垂直差异产品的产品组合、价格与库存联合决策

王亚娜，江文辉，王桐远，李延来

(西南交通大学 交通运输与物流学院，四川 成都 611756)

0 引言

二十一世纪以来，随着科技和电子商务的迅速发展，在产品种类、质量、款式呈爆发式增长的同时，消费者对产品的需求也愈加多元化，例如手机零售商通常会出售华为、苹果、vivo、oppo等不同品牌的手机；对于同一个品牌的手机，零售商也会提供不同的内存、CPU、颜色、尺寸等一系列差异化产品来满足消费者的个性化需求。然而，零售商很难提供所有的细分产品给不同的消费者，因此对零售商而言，在满足货架空间、产品组合规模、资金投入等限制因素的前提下，如何从上游供应商提供的众多差异化产品中选择恰当的产品组合(product assortment)，并以恰当的价格销售给异质消费者以获得最大利润，成为亟需解决的问题[1]。

本文研究主要涉及垂直差异产品和品类规划。到目前为止，已有大量文献对垂直差异产品的产品线设计和定价进行了深入研究。Mussa等[2]首次提出垂直差异产品的效用函数和成本函数；Hua等[3]将其拓展到供应链情境下，以两种垂直差异产品为对象分析了集中/分散渠道对制造商产品设计的影响；Wang等[4]研究了需求依赖于价格、质量和顾客忠诚度时两个制造商的质量和价格竞争；Chen等[5]研究了双渠道结构对制造商的产品质量和价格的影响；周建亨等[6]在考虑产品体验的基础上研究了双渠道供应链下的产品价格和质量决策；Chen等[7]分析了高质量制造商拓展低质量产品线的最优性条件；Chen 等[8]研究了柔性制造商的最优产品线、价格及生产排程的联合决策问题；赵菊等[9]在考虑策略型消费者的基础上，研究了垂直化差异产品的推出策略。

品类规划研究零售商在满足运营约束的前提下，如何从给定的产品集合中选择一个子集销售给异质消费者以获得最大利润[10]。Ryzin等[11]应用多项Logit模型(Multi-Nomial Logit model，MNL)刻画消费者选择行为，研究了最优产品组合及库存联合决策问题，结果表明最优产品组合包含前k个最受欢迎的产品；随后，Gaur等[12]采用区位选择模型(locational choice model)刻画顾客的选择行为，得到与文献[11]不同的结论，即最优产品组合不一定包含最受欢迎的产品；Li[13]对文献[11]进行拓展，分析了顾客到达分布对最优产品组合的影响；Wang等[14]分析了网络外部性对最优产品组合的影响。上述文献均假设价格为外生变量，重点研究零售商的产品组合选择与库存控制问题。然而，现实中的零售商常常需要决策产品的零售价格，因此一些学者开始关注产品的品类优化、定价及库存控制的联合决策问题。Maddah等[15]研究发现，最优产品组合包含前k个保留价格最高的产品，当顾客到达人数趋于无穷大时，最优产品组合中产品的边际收益相等；Maddah等[16]考虑需求的不确定性，用泰勒展开的方法对上述研究进行拓展，结果表明当需求不确定时，最优价格为客流量的非单调函数；Ilkyeong等[17]在考虑货架空间约束的基础上，构建了解决该问题的混合整数规划模型，并设计了混合遗传算法进行求解；Katsifou等[18]从增加顾客忠诚度的角度出发研究该问题，结果表明，若产品组合中包含边际收益较低的特殊产品，则可吸引更多顾客，从而增加标准产品的销售量和零售商利润。另外，文献[19-22]研究了产品组合为外生变量时的库存控制或定价问题。

通过分析现有文献可知：①垂直差异产品的研究均从制造商的角度出发分析制造商的最优产品线和价格决策，该视角下的产品质量为连续型变量，然而对零售商而言，产品质量为一系列离散变量；②品类规划的研究均以水平差异产品为研究对象，然而从产品差异化角度来看，产品不仅存在款式、颜色、口味等水平差异，还存在如CPU、内存等产品特性的垂直差异。Pan等[23]以垂直差异产品为对象，研究了需求确定情形下价格分别为内生和外生变量时零售商的最优决策；Matta等[24]将其拓展到供应链情境下，研究零售商资源约束、渠道结构对上游供应商最优产品组合和批发价格的影响。

