理解数学，理解学习，理解学生

叶旭山

摘要：数学的基础是逻辑和直觉、分析和结构、共性和个性。初中数学有4个典型特点：从“数”到“式”，从“算术数”到“有理数”，从“算术解法”到“代数解法”，从“实验几何”到“论证几何”。初中数学教学，要引导学生学会同构、学会转化、学会类比，养成多想、多做、多问、多总结、多复习等良好的学习习惯。

关键词：初中数学 数学学习 学习习惯

一、 理解数学——什么是初中数学

（一） 数学是什么

数学到底是什么？这个问题的答案，版本众多。大家普遍认为，数学是研究数量关系和空间形式的科学。它从量的侧面去探索和研究客观世界的普遍规律，通过对物体的空间形式和数量关系的研究，不仅极大地推动了生产实际和科学技术的发展，同时还给予人们如何发现并提出问题、分析和解决问题以及总结与深化问题的思维方法。

下面两个故事，有助于更好地理解数学的特点。

第一个故事“两只羊的描述”：

草地上有两只羊，艺术家、生物学家、物理学家、数学家却有不同的感受与理解，下面是他们的描述：

艺术家：蓝天、碧水、绿草、白羊，美哉自然。

生物学家：雄雌一对，生生不息。

物理学家：大羊静卧，小羊漫步。

数学家：1+1=2。

从不同职业的人对两只羊的描述，我们能感受到艺术家对自然美的关注，生物学家对生命的关注，物理学家对运动与静止的关注，而数学家从色彩、性别、状态中抽象出数量关系“1+1=2”，这是数学高度抽象性的体现。

学生的数学学习要经历“具体—表象—抽象”的过程，因此，要在直观物体和抽象概念之间建构桥梁，引导学生把握事物最主要、最本质的数学属性。抽象要有经历的过程，而不是直接告诉抽象的结果。数学抽象本身又是一个不断提高的过程，这一过程永无止境。

第二个故事“小行星的发现”：

这是一个用数学解决天文学的实例。1781年以前，人们只知道太阳系有六大行星，水星、金星、地球、火星、木星和土星。设地球与太阳的平均距离（以天文距离为单位）是10，那么，各行星与太阳的距离分别是水星3.9，金星7.2，火星15.2，木星52，土星95.4。1766年，提丢斯对各个行星与太阳的距离进行了数学化的分析，发现水星的3.9≈4+0，金星的7.2≈4+3，地球的10=4+6，火星的15.2≈4+12，木星的52≈4+48，土星的95.4≈100=4+96。这种近似对于天文距离而言是常见的，由此归纳出一个经验公式：各行星与太阳的距离分别是4依次与数列0，3，6，12，24，…（此数列自第二项起，后一项都是前一项的2倍）各项的和。进而，推测与太阳的距离约为28（=4+24）的位置可能会有行星的存在，与太阳的距离约为196（=4+192）的位置也可能会有行星的存在。

1781年3月13日，赫歇尔发现天王星，在与太阳的距离为196的位置。这再次激发大家寻找其他位置可能存在行星的兴趣和信心。

1801年1月1日晚，皮亚齐在意大利西西里岛的巴勒莫天文台，为了核对星图，观察金牛座一带的星体时，发现一颗8等星与星图不合。第二夜再观察时，发现它已向西移动。皮亚齐连续观测了40天，一直到2月11日。皮亚齐因为劳累过度而病倒，但他将观测的结果写信告诉了欧洲大陆的天文学家。因为当时正值拿破仑远征埃及，英国舰队封锁了地中海，所以直到1801年9月，欧洲大陆的天文学家才知道这件事。这个结果引起了轰动。但那时这颗星已被阳光所掩，无法寻得踪迹，似乎它已在无数群星之中永远消逝了。

