非幂零极大子群个数的2个下界

卢家宽,陈婵婵,王申洋

(广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541006)

本文涉及的群均为有限群，文中使用标准的术语及符号，可参考文献[1].G表示有限群，|G|表示的阶，π(G)表示整除|G|的素数构成的集合，m(G)表示G的极大子群的个数.在有限群理论的研究中，关于极大子群数量的研究有丰富的成果.例如，Newton[2]证明了当G是可解群时，有

其中τ(G)⊆π(G)表示满足G非p-可解的素因子p的集合，λ(G)⊆π(G)表示满足G是q-可解且Sylowq-子群循环的素因子q的集合，κ(G)⊆π(G)表示满足G是q-可解且Sylowq-子群非循环的素因子q的集合，α(G)为常数.卢家宽和孟伟[4]证明了如果最多有2个非幂零极大子群共轭类，那么G是可解群.

我们使用n(G)表示G的非幂零极大子群的个数.本文主要给出n(G)的2个下界.

1 引理

这里列出本文使用到的几个主要引理.

引理1[1]设G是有限群，若N是G的可解极小正规子群，则N是初等交换p-群，p∈π(G).

引理2[5]设G是有限群，则有m(G)≥|π(G)|.此外，上述不等式等号成立当且仅当G为循环群.

引理3设G是有限非可解群，m和n分别是π(G)中最大的素数和最小的素数，则有m≥|π(G)|+n.

证明：显然，除了2和3之间，任意两个连续的素数之间相差两个数.因此m-n≥2(|π(G)|-2)+1.又由Burnsidepaqb-定理可知|π(G)|≥3.于是，m-n≥|π(G)|即m≥|π(G)|+n，引理得证.

2 主要结果

定理1设N是有限群G的非交换极小正规子群，p是π(N)中最大的素数.令N=R1×R2×…×Rl是同构单群的直积，则至少有pl个不包含N的非幂零极大子群.

证明：令P是N的Sylowp-子群.由Frattini论断，有G=NNG(P).又Z(J(P)) charJ(P)，J(P) charP，于是Z(J(P)) charP.又P◁NG(P)，于是Z(J(P))≤NG(P)，故NG(P)⊆NG(Z(J(P))).显然，NG(Z(J(P)))≠G.若否，则有Z(J(P))◁G是包含在N内的G的正规子群，与N的极小正规性矛盾.

令M是G中包含NG(Z(J(P)))的极大子群.则

G=NNG(P)=NNG(Z(J(P)))=NM.

如果M是幂零的，则NG(Z(J(P)))是幂零的，从而NN(Z(J(P)))是幂零的.若p=2，则N是2-群，由引理1知N是交换群，与假设矛盾.若p>2，由Glauberman-Tompson正规p-补定理知，N是p-幂零的，与N的极小正规性矛盾.于是M是G的不包含N的非幂零极大子群.

令Si=Ri∩M，i=1,2,…,l.由于M在{R1,R2,…,Rl}上传递作用，因此Si和Sj是M-共轭的，i,j=1,2,…,l.又N是同构单群的直积，故而Ri⊄M.同时，Ri≠Si≠1且Si在Ri非正规.于是M在G中非正规，且M是G的自正规化极大子群.

令Ri左乘作用在所有Si在Ri中的左配集构成的集合上.因此Ri同构于交错群A|Ri∶Si|的一个子群.于是p≤|Ri∶Si|.不妨设Ti是M∩N到Ri投影映射的像.由于Ri◁N，因此Si◁M∩N，故而Si◁Ti.又Ri是单群，所以Ti是Ri的真子群.于是U=T1×T2×…×Tl是N的真子群.因此M正规化U且UM是G的真子群.又M的极大性，所以U⊆M且Ti⊆Si.显然Si⊆Ti，因此Si=Ti.于是

|G∶M|=|N∶N∩M|=|R1×R2×…×Rl∶S1×S2×…×Sl|≥pl.

综上所述，G中至少有pl个不包含N的非幂零极大子群.

定理2设G是有限非可解群，则有n(G)≥|π(G)|+p，其中p=min{q∈π(G)|G的Sylowq-子群在G中正规}.

定理2对可解群不一定成立.例如，幂零群，内幂零群.我们有例2.1：

令p>1是素数，m|p-1且|π(m)|≥2，则存在阶为pm的非幂零且非内幂零的有限可解群G，使得n(G)≤|π(G)|-1.