启发-参与-激励式的《离散数学》教学模式研究与实践

张 悦，严伟榆，白玉艳，钱 晔

(云南农业大学 大数据学院，云南 昆明 650201)

离散数学是计算机科学与技术专业的核心基础课程，它包括数学推理、组合分析、离散结构、算法思维以及应用和建模.离散数学为计算机科学及其他学科提供了重要的数学基础.本课程的目标是让学生理解并掌握离散数学中的概念和技巧，以及它们之间的相关性，最终能运用它们，建立解决实际问题的模型.离散数学着重培养学生的逻辑思维能力，培养他们从逻辑的，数学的角度去思考、分析和解决问题，并运用数据论断以及推理等知识，给出解决问题的不同方法.本课程理论性和抽象性较强，内容多且复杂，学习难度较大，学习效果不佳，教学质量不高.为了提高离散数学的教学质量，有许多教师进行了教学改革研究，提出了各种新的教学模式及方法.如陈业钢[1]对《离散数学》进行了对分课堂的教学模式设计与研究，王维花[2]将MOOC翻转课堂运用到了《离散数学》的教学中，陈文彬[3]在《离散数学》的课堂教学中运用了启发式教学法等.这些方法都表明了教师一方的努力和改变，对于学生一方，却没有体现有效的激励.针对这一问题，本文提出了1种基于启发-参与-激励式的教学模式，通过知识点的启发式教学，加强课堂上教师和学生的沟通交流，引导学生在课堂上积极思考及提问，增加课堂的吸引力，使之成为高效课堂；增加学习过程的跟踪及量化测评；提高学习过程在期末总评中的占比，刺激学生注重平时学习过程；最后鼓励学生加入到启发式案例集的创建中，让学生体会到自己的价值.通过以上多种方式，激发学生的学习兴趣和热情，养成自主学习的习惯，让学生真正地参与到学习过程中来，成为学习的主动者.

1 启发-参与-激励式教学模式的提出

启发式教学是指根据教学目标, 遵循教学规律, 在教学过程中依据学习过程的客观规律, 通过引导、指导、开导及启示，激发学生的学习兴趣, 使学生主动、自觉、积极地学习和思考以及实践[4].在离散数学的教学中，启发式教学是一种非常有效的方法，它能让学生很容易掌握较抽象的定义，定理.启发式教学紧紧围绕“问-答”展开，教师如何问、问什么、何时问，如何引导学生回答都需要深入研究.构建以知识点为单位的启发式案例集是1个很好的方法，但需仔细考虑相关启发式案例的选择及安排.此外，启发式案例集的数量应足够多，因此它的收集和整理必然是费时费力的.

学生参与度的多少是启发式教学方法成功的一个关键因素，启发式教学和学生的参与应该结合起来，才可能达到1个满意的效果[5].本教学模式的另一个重点是研究如何激励学生在课堂上通过“答”来参与到学习中来，让学生愿意回答，能够回答，还能答的好，最后能变“答”为“问”.

本教学模式构建了新的评价体系.其中，突出对学生学习全过程进行评价，并将评价结果量化后计入课程考核成绩，提高了包含过程评价的平时成绩在整个课程考核中的权重.最后提出1种与启发式案例集相关的奖励机制.

2 基于启发-参与-激励式的离散数学教学模式

2.1 基于启发-参与-激励式的离散数学的教学模式设计

启发-参与-激励式的离散数学的教学模式的设计，首先考虑启发式案例集等教学资源的构建，其次是教学过程设计，如课前、课中、课后怎么做，启发与参与如何融合？最后是评价体系中学习过程性评价的设计，以及如何实现激励措施.

首先，构建启发式案例集和离散数学作品展示微信平台.启发式案例主要用于课堂教学课件上，题型包括单选题，多选题，填空题，演算题，画图题以及简答题.启发式案例应难度适中，精炼，知识点覆盖面小，答题时间较短.例如：在命题逻辑章节中的启发式案例：“含有n个命题变元的合式公式有多少种真值指派？”；在集合论中的案例：“从集合A到集合B上的函数有多少个？单、满、双设函数又有多少个？”；在图论中的案例：“画出一个带有5个顶点和3条边的非同构的简单图”.在启发式案例集中还有一类较难案例：“在含有n元素的集合A上的等价关系有多少个？”通常放到课后完成.离散数学作品展示微信平台主要用于收集学生完成的较好的作业及启发式案例的答案，答案形式以图片和视频为主.学生可以通过智能手机随时反复浏览这些问题及答案.