虽然上述研究为零售商解决需求确定情形下垂直差异化产品的品类优化和定价问题提供了一定的参考，但是针对需求不确定情形下零售商的最优产品组合选择、定价和库存控制问题，尚未有学者对此进行深入的探讨。鉴于此，本文将同时探讨需求确定和不确定环境下零售商的垂直差异化产品的产品组合、价格及库存的综合优化问题。首先，采用消费者效用最大化理论构建顾客选择模型，进而构建产品需求模型；其次，分别研究需求确定和不确定两种情况下最优产品组合和价格需满足的性质，根据最优产品组合的性质分别设计了两种需求情形下的寻求最优产品组合、价格及库存的启发式算法，并通过数值分析验证本文模型和算法的可行性与有效性；最后，通过灵敏度分析探查顾客到达人数和需求变异系数对最优产品组合、最优价格和最优库存的影响。

1 基本假设与符号说明

基于上述符号说明，本文对垂直差异产品的产品组合、价格与库存联合决策问题做如下假设：

(1)销售周期内不考虑补货情形。

(2)不考虑缺货替代，当顾客偏好的产品缺货时造成缺货损失。

(3)未销售产品的期末残值为0。

(4)每位顾客最多购买一个产品，且顾客之间的选择相互独立。

(5)顾客可获知零售商的产品组合信息，但不可获知当前产品组合的库存信息。

(7)产品质量、成本和顾客到达人数均为外生变量。

2 模型构建

2.1 顾客选择模型

(1)

2.2 顾客需求模型

pr(Dlj(p)=d)=

(2)

式中pr(T=D)为客流量T的分布函数。根据式(2)，对于任意给定的客流量分布函数，准确推出Dlj(p)的分布函数存在一定困难。Smith等[20]指出，当T服从几个特殊分布时，能够准确推出lj产品的需求分布函数：当T服从泊松分布时，Dlj(p)服从均值为λαlj(p)的泊松分布；当T服从负二项分布式时，Dlj(p)也服从负二项分布。因此，本文假设顾客到达人数服从均值为λ的泊松分布。当客流量服从离散型分布时，会使库存和价格联合决策模型变为复杂的非线性整数规划问题，用连续型分布近似离散型分布可以减小问题的复杂度[25]。Li[13]在其研究中表明，当平均顾客到达人数大于10时，正态分布可以较好地近似泊松分布。因此，本文假设lj产品的需求服从均值为λαlj(p)、标准差为(λαlj(p))β的正态分布，可知需求变异系数为(λαlj(p))β-1，即需求标准差、变异系数均为价格的函数。基于此，定义

Dlj(p)=glj(p)+flj(p)εlj。

(3)

式中：glj(p)=λαlj(p)；flj(p)=(λαlj(p))β，0≤β<1；εlj为随机变量，服从标准正态分布。

3 零售商决策分析

本章研究需求确定时零售商的最优产品组合及价格策略，在证明最优价格存在且唯一的基础上进一步推出最优产品组合的属性；研究需求不确定时的最优产品组合、价格及库存决策，证明两种不同需求情形下最优产品组合间的关系。

3.1 需求确定时零售商的决策分析

假设零售商不但可以获知消费者感知价值分布函数，而且能够清楚地洞悉每位消费者的质量敏感度，则lj产品的需求量Dlj(p)=λαlj(p)，库存为外生变量。此时，零售商需解决产品组合和价格联合决策问题(P1)如下：

P1ΠD(S,p,λ)=

(4)

s.t.

