基于FDTD Solutions的金属矩形波导电磁性质仿真实验

张 勇，朱晨启，张 睿

（南京工业大学 数理科学学院，江苏 南京 211816）

金属矩形波导是物理类专业的专业课“电动力学”[1-3]以及电气类、电子类和通信类专业的专业课“电磁场与电磁波”[4-6]的重要内容。金属矩形波导电磁性质的理论公式，如波导中电场和磁场分布公式、波导腔壁上电流分布公式，对于学生来说过于抽象，学生很难准确理解这些理论公式的物理内涵和物理图像。

FDTD Solutions是一款基于麦克斯韦方程组求解、采用时域有限差分法[7]的电磁波仿真软件，具有图形界面直观、参数设计简单、仿真能力强大等特点，被广泛地应用于电磁场与电磁波领域的前沿研究，例如等离激元学[8-9]、光子晶体[10-11]、太阳能器件[12-13]等。

本文利用FDTD Solutions设计了金属矩形波导电磁性质仿真实验。这一仿真实验可以让学生直观地、多角度地观察矩形波导中电场、磁场和电流分布的特点，并用这些场分布图来验证教材中电场、磁场和电流的理论公式。该实验有助于学生全面理解和掌握金属矩形波导的相关理论知识。

1 金属矩形波导电磁性质的理论公式

图 1(a)为金属矩形波导的示意图，其腔体内为真空，波导壁为金属导体。图1(b)为矩形波导的截面图。波导中导波的传播方向沿z轴方向。波导腔的长边尺寸为a，沿x轴方向；短边尺寸为b，沿y轴方向。

在金属矩形波导中，允许传播的导行电磁波有横电波（TE波）和横磁波（TM波）两种模式。本文将研究TE10波在矩形波导中的传播特性。

图1 金属矩形波导的结构示意图和截面图

利用波动方程和边界条件，可以解析推导出金属矩形波导中 TE10波的电场、磁场的理论公式[1-6]。电场分量的公式如下：

其中，ω为电磁波的角频率，μ0为真空磁导率，H0为磁场强度分量Hz的振幅，kz为波矢量，t为时间。显然，对于矩形波导中的TE10波，电场的x分量和z分量都为0，只有y分量不为0。

磁场分量的公式为：

与电场相反，磁场的y分量为0，而x分量和z分量不为0。

基于式（1）和式（2）并利用公式Jf=n×H（其中：n为波导腔壁表面的法向单位矢量），可以得到金属矩形波导的4个腔壁上的电流密度Jf如下：

从式（3）可以看出，在x=0和x=a两个壁上，电流方向相同，都沿y轴方向。在y=0和y=b两个壁上，电流方向存在x和z两个分量，且在这两个壁上电流的方向是相反的。

2 仿真实验设计

2.1 FDTD Solutions建模和仿真

利用 FDTD Solutions仿真模拟金属矩形波导电磁性质的步骤如下：首先，利用FDTD Solutions的建模功能设计并绘制波导的结构图并设置结构参数（见图1）。波导参数设置为，长a=30 mm，宽b=10 mm，腔壁的厚度设为4 mm；波导沿z轴方向的长度为90 mm。其次，设置波导的材料属性。波导内真空的相对折射率为1；波导壁金属的电容率为其中，ε0是真空电容率，电导率接着，设置波导的边界条件和激励源。在波导沿z轴方向的最前端和最后端设置两个波导的端口，即电磁波发射和接收端口。电磁波的频率f范围设置为10～30 GHz。为了观察波导的电场、磁场和电流分布，在f=9 GHz时，设置电场、磁场和电流的监视器各一个。在这一频率下，波导中只有TE10模存在。最后，运行仿真文件对波导进行仿真模拟。

仿真模拟完成后，即可利用FDTD Solutions的场分布查看功能观察不同截面的电场、磁场和电流的分布图。波导中电场、磁场和电流的分布是动态变化的，这里给出的电场、磁场和电流分布图是其极大值（电场、磁场和电流最强）或某一瞬时的分布图。

