Hopf Cotruss的结构

严佳玲,郑慧慧,张良云

(南京农业大学理学院,江苏 南京 210095)

量子Yang-Baxter方程是数学物理研究领域的重要方程之一,一直是众多专家和学者所关注和研究的热点课题. 同时,由拟三角Hopf代数可以构造量子Yang-Baxter方程,因此,量子Yang-Baxter方程在Hopf代数的发展中也起着至关重要的作用. 寻找Yang-Baxter方程的解是代数学研究中的一个基本问题.

设X是一个集合,r:X×X→X×X,r(x,y)=(λx(y),ρy(x)),x,y∈X,其中λx,ρy均为定义在X上的映射,如果映射r满足下列方程:

(r×id)(id×r)(r×id)=(id×r)(r×id)(id×r),

则称(X,r)为Yang-Baxter方程的集合论解[1]. 如果对于任意x∈X,映射λx,ρx均为双射,则称集合论解(X,r)为非退化的;如果r2=idX×X,则称集合论解(X,r)为对合的.

为了探索Yang-Baxter方程的非退化对合的集合论解,Rump首次在环论中引入了brace概念[1]. 作为Jacobson根环的一种推广,brace为探索Yang-Baxter方程的解提供了非常有效的代数框架,它的优点在于可以类似环论讨论辫子方程.

自brace概念被提出之后,引起了众多专家和学者的高度关注,并迅速得到推广(见文献[2-8]). 在文献[9]中,Guarnieri和Vendramin首次引入了brace的推广概念,即,斜brace. 近年来,为了寻找Yang-Baxter方程的非退化解,Angiono等[10]首次在Hopf代数上提出了Hopf brace概念,并指出每个Hopf brace可以构造辫子方程的解. 最近,文献[11]作者提出了Hopf cobrace概念,并给出了Hopf cobrace、辫子方程和双交叉余积之间的关系等.

为了研究斜brace中两个群运算法则的起源,Brzeziński在文献[4]中将斜brace进行推广,首次在Hopf代数上提出了Hopf truss概念,并给出了Hopf truss的等价刻画.

正是基于上述分析和考虑,本文引入了Hopf cotruss概念,给出了Hopf cotruss的性质和等价刻画,并建立了Hopf cotruss与Hopf cobrace之间的联系等.

在本文中,我们所考虑的对象均是域k上的向量空间. 求和记号“∑”均省略,如,在余代数C中,使用Δ(x)=x1⊗x2,x∈C表示余代数C的余乘法结构;在余模M中,使用ρ(m)=m(-1)⊗m(0),m∈M表示余模M的余作用结构,等等.

1 预备知识

定义1设(A,Δ,ε)是一个余代数,在A上存在二元运算◇使得(A,Δ,ε)是一个Hopf代数(单位元记作1◇,对极映射记为S),在A上存在二元运算∘使得(A,Δ,ε)是一个双代数(单位元记作1∘). 如果在(A,Δ,ε)上存在一个余代数自同态σ,使得对任意a,b,c∈A,有

a∘(b◇c)=(a1∘b)◇S(σ(a2))◇(a3∘c),

(1)

则称A是一个左Hopf truss[4].

定义2设(A,m,1)是一个代数,如果下列条件成立:

(1)(A,m,1,Δ,ε,S)是一个Hopf代数.

(2)(A,m,1,Δ′,ε,T)是一个Hopf代数.

(3)对任意a∈A,下面兼容条件满足:

a1′⊗a2′1⊗a2′2=a11′S(a2)a31′⊗a12′⊗a32′,

(2)

则称(A,m,1)是一个Hopf cobrace[11],这里Δ(a)=a1⊗a2,Δ′(a)=a1′⊗a2′. 以下简记这个Hopf cobrace 为(A,Δ,Δ′).

定义3设H和A均是Hopf代数,假设A是一个左H-余模余代数. 如果存在一个代数同构π:A→H,使得对任意a∈A,有

π(a)1⊗π(a)2=π(a1)a2(-1)⊗π(a2(0)),

(3)

则称代数同构π是一个双射1-余循环[11].

2 主要结果

定义4设(A,m,1,Δ,εΔ,S)是一个Hopf代数,(A,m,1,Δ′,εΔ′)是一个双代数. 如果在(A,m,1)上存在一个代数自同态σ,使得对任意a∈A,有

a1′⊗a2′1⊗a2′2=a11′σ(S(a2))a31′⊗a12′⊗a32′,

(4)

则称A是一个(左)Hopf cotruss,记作(A,Δ,Δ′,σ).