课前，教师发布课前学习资源到雨课堂或离散数学作品展示微信平台，学生进行预习.课堂上，教师首先讲授理论知识点，例如定义，定理，证明，推理等；接着给出启发式案例，让学生回答，教师根据回答情况，再次讲解难点.在这个过程中，教师要给予及时提示，指导学生思考的方向，并对学生的回答做出及时评价及总结，教学流程如图1所示.教师可为1个知识点安排多个启发式案例，重复问-答-评价这一环节，直到完成该知识点的学习，然后进入下一知识点讲授.教师挑选出解题思路独特或新颖的答案，将其上传到离散数学作品展示微信平台，供学生查看.特别地，对于一题多解的题目，尽可能多地收集不同的解法，纳入启发式案例集.例如，启发式案例：“请用反证或归谬法证明?x∈R, 若x>0,则x+1/x≥2”，在设计之初，只给出了2种解法，但在1次课堂练习中，共收集到四种不同的解法，于是将新的解法加入到启发式案例集.课后，学生完成作业，教师评价学生作业，挑选正确答案，上传到微信平台，供学生查阅.对于解题思路新颖的作业答案，收录到启发式案例集中.这种做法一方面不仅减轻了教师制作及讲解答案的时间，也极大丰富了启发式案例集，另一方面开拓了学生的思路.

图1 启发-参与-激励式的离散数学教学模式的教学过程示意图

2.1.1 启发环节的设计

在课堂上，教师围绕章节的知识点，挑选难易程度适中，同时具有递进性，完成时间合理的启发式案例，融入到课件中，在完成知识点讲述后，教师通过雨课堂将案例发布给学生，学生使用手机完成答题.此类启发式案例需有的放矢，抓住关键点，同时数量不易太多，一般控制在3题以内，完成时间不易太长，一般以选择题和填空题为佳.雨课堂能及时对学生的答题结果进行批改并给出统计数据.教师可根据统计数据了解学生对知识点的掌握情况，及时调整下一步的教学方向.例如，在完成命题以及联接词的相关概念讲解后，给出启发式案例“下列四个选项中，哪个是命题() A：仔细做这道题.B：雪是黑的.C：我正在说谎. D： 全体立正！”.学生完成答题后，教师根据答题情况，进行总结分析，其中，重点讲述答案C不是命题的原因(此处可以让学生们自由讨论)，引出“悖论”这一术语；接着给出提出下一个启发式案例：“一个小岛上住着2人——骑士和流氓.骑士只说真话，流氓只说假话，有A和B 2个人，如果A说‘B是骑士’,B说‘我们2人不是一类人’.请判断A和B2人谁是骑士，谁是流氓？”.该问题有一定难度，教师可以给出提示“分情况讨论，假设A是骑士，那么结果一致吗，假设A是流氓，结果一致吗？”.在教师的启发下，有部分同学会给出正确答案，教师最后选择3～5名学生进行讨论回答；最后再次提升难度，留给同学们另一个的启发式案例：“请简要说明：罗素悖论的出现为什么引发了第3次数学危机”.该案例需要学生们课后去查阅资料，独立完成.这3个案例，难度由简到难，由课本引申到课外，从命题逻辑延伸到集合论，充分锻炼了学生查阅资料，独立思考，清晰表达的能力.学生在答题过程中，不仅能理解了命题的含义，还建立了初步的逻辑分析思维.

为了增加学习的趣味性，也为了学生们能了解离散数学在计算机科学中的作用，启发式案例尽量选择与计算机专业相关的例子.例如在讲解欧拉回路时，可以引入计算机鼓轮设计的案例，在证明树的性质时，引入1个连环信的启发式案例.这些案例都能给学生1个直观的示例，增加学习的兴趣，理解理论与实际运用的关系.

在课堂启发式讲授中，案例的数量和难易程度都要根据学生具体情况来进行适当的调整.例如，对于数学背景较好的班级，案例的数量可以少些，难易程度跨度可以大些，反之，低难度的案例可以多做几个，难度较大的案例可放到课后去完成.例如，在上面有关悖论的例子中，如果学生觉得困难，就可以把第2个和第3个案例都放到课后来完成.

2.1.2 参与环节的设计

学生在教学过程中参与度的大小是决定学习效果的关键因素.在本教学模式中，除了课堂参与外，学生们还可以通过雨课堂及离散数学作品展示微信平台，随时随地参与到离散数学的学习中来，成为教学活动中的活跃主体.课前，学生需要预习教师发布的课件资源；课中，学生需要听讲以及不断的“回答”教师的问题；课后，还要完成课后作业.在这个过程中，应该如何让学生主动参与进来呢？本教学模式主要使用了3方法：第1种方法是在课堂上，减少教师讲授时间，增加启发式案例集数量，多留时间给学生回答问题和讨论.通过学生的回答情况，定位到不专心，不认真的学生，加大他们的回答问题的次数.第2种方法是挑选完成较好的学生作业或启发式案例答案，发布到离散数学作品展示微信平台，作为学习资源提供给所有学生.如果一道题有多个学生都完成的较好，那么都把他们的答案上传到微信平台，每个答案旁边都附上该学生的姓名.第3种方法是允许学生在离散数学作品展示微信平台提交任何与离散数学有关的问题及答案，经教师审核后，就可以以供教师及学生浏览.

