具变时滞项的非线性波方程解的爆破

崔佳楠, 刘 霞

(山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006)

在本文中, 主要讨论如下一类具有变时滞的波方程

(1)

其中Ω是Rn中具有光滑边界∂Ω的有界区域,τ(t)>0是变时滞,m≥2,μ1是常数,μ2是实数,h1,h2,F是给定的函数, 初始值(u0,u1,f0)在1个合适的函数空间中.

时滞出现在许多的应用中, 这是因为在大多数的情况下, 包括物理, 化学, 生物, 热和经济现象不仅依赖于当前的状态, 而且也与过去发生的事情有关. 近年来, 具有时滞效应的偏微分方程控制成为了1个热点. 在许多时候, 时滞会带来不稳定性, 即使是1个任意小的时滞也会导致系统的不稳定. 比如说,

关于系统

(2)

在没有时滞(a=0,a0>0)时是指数稳定的, 参考[1,2]. 当时滞存在(a>0),Nicaisa和 Pignotti在[3]中研究了系统(2), 并证明了在假设有时滞反馈的权重小于无时滞的反馈(0

Mohammad Kafini等在文献[4]中首次考虑了1个有时滞的2阶抽象发展方程

utt(t)+Au(t)+G(ut(t))+G(ut(t-τ))=F(u(t)), (x,t)∈Ω×(0,∞)，

相同的作者在文献[5]中考虑了问题

当p>m≥2且μ1>|μ2|时, 证明了解在有限时间爆破.

当系统中有记忆项时, 吴舜堂在文献[6]中考虑了1个有时滞的非线性粘弹性方程

他证明了当初始能量E(0)<βE1时, 某些解在有限时间爆破. 不同于其他爆破的文章, 这里的初始能量既能取正值也能取负值.

在文献[7]中,Benaissa等人考虑了1个有界区域上在弱非线性内部反馈上有时滞的非线性波方程

u″(x,t)-Δxu(x,t)+μ1σ(t)g1(u′(x,t))+μ2σ(t)g2(u′(x,t-τ(t)))=0,

并证明了当反馈中时滞的权重, 没有时滞的项所占权重以及时滞的速度三者满足某种关系时, 在合适的Sobolev空间中利用能量方法和Faedo-Galerkin方法证明了解的全局存在性结果. 进一步通过利用乘子法和某些一般的加权积分不等式研究了解的渐进性行为.

对于在Rn上考虑的问题, 我们可以参考[8-12], 比方说[11]中研究了1个非线性6阶波方程的Cauchy问题, 通过利用泛函的符号不变性和凸性方法, 证明了具有任意高正的初始能量的解的爆破性质. 文献[12]中研究了有强阻尼的广义Boussinesq类型的柯西问题, 通过定义1个有时间权重范数的合适的解空间, 且当初始数据足够小时, 建立了解的全局存在性和衰减性质. 并在初始能量合适的条件下, 证明了解的能量在有限时间爆破.

更多的相关带时滞的方程和结果见[13-21].

类似文献[17], 引入以下新的变量

z(x,ρ,t)=ut(x,t-ρτ(t)),x∈Ω,ρ∈(0,1),t>0.

因此，问题(1)等价于

(3)

本文结构如下: 第1节, 给出一些假设条件以及局部解的存在性结果; 第2节, 给出并证明了主要结论.

1 预备知识

为了证明爆破结果, 需要进行如下的假设.

(A1)h1:R→R非减连续函数, 存在正常数c1,c2使得

c1|u|≤|h1(u)|≤c2|u|.

(4)

(A2)h2:R→R非减C1(R)奇函数, 存在正常数c3,c4,c5使得

(5)

其中H2:R→[0,∞)满足

(A3)F:R→R的C(R)函数, 存在连续可微的映射满足ψ:R→[0,∞)满足

(6)

且对于p>q≥2,

(7)

(A4) 对所有的δ>0, 有

(8)

(9)

(A6) 存在正常数C1使得

(10)

(A7) 类似文献[21],τ∈W2,∞([0,T]),T>0, 存在正常数τ0,τ1和d使得0<τ0≤τ(t)≤τ1,τ′(t)≤d<1, ∀t>0.