注1(1)以下称定义4中的代数映射σ为Hopf cotruss (A,Δ,Δ′,σ)的一个余循环.

(2)在定义4中,如果(A,m,1,Δ′,εΔ′)是一个Hopf代数,且σ=id,则Hopf cotruss (A,Δ,Δ′,σ)恰好是一个Hopf cobrace.

在Hopf cotruss(A,Δ,Δ′,σ)中,余循环σ由余乘法Δ′和余单位εΔ′确定.

引理1设(A,Δ,Δ′,σ)是一个Hopf cotruss,则对任意a∈A,有

σ(a)=a1′εΔ(a2′).

(5)

因此,εΔ′σ=εΔ且σ是左(A,Δ′)-余线性的,即Δ′σ=(id⊗σ)Δ′.

证明对(4)式两边同时作用id⊗εΔ⊗εΔ,得出

a1′εΔ′(a2′)=a11′σ(S(a2))a31′εΔ(a12′)εΔ(a32′).

设τ(a)=a1′εΔ(a2′),则根据上述等式可得,τ(a)=τ(a1)σ(S(a2))τ(a3). 由于(A,Δ′)是一个双代数,所以τ是A上的一个代数自同态,故对任意a∈A,有

σ(a)=τ(a1)τ(S(a4))σ(a5)=τ(a11)σ(S(a12))τ(a13)τ(S(a4))σ(a5)=

τ(a1)σ(S(a2))τ(a3)τ(S(a4))σ(a5)=τ(a1)σ(S(a2))σ(a3)=τ(a).

因此,(5)式得证.

由Hopf cotruss的定义,可以直接得出以下性质.

引理2设(A,Δ,Δ′,σ)是一个Hopf cotruss,则对任意a∈A,有

a1′⊗S(a2′1)⊗a2′2=σ(a1)S(a2)1′a31′⊗S(a2)2′⊗a32′,

(6)

a1′⊗a2′1⊗S(a2′2)=a11′S(a2)1′σ(a3)⊗a12′⊗S(a2)2′.

(7)

证明对于任意a∈A,可证

σ(a1)S(a2)1′a31′⊗S(a2)2′⊗a32′=

σ(a1)S(a2)1′a31′⊗S(a2)2′a32′1S(a32′2)⊗a32′3=

σ(a1)(S(a2)a3)1′σ(S(a4))a51′⊗(S(a2)a3)2′S(a52′1)⊗a52′2=

σ(a1)σ(S(a2))a31′⊗S(a32′1)⊗a32′2=

σ(a1S(a2))a31′σ(S(a4))a51′⊗S(a32′)⊗a52′=

a11′σ(S(a2))a31′⊗S(a12′)⊗a32′=

a1′⊗S(a2′1)⊗a2′2,

a11′S(a2)1′σ(a3)⊗a12′⊗S(a2)2′=a11′S(a2)1′a31′εΔ(a32′)⊗a12′⊗S(a2)2′=

a11′S(a2)1′a31′⊗a12′⊗S(a2)2′a32′1S(a32′2)=

a11′(S(a2)a3)1′σ(S(a4))a51′⊗a12′⊗(S(a2)a3)2′S(a52′)=

a11′σ(S(a2))a31′⊗a12′⊗S(a32′)=a1′⊗a2′1⊗S(a2′2).

由引理1与引理2,可以证明Hopf cotruss具有下列的等价刻画.

定理1设(A,m,1)是一个代数,分别使得(A,m,1,Δ,εΔ,S)是一个Hopf代数,(A,m,1,Δ′,εΔ′)是一个双代数,则下列等价.

(1)存在一个代数自同态σ:A→A,使得(A,Δ,Δ′,σ)是一个Hopf cotruss.

(2)存在一个线性同态λ:A→A⊗A,λ(a)=a1⊗a2,使得对任意a∈A,有

a1′⊗a2′1⊗a2′2=a11′(a2)1⊗a12′⊗(a2)2.

(8)

(3)存在一个线性同态μ:A→A⊗A,μ(a)=a1′⊗a2′,使得对任意a∈A,有

a1′⊗a2′1⊗a2′2=(a1)1′a21′⊗(a1)2′a22′.

(9)

(4)存在两个线性同态ξ,ζ:A→A⊗A,ξ(a)=aα⊗aβ,ζ(a)=aα′⊗aβ′,其中ξ,ζ至少有一个是代数映射,使得对任意a∈A,有

a1′⊗a2′1⊗a2′2=(a1)α(a2)α′⊗(a1)β⊗(a2)β′.

