梁的跨度方向上呈功能梯度变化。利用非均匀有理B样条NURBS对任意曲率的曲梁进行几何建模。通过人工弹簧实现任意边界约束。通过数值算例总结出以下几点：本文方法拥有快速收敛性和优良的精确性;基函数的阶数越高，计算的结果收敛速度越快;曲梁的厚度增加能导致曲梁的无量纲固有频率降低;功能梯度指数的增加能导致复合材料属性中杨氏模量和密度变化，然而固有频率随功能梯度指数的变化还与复合材料中的材料参数有关;固支边界下同阶次固有频率比其他边界下高;边界弹簧约束只在一定区域内对固有频率有明显影响。