2.2 电场分布图

2.2.1 电场强度分量的分布图

为了与式（1）作比较，首先绘制电场强度E的3个分量Ex、Ey、Ez在金属矩形波导的z轴截面上的分布图。图2为同一场强标尺范围、用颜色表示的电场强度分量Ex、Ey、Ez的分布图。可以看出，电场强度的x和z分量Ex和Ez都为0，只有y分量Ey不为0。这与式（1）是符合的，源于波导模为 TE10波，即对于TE10模，电场强度只有y分量，没有x和z分量。

2.2.2 电场强度的分布图

为了更清楚地看出电场强度的分布特点，还需要绘制波导中电场强度E（总电场）在垂直于x、y、z轴的截面上的分布图。图3绘制了在同一场强标尺下、用箭头表示的电场强度E在垂直于z=d（d的位置为图 3(b)、3(c)中的虚线处）、x=a/2、y=b/2的截面上的分布图。图3中电场的强弱用箭头的颜色和粗细来表示，电场的方向用箭头的方向来描述。由式（1）可知，在z轴方向（电磁波的传播方向）上，电磁波以简谐波（余弦波）的行波形式传播，故图 3(b)、3(c)绘制了沿z轴方向一个完整周期内的电场分布图。

从图3(a)、3(b)可以看出，同一组x、z值处电场强度的大小、方向均相同。例如，图 3(b)的x=a/2截面上，z=d线上电场为均匀电场。这与式（1）一致，即式（1）中，电场强度与y无关，与x和z有关。

图2 电场强度分量Ex、Ey、Ez在垂直于z轴的截面上的分布图

图3 电场强度E在垂直于z、x、y轴的截面上的分布图

从图3(a)、3(c)可以看出，电场强度沿x轴方向呈现出两端弱、中间强的特点，这是因为电场在x方向为驻波，而x=0、x=a两个波导壁为驻波的波结，中间部分为驻波的波腹。这一电场特征与式（1）一致，即Ey的振幅是的函数。

从图3(b)、3(c)可以看出，电场沿z轴方向呈现出简谐波的特征，这也与式（1）相符。

2.3 磁场分布图

2.3.1 磁场强度分量的分布图

为了跟式（2）作比较，绘制了波导中磁场强度H的 3个分量Hx、Hy、Hz在波导的z轴截面上的分布图。图4为在同一场强标尺下、用颜色表示的磁场强度分量Hx、Hy、Hz的分布图。可以看出，磁场强度的y分量Hy为0，但x和z分量Hx和Hz不为0，这一结论与式（2）相符。

图4 磁场强度分量Hx、Hy、Hz在垂直于z轴的截面上的分布图

从图4还可以看出，Hz比Hx（平均值或极大值）要大得多，这一点从式（2）中是很难看出来的。这显示出精确的磁场强度分布图的优势和重要性。

2.3.2 磁场强度的分布图

为了更全面地了解磁场的分布特征，绘制了波导中磁场强度H在垂直于x、y、z轴的截面上的分布图，如图5和6所示。

图5 磁场强度H在垂直于y轴和z轴的截面上的分布图

图5 (a)为磁场强度H在y=b/2截面上的分布图（沿z轴方向取一个简谐波周期）。在垂直于y轴的不同截面上，磁场均保持着图5(a)的分布特点。如图5(a)所示，在垂直于y轴的平面内，磁场呈涡旋状，这源于电磁感应效应，即波导中TE10模的电场沿y轴方向，而沿y轴方向变化的电场强度感应出涡旋状的磁场。

在垂直于z轴的不同截面上，磁场的分布是不同的。为此，在z轴上选取了两个比较典型的位置，即在图5(a)中的A和B位置绘制垂直于z轴截面的磁场分布图，这两处截面分别位于图 5(a)中涡旋磁场沿z轴方向的两个典型的位置：中间和边缘，如图 5(b)、5(c)所示。A、B位置处的z轴截面上，磁场都呈左右对称分布。A位置截面上，磁场主要沿z轴方向（即主要为Hz）。左右两边的磁场方向相反，场强大小呈现两边强、中间弱的特点。在B位置截面上，磁场沿x轴方向（即Hx），且磁场方向相同，场强呈现两边弱、中间强的特点。A、B位置处的磁场分布特征与式（2）一致，即磁场分量Hz和Hx均为驻波；不同之处为，的函数。故对于Hz（A位置处），x=0、x=a处为驻波的波腹，中间为驻波的波结（场强两边强、中间弱）；而对于Hx（B位置处），x=0、x=a处为驻波的波结，中间为驻波的波腹（场强两边弱、中间强）。