(5)

当顾客需求确定时，对于任意给定的产品组合S，零售商的最优价格满足以下定理：

(6)

(7)

(8)

⋮

(9)

定理1表明，当需求确定时，零售商的期望利润是产品销售价格的凹函数。对于任意给定的产品组合，存在唯一最优解使零售商的利润最大化；同时，零售商的最优销售价格是关于自身质量和成本的增函数，且与产品组合内其他产品的销售价格无关。因此，零售商在需求确定情形下进行价格决策时，只需考虑产品自身的质量和成本。下面研究最优产品组合需要满足的条件。

证明

③采用反证法，令h为满足plh-clh

与原命题矛盾，因此pl1-cl1≥pl2-cl2≥…≥plk-clk。

由推论1中条件①和②可知，最优产品组合中的产品价格和价格质量比是关于质量的增函数；根据推论1中条件③可知，最优产品组合中产品的边际收益是质量的非减函数，即高质量产品拥有更高的边际收益，因此一部分零售商只向消费者提供高端产品；上述推论中条件④表明最优产品组合中产品的成本为质量的凸增函数，这是因为高质量产品需要更多的研发和制造成本。因此，零售商进行价格决策时，应满足下述条件：高质量产品的单位质量价格高于低质量产品的单位质量价格，且高质量产品的边际收益大于低质量产品的边际收益。

3.2 需求不确定时零售商的决策分析

当市场处于不完全信息状态下时，零售商无法获知每位顾客的质量敏感度信息，lj产品的需求量Dlj(p)=λαlj(p)+(λαlj(p))βεlj，零售商需决策其库存水平y以适应需求的变动，令lj产品的库存量为ylj，则零售商的最优产品组合、价格及库存联合决策问题(P2)如下：

P2

Π(S,p,y,λ)=

(10)

(11)

根据需求服从正态分布的经典报童模型[11]，lj产品的库存量为

ylj(p)=λαlj(p)+zlj(λαlj(p))β。

(12)

令S*为最优产品组合，S*⊆Ω，对应的最优价格为p*，最优库存量为y*。根据式(12)，给定价格p，可以求出对应的库存y，即产品的最优销售价格确定时，最优库存量随之确定。因此，最优产品组合、价格和库存联合决策问题可以重述为最优产品组合与价格的联合决策问题(P3)：

P3Π(S,p,λ)=

(13)

(14)

顾客需求不确定时，零售商的最优价格满足以下条件：

定理2令需求不确定时的最优产品组合为S*，S*={l1,l2,…,li,li+1,…,lm}，则最优产品组合中产品的价格满足以下条件：

(15)

证明方法同定理1，不再赘述。

当需求确定时，产品的最优销售价格是关于自身质量和成本的函数；当需求不确定时，产品的最优销售价格还受产品组合内其他产品价格和质量的影响，这与消费者在购买产品时对比同类型其他产品的质量和价格的选择行为相符。另外，最优价格还受顾客到达人数的影响，解释了同一质量产品在客流量较大的沃尔玛和客流量较小的街区便利店具有不同销售价格这一现象的合理性。因此，当需求不确定时，零售商在制定其价格策略时不仅需要考虑产品自身的质量和成本，还必须兼顾其他同类型不同质量产品的价格和店铺客流量。

定理3需求不确定时零售商的最优利润Π*(S,p,λ)在p*处是cli和cli/qli的减函数。

综上所述，Π*(S,p,λ)在p*处是cli/qli的减函数。

根据定理3，零售商通过降低产品组合内产品的成本或者成本质量比可以增加其收益。

因此，

对Π(S,p,λ)求关于plj的偏导数，得

(16)

对式(16)求关于λ的偏导数，得

因此，

定理2说明产品组合内产品的最优价格受顾客到达人数的影响，推论3进一步探讨了两者之间的关系。根据推论3，产品的最优价格为顾客到达人数的非单调函数，原因是需求为价格和顾客达到人数的函数，且服从均值为λαlj(p)、标准差为(λαlj(p))β的正态分布。当顾客人数增加时，需求函数的标准差和变异系数将随之发生变化，价格也随之相应地变化，再次说明零售商根据其店铺客流量及时调整价格策略的重要性。在现实生活中存在众多价格随客流量波动的案例，例如，滴滴刚进入市场时，采取低价、价格补贴等策略，迅速吸引了大量用户。随着用户数量的增加，滴滴逐渐提高了单位里程价格，同时不定期发送优惠券至顾客账户刺激消费。Luckin咖啡、青桔单车等也采取了类似的策略来提升销售量。