时年24岁的高斯经过几个星期的不懈努力，克服了重重困难，终于创立了“行星椭圆轨道法”，成功地解决了这一问题。这一年的年底，天气晴朗，天文学家在预测的位置上，重新找到了这颗星（后定名为“谷神星”）。这显示了数学理论的巨大威力，充分展现了高斯非凡的才能。谷神星与太阳的距离为27.7，与28基本相符。但新的问题又产生了：谷神星的直径仅有770公里，是火星直径的6%，是木星直径的0.55%;位置处在火星与木星之间，它的大小极不相称。于是，天文学家在这个空间带里继续寻找并发现了许多小星体，后来这些小星体统称为小行星，形成一个小行星带。

这个故事告诉我们：数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映了生动活泼的意念、深入细致的思考以及完美和谐的愿望。它的基础是逻辑和直觉、分析和结构、共性和个性。

（二） 初中数学是什么

初中数学有4个典型特点，简称“4条线”。

1. 从“数”到“式”，即“数的运算→用字母表示数→式的运算”。这是“字母线”。

下面来完成一個小游戏：测出心中的偶像，感受一下字母的魅力。游戏规则：从1—9中选一个你喜欢的数字，乘3加3，再把得到的数乘3，然后

把个位与十位的数字相加，在心里记住所得到的结果;稍后查看表1中对应数字代表的人物，就知道内心崇拜的偶像了。根据活动的需要，我将数字9对应的人物设置为我本人，是为了增加神奇感和趣味性。教师可以根据具体活动的需要调整数字9对应的人物，以达到相应的目标。

这个游戏的最后结果都是一致的（数字9），也就是说，崇拜的偶像都是同一个人。很神奇吧！解决这个问题，主要有两种思路：

思路一：把1—9这9个数字全部算了一遍，发现结果都是9（如表2）。

思路二：把心里想的那个数字设为a，那么依据规则，将这个数字乘3加3，再把得到的数乘3，就是3（3a+3）=9a+9=10a+（9-a），因此，十位上的数字是a，个位上的数字是9-a;再依据规则把个位与十位的数字相加，也就是a+（9-a）=9，所以结果都是9。

这个游戏的目的，是为了切实感受“用字母表示数”的必要性和优越性。思路一运用完全归纳法，说理很严密，但需要计算9次，比较麻烦;思路二在本质上属于严格代数推理范畴，要求学生先自觉运用“符号表示”，然后依据规则“操作符号”来揭示这个游戏背后的数学本质。通过这个游戏活动，可以帮助学生认识到“用字母表示数”的优越性，初步形成运用符号表达的意识，进而发展有序思考的习惯，积累数学思考的基本经验。

从上述过程可以看出，和小学数学相比，初中数学最大的特点是抽象程度的提高，简单地说，就是从“算术”跨越到“代数”。小学数学中主要出现的是具体的数，而到了初一接触到的是“用字母表示数”，是数的概念的发展，建立了代数概念，研究的是有理式的运算。这种由“数”到“式”的过渡，是由特殊的、具体的、确定的数，到一般的、抽象的、不确定的字母和代数式。这是数学思想上的一个飞跃，是形象思维向抽象思维的转变。我们要努力帮助学生过好“抽象关”。

2. 从“算术数”到“有理数”，即“非负有理数→初步认识负数→有理数→实数”。这是“数系线”。

小学数学中出现的数一般属于非负有理数，一般称之为“算术数”。进入中学后，首先接触到的就是负数，把数的范围扩大到了有理数。负数似乎不难，却搅乱了学生原有的数的观念。这实际上是一种质的飞跃。很多学生有些不适应。比如，0是“算术数”中最小的数，但在有理数中却没有最小的数;在非负有理数中，被减数必须大于减数，但在有理数中，减法总是可以实施的。由于数的扩充，引入了负数、有理数、绝对值、相反数等新的概念，使小学阶段数学概念的外延和内涵都发生了变化。这些变化会使刚进入初一的学生有些不适应。运算是学好数学的基本功。初中阶段是培养学生数学运算能力的黄金时期。初中运算涉及的核心板块，包括有理数的运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算、解方程与不等式，等等。

提高运算能力，就是要求能准确、简捷地进行运算。正确理解概念，掌握运算法则，运用转化的思想方法，能准确、合理、熟练、灵活地运用运算法则和运算律，是提高运算能力的关键。保证做题的数量和质量是学好数学的必由之路。我们要努力帮助初中阶段的学生过好“计算关”，保证计算的数量和质量。

