一元一次方程中含参数问题的解题策略

文 孙婷玉

在方程的学习中，我们常会遇到一些含有参数的问题，解决此类问题的关键在于理解概念，明晰问题指向。现分析几种常见的含参数方程问题的解题策略，希望对同学们的学习有所帮助。

一、根据一元一次方程的定义求解

例1若是关于x的一元一次方程，则m=______。

【分析】根据一元一次方程的概念可知未知数次数为1，系数不为0。

解：由题意可得，

解得m=1。

二、根据方程的解的定义求解

例2已知x=2是关于x的方程2（x-m）=8x-4m的解，则m=______。

【分析】根据方程解的定义可知x=2能使方程左右两边相等。

解：由题意可得2（2-m）=8×2-4m。解得m=6。

问题延伸已知关于x的一元一次方程的解为x=2，那么关于y的一元一次方程1）+3=2（y+1）+b的解为______。

【分析】很多同学想到将x=2代入第一个方程中求出b的值，再将b的值代入第二个方程中求出方程的解。这样解比较麻烦，我们可以仔细观察两个方程的结构特征，将第二个方程中的（y+1）看成一个整体，它与第一个方程中x的值相同，即y+1=2。

解：由题意得y+1=2，解得y=1。

三、根据方程公共解的情况求解

例3若关于x的方程a-2x=9与方程2x-1=5的解相同，则a的值为______。

【分析】方法一：同解问题，即两个方程的解相同，仔细观察，方程2x-1=5可解，我们可将x的值解出来，代入方程a-2x=9中，将其转化为关于参数a的方程，从而求出a的值。

方法二：我们可将两个方程分别解出来，解相同即两个代数式值相同，得到关于x的方程。

解法一：由2x-1=5，解得x=3。将x=3代 入a-2x=9得a-2×3=9，解得a=15。

解法二：由2x-1=5解得x=3。由a-2x=9，解得。∵两个方程的

问题延伸已知关于x的方程与关于x的方程3xa-4=0的解相同，求a的值。

【分析】两个方程中都含有参数，我们利用例3的方法二较为简便。

解：由解得x=2a+3。由3x-a-4=0解得。

∵两个方程的解相同，

∴，解得a=-1。

四、根据方程整数解的情况求解

例4已知关于x的方程9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k=______。

【分析】对于含参数的方程，我们可先用含参数的代数式表示方程的解。要使结果为整数，分子为整数，则分母应为分子的因数。

解：由9x-3=kx+14，知k≠9，否则-3=14，矛盾。

∴9-k=±1，±17，

即k=-8，8，10，26。

五、根据方程定解的情况来求解

例5若a、b为定值，关于x的一元一次方程，且无论k为何值时，它的解总是x=1，求a和b的值。

【分析】无论k为何值时，它的解为定值。我们可先将方程的解代入原方程中得到关于k的方程，与k的取值无关，从而可以求出a、b的值。

解：将x=1代入=2，得（4+b）k=13-2a。

∵无论k为何值时，它的解总是x=1。∴，即

在解决含参数问题的方程时，可以将问题中的条件转化成关于参数的方程而解之。