高考中有关椭圆曲直联立计算的思考

◇ 山东 王晨晨

(作者单位:山东省济宁孔子国际学校)

高考数学中有一道必考解答题,即圆锥曲线问题,并且此类大题一直处于压轴地位.解一题会耗时15～20 min之久,这很容易让学生失分.其实从曲直联立的一般情况推导,可以总结出一些规律,这将有助于此类问题的突破.在设而不求的曲直联立中,直线的设法无疑决定着计算的复杂程度,相信教师们都有总结,此文不再赘述.本文只介绍椭圆在高考环境下曲直联立计算中的一些规律,希望对广大师生有所帮助.

(a2A2＋b2B2)x2＋2a2ACx＋a2C2－a2b2B2＝0.

设x1,x2为其两根,记α＝a2A2＋b2B2,β＝2a2AC,γ＝a2C2－a2b2B2,则

由对称性,我们将x 与y,A 与B,a 与b 均互换即可得消x 留y 的情形,即

可以总结出如下规律.

① 两根之和与两根之积中有共同的分母α.

② 和式分子都为“－2倍”.

如计算x1＋x2时,只关注式的等号左边,忽略含y 的项,只关注三项中所含字母a2,A,C,将其与“－2”相乘,即分子为－2a2AC.

③ 积式分子亦可大致记为分母α 中所表示未知数有关部分字母与(C2－另一部分)之积.如计算x1x2时,将分母a2A2＋b2B2看成两部分,与x 有关部分a2A2,与y 有关部分b2B2,而分子为a2(C2－b2B2).

④Δ 与Δ′相近,但事实上我们构造直线方程时,若为y＝kx＋b,y－y0＝k(x－x0),化为一般式后B＝－1,Δ′＝4a2b2(a2A2＋b2B2－C2);若为x＝ty＋m,化为一般式后 A ＝1,Δ ＝4b2a2(b2B2＋a2A2－C2).所以,计算时,有Δ＝4a2b2(α－C2).

特别地,弦长公式

同理,另一形式

分析至此,相关计算结论的记忆与运用显然是可行的.而椭圆虽因焦点位置不同而有不同情形,但从形式上来讲两者无异,则椭圆中结论通用.

结论运用在计算中不只是能快速、准确地求出两根之和、积、判别式、弦长等常用数据,其更大的优势是代入后保留了同分母形式,无疑简化了形式,可提高后续计算准确率.教学时不宜急于推广结论,一定要等到学生经过一定量的曲直联立的充分练习后再进行.教学中教师首先应培养的是学生们的核心素养,切勿本末倒置,建议可放于一轮复习中.