中考数学二次函数的压轴题解题探究

王瑞芳

摘 要：在中考中，数学最后一道压轴题往往以二次函数的形式呈现。二次函数集中考察学生的几何构型、列式计算、化静为动等数学思想，结合大量知识考察学生的数学学科综合能力。并且，二次函数在数学中考中分值占比较高，是考生拿到高分的关键题型。因此，学生对于二次函数题型的掌握就显得尤为重要。本文中，笔者将结合例题，探讨二次函数的题型以及解题思路。

关键词：中考数学 二次函数 解题技巧

二次函数在初中数学教育中，对于学生的知识储备和思维能力都有极高的要求，因为压轴题的解题思路往往是一环扣一环的，任何一个知识点的记忆模糊或者思路受阻，都会导致整道题难以得到解决。所以，学生必须要了解常见的二次函数题型，并且要通过练习来巩固解题思路。

1 了解中考中常见的二次函数问题类型

根据历年各地的二次函数压轴题，我们可以将二次函数的考法大致归纳为以下几种：①动点（或不确定点）问题：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来。②动三角形问题：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，求最大值或最小值。③动线段问题：线段长度是运动，变化，不确定的。④求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题。⑤“两个三角形相似”的问题。⑥三角形证明问题。

当然，除了以上提到问题，压轴题还会出现一些综合性较强的二次函数题目。当学生了解了压轴题的基本题型后，教师就可以有针对性地选择合适的习题进行训练和讲解。

2 以实例讲解知识点

为了更好地呈现二次函数压轴题的解题思路以及解题方法，我们以下列题目为例。

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.

（1）请写出点C的坐标，并写出过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出过程;

（2）如果D为抛物线的顶点，在直线BC上是否存在点P，使得图形ODAP可以写成平行四边形？如果存在，求出点P的坐标;如果不存在，请说明理由;

（3）直线BC与设抛物线的对称轴相交于点T，Q是线段BT上的任意一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围。

以下是本题的具体解析。

（1）点A的坐标是y坐标是0，得x坐标为8，以点A的坐标为（8，0）;点B的坐标是x坐标为0，解得y坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）;由题意得：∠ABO的角平分线是BC，所以OC=CH，BH=OB=6

∵AB=10，∴AH=4，由题目

设OC=x，则AC=8﹣x

由勾股定理可得：x=3

∴点C的坐标为（3，0）

将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得;

（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得;

（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA﹣QO|=|QA﹣QH|.

当点Q与点B重合时，Q、H、A三點共线，|QA﹣QO|取得最大值4（即为AH的长）;

设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，|QA﹣QO|取得最小值0.

题目点评：此题的构架基本当做二次函数压轴题的普遍结构，所以我们可以在解析本题的过程中将解答方法推广到更多的相似题型。往往压轴题第一问难度不是很大，大多是简单证明题或是求表达式，在本题（1）中就只要求学生简单地进行解析式的求解，关键点就是要学生掌握设未知数的技巧，最后求出C点坐标，得以求出解析式。而压轴题的第二问和第三问才是真正拉开学生间差距题目，要求学生具有细致考察数学知识点的能力。本题的（2）就巧妙地将平行四边形与二次函数相结合，考察二次函数性质的同时还兼顾了平行四边形对角相等、对标平行的性质，还在其中穿插了三角函数知识点。在题目（3）中，则是考察学生化静为动的思维，涉及了动点和动线段问题，其中还加入了几何图形对称的知识点，解题的关键是学生认真识图，注意数形结合思想的应用。由此可见，二次函数压轴题能够辐射到很广的数学知识，学生任何一个知识点的遗漏都会很容易丢掉压轴题的分。除了考察的综合性和复杂性，在这道题中也可以看出压轴题的连贯性。此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，第一问要求学生求出抛物线的解析式，这一问虽然看似简单，但是十分关键的一步，因为解析式如果求解错误，第二问和第三问就等于白做了，还会导致学生花费大把的时间不停的计算，不停的修改，最后仍然拿不到分。第二问是动点与平行四边形相互结合的问题，这就体现了压轴题的综合性。

3 结语

二次函数的问题之所以能够成为中考的惯用压轴题，是因为这一类题需要学生具备极高的思维敏捷度，而正是这样，二次函数题就更值得教师和学生一起钻研和探讨。二次函数题也没有想象中的那么困难，只要了解了基本题型，做足了练习，就会在中考考场上得心应手，取得中考胜利。

参考文献：

[1] 匡继昌.如何理解和掌握数学概念的教学实践与研究[J].数学教育学报2013（06）.

[2] 赵静.九年级学生二次函数认知的调查研究[D].苏州大学2011.