在离散数学作品展示微信平台上提交的内容以图片和视频为主，这使得学生作业的提交非常方便.学生可利用手机和零散时间进行反复学习，不在受到时间和地点的限制，增加了学生学习的自由度和灵活度.

2.1.3 评价与激励环节设计

长期的教学实践揭示出：没有有效的评价和激励措施，一切教学活动都很难达到教学目标.

因此建立一套有效的评价与激励措施是非常有必要的.在本教学模式中，提高平时成绩在总评成绩中的占比，上升为40%，期末考试成绩在总评成绩中的占比调整为40%，期中考试为20%.与2018年及以前的评价系统相比，期末考试成绩占总评成绩的占比降低了20%，平时占比增加了20%，期中成绩占比不变，如图2所示.学习过程性评价纳入平时成绩，过程评价包括课堂提问以及练习，章节小测试、课后作业及奖励成绩，如图3所示.过程化评价项目要能够进行量化，并按图3所示权重，计入平时成绩中.奖励成绩是指有答案被录入微信平台或被选入启发式案例集的学生，给予表扬及记录奖励成绩(80～100分之间)一次，对于有多个奖励成绩的，取最高一次的成绩为最终奖励成绩计入平时成绩.

图2 2018—2019年总评成绩占比图

图3 平时成绩结构图

该评价体系提高了平时成绩的权重，降低了期末考试的权重，目的是让学生重视每一堂课，每一次作业；积极思考，积极发言.奖励措施的实施，鼓励学生们开动脑筋，从多角度思考并解决问题，并能勇敢地展示自己的学习成果.这不仅增强了学生的自信心和荣誉感，而且真正激发出学生内心里的一种 “我能学会-我能学好-我能比别人学到更好”的自信心与学习的能动性.

2.2 基于启发-参与-激励式的离散数学的教学模式的实践

2018年秋季学期，在2017级计算机科学和网络工程以及数学专业，尝试了启发-参与-激励式的教学模式.2019年秋季学期，在2018级计算机科学以及2018级信息专业，继续实施了该教学模式，具体数据如表1所示.2019年，每个专业均完成6个大作业，3次章节小测试，1次期中测试，1次期末考试，有成绩记录的课堂练习有22次，每个学生的课堂发言、答题为3～5次，在18信息专业中，由于人数较少，每个学生的课堂发言、答题都是5次.在获得奖励的同学中，最高分为100分，最低分为90分.有部分同学是获得多次奖励，但是也有部分同学从来没有获得过奖励.

表1 基于启发-参与-激励式的离散数学的教学模式实施内容统计

3 教学效果

本教学模式在2018及2019年秋季学期，进行了两轮的实践.图4为2018年度3个专业的总评成绩分布情况，17数学的成绩明显好于另外2个专业，17计科和17网工2个专业成绩差异不大.2019年度2个专业的总评成绩正态分布如图5所示，从图中可看出，2个专业的成绩分布均呈钟型，大部分学生的成绩都分布在均值附近.18信息专业的平均分高于18计科专业的平均分.

图4 2018年离散数学总评成绩正态分布图

图6对显示了计科专业不同年级的总评成绩，从图中可看出，18计科的平均分高于17计科，低分段学生比17计科少，高分段学生比17计科多.如表2所示，2019年与2018年相比，平均分，最低分和最高分分别提高了4.9分，8.1分和5.5分.2018年与2019年，不及格总人数分别为19人和9人，不及格总人数占比由12.33降到了9.67%.对比2年的数据，可看出2019年的成绩较2018年有所提升.

表2 2018—2019年离散数学的总评成绩描述统计表

从课堂教学过程中学生的反馈来看，实施本教学模式后，课堂气氛有了很大的改观，学生们都能积极回答问题，主动记笔记，主动开口问问题.另外1个比较明显的改变是作业抄袭的情况减少，学生完成作业的态度有了极大的改观，部分同学会使用2种方法来解决1个问题.

4 结语

教学实践表明，启发-参与-激励式的离散数学教学模式获得了较好的效果.它不仅提升了学生在课堂上的参与度，还加强了师生在课堂中的交流互动，改变了课堂气氛，在潜移默化中，让学生由被动学习课程知识的状态改变为主动学习，还培养了学生课后利用网络资源自主学习的习惯.基于启发-参与-激励式的离散数学的教学模式通过教师启发，学生参与，合理有效的评价方式，增强了学生学习的自信心和荣誉感，极大地提高了学生的学习积极性，改变了学生在课堂上的精神面貌，最终达到教学目的.

该教学模式实践探索，还有以下方面值得改进：

课后作业的内容要有变化，减少学生抄袭前人答案的可能性，另一方面，作业应该少而精，有的放矢，真正起到巩固加强的作用.

作品展示微信平台若改版为APP版更加方便.

在开课前和开课后对学生进行问卷调查，从而了解学生的真实意愿，感受，意见和建议，为更好的开展教学活动提供真实信息.

激励手段和参与方式还需要多样化等等，需要不断地研究和探索.