并且耗散和时滞的系数满足

(11)

注由条件(A1)可知uh1(u)>0,u≠0. 由条件(A2)可知H2为偶凸函数且满足H2(u)≤uh2(u), 从而c4≤1.

下面定义问题(3)对应的能量泛函

(12)

其中

(13)

由(11)式可知k的选取是合理的.

结合文献[7]建立初边值问题(3)的解的局部存在性:

(14)

2 主要结论及其证明

本节建立问题(3)解的能量在有限时间爆破.

引理 1如果条件(A1)-(A7)和(13)式成立, 则存在正的常数β1,β2使得

E′(t)≤-β1[h1(ut),ut]-β2[h2(z(1,t),z(1,t))]≤0.

(15)

证明在方程(3)1两边同乘以ut并在Ω上积分, 则有

由E(t)的定义，可得

(16)

类似于文献[21], (16)式右端估计如下

(17)

(18)

根据(18)式可得

(19)

事实上，当h2(z(1,t))≤0且ut(t)>0时

I0=μ2[-h2(z(1,t)),ut(t)]≤

这里用到(18)式和h2为奇函数以及H2为偶函数. 类似的当h2(z(1,t))>0,ut(t)≤0或者h2(z(1,t))ut(t)≥0时, 不等式(19)依然成立.

由(19)和(5)式，得

I0≤|μ2|(1-c4)[h2(z(1,t)),z(1,t)]+|μ2|c5[h1(ut),ut].

(20)

因此，由(16),(17),(20)式，可得

证毕.

下面，引入泛函

(21)

(22)

(23)

则问题(3)的解在有限时间爆破.

证明由引理1，有

E(t)≤E(0)<0.

因此，由(15)式和(21)式，可得H′(t)=-E′(t)≥0. 且

ψ(u)≥H(u)≥H(0)=-E(0)>0.

(24)

再令

(25)

其中ε>0之后给定且

(26)

对L进行简单的计算并带入(3)可得

(27)

然后, 利用(A4)和(A3)对(27)式的最后两项进行估计:

(28)

(29)

再根据

H′(t)=-E′(t)≥β1[h1(ut),ut]+β2[h2(z(1,t)),z(1,t)]≥

β2[h2(z(1,t)),z(1,t)]≥β2qH2(z(1,t)).

(30)

由(29),(30)式有

(31)

因此，由(27),(28),(31)式可得

(32)

又因为积分与变量t无关, 所以即使δ与t有关, (32)式依然成立. 因此这里可以通过取δ以使得

(33)

K的值之后具体给定，将(33)带入(32)式可得

(34)

利用(24)式, 发现Hα(q-1)(t)≤(ψ(u))α(q-1). 因此, 再根据(A6), 可得

(35)

因此, 再利用(21)式, 对0

(36)

(37)

因此, 可得

ε[(1-a)p+Cm|μ2|K1-q]H(t).

(38)

此时, 只需取a>0足够小以使得

(39)

再选取足够大的K使得

ap-C|μ2|K1-q(m+1)>0.

(40)

最后, 取ε足够小使得

(41)

最终可以得到, 对某些γ>0, 有

(42)

因此, 有

L(t)≥L(0)>0,∀t≥0.

(43)

接下来, 利用柯西-施瓦茨不等式以及(A6), 有

(44)

再利用Young不等式有

(45)

(46)

另外, 根据假设条件(A1)和(A6), 有

(47)

因此,

(48)

结合(42)式, 可得

(49)

对(49)式在(0,t)上进行一个简单的积分可得

因此,L(t)爆破, 且爆破时刻T*满足

定理证毕 .