区间凸函数的量子积分Hermite-Hadamard型不等式

娄天依，叶国菊

（河海大学理学院，南京 210098）

量子微积分又称为q-微积分，量子微积分没有极限的概念，它是一类基于有限差分重标思想提出的现代微积分.近些年，量子微积分在组合数学、数论、量子力学及相对论等科学领域中发挥着重要作用，引起了学者的广泛关注.

2002 年，Kac 等[1]引入了q-导数、q-原函数和q-积分的相关概念，并给出了一些相关性质.此后，关于量子微积分的研究成果日益增多[2-6]，其中，文献[6]引入了连续函数f：[tk，tk+1]→R 的qk-导数和qk-积分的概念，并讨论了该积分的重要性质，同时给出了量子微积分在脉冲微分方程中的应用.作为量子微积分理论的重要组成部分之一，量子积分不等式也受到众多学者的关注，如，文献[7]将一些经典不等式与量子积分相结合，得到了q-Hölder、q-Hermite-Hadamard等量子积分不等式.关于量子积分不等式的更多结果可参阅文献[8-10].

另一方面，自1960年代以来，区间分析理论作为一种解决不确定性问题的重要方法被广泛应用.近些年，一些学者将经典不等式推广至区间值函数的情形，得到了关于区间值函数的Minkowski不等式[11]、Jensen 不等式[12]、Hermite-Hadamard 不等式[13]等.

受以上文献启发，本文引入区间值函数量子积分的概念，利用区间h-凸函数得到了若干区间值函数量子积分Hermite-Hadamard型不等式，所得结论推广了文献[7]和文献[14]中的一些结果.

1 预备知识

设Kc（R）为R上非空紧凸集构成的空间，即实数u和分别为[u]的左端点和右端点.若，则称[u]为正的；若，则称[u]为负的.Kc+（R）（Kc-（R））表示正（负）区间构成的集合.当时，称[u]为退化区间.

设 λ∈R，对于K（cR）中的元素和其四则运算如下：

定义包含关系“⊆”为

设J=[a，b]⊂R为一个区间，f：J→Kc（R）为一个区间值函数，记，其中和是J上的实值函数，且对任意x∈[a，b]有

定义1[15]设h：[c，d]→R为一个非负函数，（0，1）⊆[c，d]且h≢0.若f（x）：J→R是非负的，且对任意x、y∈J，t∈[0，1]，有

则称f（x）为J上的h-凸函数，用SX（h，J，R）表示J上所有h-凸函数构成的集合.若式（1）中不等号反向，则称f（x）为J上的h-凹函数，用SV（h，J，R）表示J上所有h-凹函数构成的集合.

定义 2[13]设h：[c，d]→R 为一个非负函数，（0，1）⊆[c，d]且h≢0.若区间值函数f：J→Kc+（R）满足

则称f为J上的区间h-凸函数.若式（2）中包含符号反向，则称f为J上的区间h-凹函数.用SX（h，J，Kc+（R））（SV（h，J，Kc-（R）））表示J上所有区间h-凸（h-凹）函数构成的集合.

定义3[1]设q为常数，且0＜q＜1，f：J→R为连续函数，若对任意x∈J，有

则称aDqf（x）为f（x）在x∈J处的q-导数.若对任意x∈J，aDqf（x）都存在，则称f（x）在J上是可微的.

注1若a=0，则有0Dqf=Dqf，其中Dqf（x）=即为q-Jackson导数.

定义4[1]设f：J→R为连续函数，称

为f在J上的q-积分.用q([a，b])表示J上所有q-可积实函数构成的集合.若c∈（a，x），则有

注2若a=0，则有f（qnx），∀x∈[0，∞），这即为q-Jackson积分.

定理1[6]设f：J→R为连续函数，则有

定理2[6]设f、g：J→R为2个连续函数，α∈R，则对任意x∈J，有

2 主要结果

定义5设f：J→Kc（R）为区间值函数，若

则称f在J上是Iq-可积的.用Iq([a，b])表示J上所有Iq-可积的区间值函数构成的集合.

由定义5易得定理3.

定理3设f：J→Kc（R）为区间值函数，f（x）=则f在J上是Iq-可积的当且仅当和在J上是q-可积的，且

定理4设f：J→Kc（R）为一个区间h-凸函数，且非负，且h（1/2）≠0.若则有

证明由区间h-凸函数的定义可得

对式（3）和式（4）在[0，1]上关于t积分，则有

由q-积分的定义可得

故式（5）和式（6）可改写为

从而有

即

再由区间h-凸函数的定义可得

进一步有

对式（7）和式（8）在[0，1]上关于t积分可得

定理得证.

注3当且h（t）=t时，定理 4 退化为文献[7]的定理3.2，即

定理5设f、g：J→Kc（R）为2个区间h-凸函数，且[0，1]→R为2个非负函数.若f、g∈SX（h，J，Kc+（R））且f、g∈Iq([a，b])，则有

证明由区间h-凸函数的定义得

则有

进一步可得

定理得证.

注4当时，定理 5 退化为文献[14]的定理 4.3（i），即

其中N（a，b）=f（a）g（b）+f（b）g（a）.

定理6设f、g：J→Kc（R）为2个区间h-凸函数，为2个非负函数，且h1（1/2）h2（1/2）≠0.若f、g∈SX（h，J，Kc+（R））且f、g∈Iq([a，b])，则有

其中：N（a，b）=f（a）g（b）+f（b）g（a），M（a，b）=f（a）·g（a）+f（b）g（b）.

证明由区间h-凸函数的定义得

则有

进一步得到

定理得证.

注5当且h（t）=t时，定理 6 退化为文献[14]的定理 4.3（ii），即