在垂直于x轴的不同截面上，磁场的分布也是不同的。分别在x=a/10和x=a/2处绘制磁场在垂直于x轴的截面上的分布图，这两处截面分别位于图 5(a)中涡旋磁场沿x轴方向的典型位置：边缘和中间，如图6(a)和6(b)所示。无论是x=a/10还是x=a/2处的截面上，磁场都呈左右对称分布，x=a/10截面上的磁场强度强于x=a/2截面。在x=a/10截面上，磁场主要为Hz；而在x=a/2截面上，磁场均为Hx。

图6 磁场强度H在垂直于x轴的截面上的分布图

2.4 电流分布图

利用FDTD Solutions绘制电流在波导的4个腔壁上的分布。图 7(a)、7(b)为y=0和x=0两个波导腔壁上的电流分布图（沿z轴方向一个周期内）。y=b、x=a两个壁上的电流分布和y=0、x=0两个波导壁上相同，但相应的电流方向相反，故不再给出。

如图7所示，在外加电磁场驱动下，电流在金属波导腔壁表面形成。在y=0的腔壁上，电流呈发散或汇聚状。沿z轴方向一个行波周期内，有发散和汇聚中心各一个。发散中心位于电场的峰值处，而汇聚中心位于电场的谷值处（见图3(c)）。由电荷和电场的关系ρs=ε0n⋅E=ε0En（ρs为电荷面密度）可知，发散中心是正电荷的中心，而汇聚中心是负电荷的中心。起于正电荷中心的电流既可以沿z轴方向流向负电荷中心，又可以从y=0或y=b壁上的正电荷中心沿波导的四壁（即沿x和y方向）流向y=b或y=0壁上的负电荷中心。由于波导中的电场沿y轴方向，故x=0和x=a的两个面上只有电流的流动，而没有电荷的发散和汇聚，如图7(b)所示。

图7 矩形波导腔壁上的电流分布图

在垂直于z轴的不同截面上，电流的分布也是不同的。为此，在z轴上选取了两个比较典型的位置，即图7(a)中的A和B两处取z轴截面绘制电流的分布图，如图8(a)和8(b)所示。这两处截面分别位于图7(a)中电流发散中心及电流发散中心与汇聚中心连线的中间位置处。

如图8(a)所示，A位置处，电流起于矩形波导下底边（y=0）中部的正电荷中心，然后分别向左右流动，形成两个半环，最后在上底边（y=b）中部的负电荷中心汇集。图8(b) B位置处，电流主要集中于上下表面上（x=0、x=a的腔壁），且电流的方向沿z轴。在矩形波导的上下表面，电流的方向是相反的。如图8(a)、8(b)，由于趋肤效应，电流只分布在金属表面很薄的一个薄层中。由于使用的金属不是理想金属，故电磁波的趋肤深度不为0。

图8 矩形波导在垂直于z轴截面上的电流分布图

从图7和8还可以看出，在y=0和y=b两个壁上，电流存在两个分量，即x和z分量；而在x=0和x=a两个壁上，电流只有一个分量，即y分量。这些结论与电流的理论公式（3）一致。并且，从图7中还可以看出，电流的x分量和y分量的值相近，但都强于电流的z分量（平均值或极大值），而这一点从解析公式（3）中很难直观地看出来。

3 结语

利用FDTD Solutions软件对金属矩形波导进行建模和仿真，并绘制了电场、磁场和电流在波导中或波导腔壁上的分布图。这些分布图与教材中的解析公式的结论可以互相印证。此外，通过这些分布图还可以直观地看出从解析公式中不能直接发现的结论，如：波导中，磁场强度的z轴分量比x轴分量要大得多；波导四壁上电流的x和y分量强于z分量。该实验对于学生理解电磁波在金属矩形波导中的传播规律、掌握金属矩形波导的相关理论知识都非常有帮助。本文中的电场、磁场和电流的分布图亦可用于“电动力学”或“电磁场与电磁波”相关内容的课堂教学。