(10)

(5)定义一个线性映射θ:A→A⊗A⊗A,θ(a)=a1⊗S(a2)⊗a3,则对任意a∈A,有

a1′⊗θ(a2′)=a11′S(a2)1′a31′⊗a12′⊗S(a2)2′⊗a32′.

(11)

证明(1)⟹(2),(3)及(4):设(A,Δ,Δ′,σ)是一个Hopf cotruss,定义

λ(a)=σ(S(a1))a21′⊗a22′,

μ(a)=a11′σ(S(a2))⊗a12′,

ξ(a)=Δ′(a),

ζ(a)=σ(S(a1))a21′⊗a22′,

对任意a∈A,则根据Δ的余结合性,可由(4)式推出(8),(9)及(10). 此外,由于余乘法Δ′是一个代数映射,所以ξ也是一个代数映射.

(2)⟹(1):定义一个代数自同态σ:A⊗A,σ(a)=a1′εΔ(a2′). 显然,σ是一个代数映射. 下面证明等式(4)成立.

将id⊗εΔ⊗id作用在等式(8)上,可得

a1′⊗a2′=σ(a1)(a2)1⊗(a2)2.

(12)

于是

a1′⊗a2′1⊗a2′2=a11′(a2)1⊗a12′⊗(a2)2=a11′σ(S(a2)a3)(a4)1⊗a12′⊗(a4)2=

a11′σ(S(a2))σ(a3)(a4)1⊗a12′⊗(a4)2=a11′σ(S(a2))a31′⊗a12′⊗a32′,

因此,(A,Δ,Δ′,σ)是一个Hopf cotruss.

(3)⟹(1):同理可证.

(4)⟹(2)或(3):假设ζ是一个代数映射,定义τ:A⊗A,τ(a)=aα′εΔ(aβ′). 易证:τ是一个代数映射. 将id⊗id⊗εΔ作用在等式(10)上,可得

a1′⊗a2′=(a1)ατ(a2)⊗(a1)β.

(13)

于是

a1′⊗a2′1⊗a2′2=(a1)α(a2)α′⊗(a1)β⊗(a2)β′=

(a1)ατ(a2S(a3))(a4)α′⊗(a1)β⊗(a4)β′(A,ρ1)=

a11′τ(S(a2))(a3)α′⊗a12′⊗(a3)β′.

根据上面的讨论,存在一个线性映射λ:A⊗A⊗A,λ(a)=τ(S(a1))(a2)α′⊗(a2)β′,使得(8)式成立.

假设ξ是一个代数映射,易证:映射τ(定义为τ(a)=aαεΔ(aβ))是A上的一个代数自同态. 故类似上述方法可证:式(9)成立.

(1)⟹(5):定义映射θ:A→A⊗A⊗A,θ(a)=a1⊗S(a2)⊗a3,则对任意a∈A,有

a1′⊗θ(a2′)=a1′⊗a2′1⊗S(a2′2)⊗a2′3=

a11′σ(S(a2))a31′⊗a12′⊗S(a32′1)⊗a32′2=

a11′σ(S(a2))σ(a3)S(a4)1′a51′⊗a12′⊗S(a4)2′⊗a52′=

a11′σ(S(a2)a3)S(a4)1′a51′⊗a12′⊗S(a4)2′⊗a52′=

a11′S(a2)1′a31′⊗a12′⊗S(a2)2′⊗a32′.

(5)⟹(1):定义一个线性自同态σ:A→A,σ(a)=a1′εΔ(a2′). 显然,σ是一个代数映射. 将id⊗id⊗εΔ⊗id作用在等式(11)上,可得(4)式.

命题1设(A,Δ,Δ′,σ)是一个Hopf cotruss,则A具有如下两个左(A,Δ′,εΔ′)-余模余代数:

ρ1:A→A⊗A,ρ1(a)=σ(S(a1))a21′⊗a22′,

(14)

ρ2:A→A⊗A,ρ2(a)=a11′σ(S(a2))⊗a12′.