4 算法设计

假设上游供应商向零售商提供N种垂直化差异产品，则零售商需从(2N-1)种产品组合中决策其最优产品组合。Pan等[23]、Hübner等[31-32]、Rusmevichientong等[33]指出，产品组合问题为NP难题，如果采用穷举法进行决策，则当N很大时，将会消耗大量的计算时间，因此基于推论1，本文设计了凸增包络算法，以筛选出满足最优产品组合性质的产品。

根据定理1，当需求确定时，产品的最优价格为自身质量和成本的函数；当最优产品组合确定时，产品的最优价格随之确定，具体求解步骤如下：

步骤3循环步骤2直至i=n。

当需求不确定时，零售商的最优决策问题为带约束条件的非线性优化问题。为此，本文引入罚函数，将其转化为不带约束的非线性优化问题。根据定理2，产品的价格不仅与自身的质量和成本有关，还受顾客到达人数、其他产品质量和价格的影响，传统的数学方法将很难求出最优价格。根据模型特点，本文设计了基于凸增包络算法和模拟退火算法的启发式算法，以寻找最优产品组合、价格和库存量。具体求解步骤如下：

步骤6判断扰动后的增量ΔF(p)，若ΔF(p)>0，则接受新解，否则按照Metropolis准则接受劣解。

步骤7更新温度，令T=Tω。

步骤12输出最优产品组合S*，p*，y*。

5 算例分析

本章以某零售商为例，分析确定型需求和不确定型需求两种情况下零售商的最优产品组合、价格和库存策略，验证上述相关结论的正确性和算法的有效性；并进行灵敏度分析，研究顾客到达人数、需求变异系数对最优产品组合、价格和库存量的影响。

5.1 算例求解

5.2 灵敏度分析

5.2.1λ对最优产品组合利润及其价格的影响

本节探讨两种不同需求情况下顾客到达人数对零售商最优价格及其利润的影响，结果如表1所示。

表1 顾客到达人数与零售商最优价格和期望利润的关系

由表1可知，当需求确定时，随着λ的增加，零售商的最优销售价格保持不变，利润不断增加，说明需求确定时最优价格与顾客到达人数无关，与定理1的结论一致；当需求不确定时，零售商的期望利润为λ的增函数，而最优价格为顾客到达人数的非单调函数。原因是：本文中的需求是关于价格和顾客到达人数的函数，且服从均值为λαlj(p)、标准差为(λαlj(p))β的正态分布，当λ增加时，需求的标准差、变异系数将随之发生变化，零售商的价格也随之相应地变化。因此，零售商在需求不确定情形下决策最优销售价格时，不仅要考虑产品质量、成本等与产品本身相关的属性，还要考虑店铺客流量，与定理2和推论3的结论一致。

图4所示为λ对零售商利润的影响。由图4可知，需求不确定时零售商利润始终小于需求确定时零售商的利润，这是因为需求的不确定性增加了库存成本，削弱了零售商的获利能力。当顾客到达人数从10增加到400时，两种需求模型间的利润差从100.91%减小到7.45%，说明增加客流量能够从一定程度上减小需求不确定性带来的风险。

5.2.2 需求变异系数对最优产品组合和利润的影响

根据式(3)可知需求变异系数为β的增函数，因此通过研究β对最优产品组合和利润的影响，即可获知需求变异系数对最优产品组合和利润的影响。β与最优产品组合和零售商期望利润的关系如表2所示。