(15)

证明只需证明(A,ρ1)是一个左(A,Δ′,εΔ′)-余模余代数. 同理可证:(A,ρ2)也是一个左(A,Δ′,εΔ′)-余模余代数. 事实上,对任意a∈A,由引理1与引理2,可得

a(-1)⊗a(0)(-1)⊗a(0)(0)=σ(S(a1))a21′⊗σ(S(a22′1))a22′21′⊗a22′22′=

σ(S(a1))σ(a2)S(a3)1′a41′⊗σ(S(a3)2′)a42′⊗a43′=

S(a1)1′a21′⊗σ(S(a1)2′)a22′⊗a23′=

σ(S(a1))1′a21′⊗σ(S(a1))2′a22′⊗a23′=Δ′(a(-1))⊗a(0),

εΔ′(a(-1))a(0)=εΔ′(σ(S(a1))a21′)a22′=εΔ′σ(S(a1))a2=εΔ(a1)a2=a,

因此,(A,ρ1)是一个左(A,Δ′,εΔ′)-余模. 另外

a(-1)⊗Δ(a(0))=σ(S(a1))a21′⊗a22′1⊗a22′2=

σ(S(a1))a21′σ(S(a3))a41′⊗a22′⊗a42′=

σ(S(a1))a21′εΔ(a22′)=σ(S(a1))σ(a2)=εΔ(a)1A,

因此,(A,ρ1)是一个左(A,Δ′,εΔ′)-余模余代数.

由如下命题知,一个Hopf cotruss可以产生一族Hopf cotruss.

命题2设(A,Δ,Δ′,σ)是一个Hopf cotruss. 在A上定义一个新的余乘法Δn:对任意n∈N,

Δn(a)≡a1n⊗a2n=a1εΔ(σn(S(a2)))⊗a3,

则(A,Δn,εΔn≡εΔσn)是一个Hopf代数,对极映射为

Sn(a)≡εΔ(σn(a1))S(a2)εΔ(σn(a3)).

另外,(A,Δn,Δ′,σn+1)是一个Hopf cotruss.

证明因为σ是一个代数映射,(A,m,Δ)是一个Hopf代数,易证:(A,m,Δn,εΔn,Sn)是一个Hopf代数.

运用数学归纳法,由(5)式:σ(a)=a1′εΔ(a2′),a∈A,可以证明σn+1(a)=a1′εΔσn(a2′).

下面,证明(A,Δn,Δ′,σn+1)是一个Hopf cotruss. 事实上,显然,σn+1是一个代数映射,又对任意a∈A,

a11′σ(S(a2))a31′⊗a12′εΔ(σn(S(a32′1)))⊗a32′2=

a11′σ(S(a2))σ(a3)S(a4)1′a51′⊗a12′εΔ(σn(S(a4)2′))⊗a52′=

a11′σ(S(a2))σ(a3)σn+1(S(a4))a51′⊗a12′⊗a52′=a11′σn+1(S(a2))a31′⊗a12′⊗a32′,

a1n1′σn+1(Sn(a2n))a3n1′⊗a1n2′⊗a3n2″=

a11′εΔ(σn(S(a2)))σn+1(Sn(a3))εΔ(σn(S(a4)))a51′⊗a12′⊗a52′=

a11′εΔ(σn(S(a2)))σn+1(S(a4))εΔ(σn(a3))εΔ(σn(a5))εΔ(σn(S(a6)))a71′⊗a12′⊗a72′=

a11′σn+1(S(a2))a31′⊗a12′⊗a32′,

因此,对任意a∈A,

故(A,Δn,Δ′,σn+1)是一个Hopf cotruss.

下面建立Hopf cotruss和Hopf cobrace之间的联系.

设(A,Δ,Δ′,σ)是一个Hopf cotruss. 若(A,m,1,Δ′,εΔ′,T)是一个Hopf代数,则σ是一个双射,其逆为

σ-1(a)=a1′εΔ(T(a2′)),a∈A.

命题3设(A,Δ,Δ′,σ)是一个Hopf cotruss. 如果(A,m,1,Δ′,εΔ′,T)是一个Hopf代数,其对极映射为T,则(A,Δ′,Δ″)是一个Hopf cobrace.

这里Δ″定义为:对任意a∈A,

Δ″(a)≡σ-1(a1′)⊗a2′=a1′εΔ(T(a2′))⊗a3′.

证明由引理1,命题1,可证

σ(a1)a2(-1)⊗σ(a2(0))=σ(a1)σ(S(a2))a31′⊗σ(a32′)=a1′⊗σ(a)2′=σ(a)1′⊗σ(a)2′,

因此,由上面的讨论以及定义3知,σ是一个双射1-余循环.

又由于σ是左(A,Δ′)-余线性的,所以

σ-1(σ(a)1′)⊗σ-1(σ(a)2′)=σ-1(a1′)⊗a2′=a1′εΔ(T(a2′))⊗a3′=Δ″(a),

故由文献[11]中的定理2.12的证明知,(A,Δ,Δ″)是一个Hopf cobrace.