表2 β与最优产品组合和零售商期望利润的关系

由表2可知，当β从0.1增加到0.7时，最优产品组合均为{1,3}，对应的零售商利润从2 505.68减少到1 648.56；当β为0.8和0.9时，最优产品组合均为{3}，零售商的利润分别为1 389.08和1 117.40。因此，随着产品需求不确定的增加，零售商利润不断降低，最优产品组合规模减小。由上述分析可知，虽然产品1的边际收益大于产品3，但是当市场需求高度不确定时，零售商并未选择销售边际收益较高的产品1，而是提供边际收益较低的产品3。这是因为产品1的成本高于产品3，而且产品1的单位滞销成本高于边际收益，而产品3的单位滞销成本低于边际收益，所以当市场需求高度不确定时，零售商会选择成本较低的产品，以减小需求不确定性带来的损失。以销售旅游纪念品的零售商为例，受季节、假期等因素影响，其产品需求具有较高的变异系数，因此多数零售商向游客提供质量较低的产品。另外，表2说明对于任意产品组合，零售商的利润是β的减函数。图5所示为产品组合为{1.5}时β与利润之间的关系。

由图5可知，当迭代次数超过500时，零售商的利润基本保持不变，说明算法的收敛速度基本不受需求变异系数的影响，因此本文设计的算法具有较好的稳定性。另外，图5说明随着β的增加，零售商利润降低了66.08%，根据式(3)可知，需求变异系数是关于β的增函数。因此，零售商的期望利润是需求变异系数的减函数，说明需求不确定性增加将削弱零售商的获利能力。

5.2.3 需求变异系数对最优库存量的影响

本节研究需求变异系数对零售商最优库存量的影响，研究结果如图6所示。

由图6可知，当β≤0.7时，零售商向消费者出售产品1和产品3。随着β的增加，产品1的最优订货量呈下降趋势，产品3的最优订货量虽出现一定程度的波动，但整体上仍然呈上升趋势。其原因为：当订货量小于需求量时，产品1和产品3的最大边际缺货成本分别为106和57.62；当订货量大于需求量时，产品1和产品3带来的最大损失分别为204和40.8。与产品3相比，产品1虽然具有较强的获利性，但是风险成本较高(风险成本高于边际收益)。当需求的不确定性增加时，零售商减少产品1的供应量以避免库存过多造成损失，同时增加产品3的供应量以减少缺货导致的损失。当β>0.7时，零售商仅提供产品3，产品3的最优订货量为β的减函数。综上所述，当产品组合中的产品数量大于1时，随着需求变异系数的增加，零售商在降低高质量产品库存量的同时增加低质量产品的供应量；当最优产品组合中仅存在一种产品时，随着需求变异系数的增加，产品的最优订货量不断降低。

6 结束语

本文基于消费者效用最大化理论和报童模型，分别构建了确定型需求和不确定型需求的最优产品组合、价格及库存联合决策模型，研究了顾客到达人数、需求变异系数对最优产品组合、最优价格及库存量的影响。研究结果表明：

(1)需求不确定时的最优产品组合是需求确定时最优产品组合的子集，当需求不确定时，最优产品组合的规模与需求变异系数成反比。

(2)两种不同需求模型下，零售商的利润均为顾客到达人数的增函数，而且确定型需求的期望利润始终高于不确定型需求的利润，但两者之间的差距随顾客到达人数的增加而减小。然而，当需求确定时，最优价格与产品自身成本和质量成正比，与顾客到达人数相互独立；当需求不确定时，零售商的最优价格是关于产品自身成本、质量、产品组合内其他产品价格以及顾客到达人数的函数。

(3)当需求不确定时，零售商的利润是需求变异系数的减函数，而最优库存量为需求变异系数的非单调函数：当|S*|≥2时，随着需求变异系数的增加，高质量产品的库存量整体上呈下降趋势，低质量产品的库存量整体上呈上升趋势；当|S*|=1时，最优库存量与需求变异系数成反比。

因此，本文结论对零售商的最优产品组合选择、定价及库存管理具有一定指导意义。

本文研究了两种不同需求情形下垂直差异产品的最优产品组合、价格及库存联合决策问题，没有考虑产品的横向差异对零售商最优决策的影响。因此，研究垂直差异和水平差异共存时消费者选择行为及零售商最优决策是未来的研究方向。