如何保证数量？选准一本与教材同步的辅导书或练习册，做完一节的全部练习后，对照答案进行批改;选择有思考价值的题，与同学、老师交流，并把心得记在记录本上;每天保证30分钟左右的练习时间。

如何保证质量？题不在多，而在于精，要学会“解剖麻雀”;不仅要落实思维过程，而且要落实解答过程;注重复习，“温故而知新”，把一些比较“经典”的题重做几遍，把做错的题当作一面“镜子”进行自我反思，也是一种高效率的、针对性较强的学习方法。

3. 从“算术解法”到“代数解法”，即“算术解法→简易方程→列方程解应用题”。这是“方程线”。

在小学，解题主要采用算术解法，而中学需用代数解法（列方程）。算术解法是将未知量处于完全被动的特殊地位，只允许已知量参加运算，总是“等待”由已知量计算出它的数值，把已知量与未知量处于对立状态，采用的是逆向思维;而代数解法则承认未知量也是数，把所求的量与已知量放在平等的地位，找出各个量之间的等量关系，建立方程而求出未知量，采用的是正向思维。当然，小学数学也涉及简易方程，但其数量之间是用和、差、积、商等数量关系来说明的，而一元一次方程在理论上有了同解原理，有关解方程的一些步骤也提高到了理论上的理解。例如，有这样一道题：比一个数的4倍小3的数是13，求这个数。算术解法的特点是逆推求解，列出算式（13+3）÷4;而代数解法则是顺向推导，设所求数为x，只要直译原题，即4x-3=13，便可求解。算术解法强调套类型，代数解法则重视灵活运用知识，培养分析和解决问题的能力，这是思维方法上的一大转折。

又如，经典的“鸡兔同笼”问题：笼子里有若干只鸡和兔，鸡和兔共有3个头、8条腿，共几只鸡、几只兔？小学生采用猜测每一种情况并进行检验的策略，得到问题的最终答案，即有2只鸡、1只兔;而初中生还可以用解二元一次方程组的方法。不同学段有不同的学习策略。要鼓励学生体会解决问题的不同方法，学习评价不同的策略，并丰富和扩充自己的策略。初中阶段需要承认未知量也是数，把未知量与已知量放在平等的地位，找出各个量之间的等量关系，建立方程而求出未知量。因此，在初中阶段，我们要努力帮助学生过好顺向“思维关”和“计算关”。

4. 从“实验几何”到“论证几何”，即“直观感知，操作确认→合情推理（说一点理）→推理”。这是“论证线”。

学生在小学已经学过几何的初步知识，对一些常见图形有了基本了解，比如线、角、三角形、平行四边形、梯形、圆等，侧重于认识图形。计算长度、面积等，属于实验几何的范畴，主要是让学生自己动手量一量、折一折、剪一剪、拼一拼，通过实践活动增长知识，重计算不重逻辑推理。而中学几何是在小學几何基础上的进一步认识，对学生提出了更高的要求——对图形的属性进行分析、综合、抽象、概括、推理证明，不仅要全面掌握各图形的性质与识别方法，掌握几何的基础知识和基本技能，进一步培养运算能力，而且要运用演绎的方法证明有关平面图形的性质，进行严谨的推理论证，发展逻辑思维能力和空间观念。这个领域的内容，初一学生普遍感到不适应，也是出现分化最严重的学习板块。初一的几何学习，主要包括《走进图形的世界》《平面图形的认识（一）》《平面图形的认识（二）》《证明》这四章（苏科版七年级数学教材），内容已涉及概念、推理论证、作图等几何教学的基本问题。这些内容既是几何入门教学的重点，又是难点。初中几何入门难的主要原因：一是学科内容从代数到几何发生了由数到形、由计算到推理的转变;二是几何入门概念多。因此，在初中阶段，我们要努力帮助学生过好“推理关”，熟练掌握文字语言、图形语言、符号语言之间的转换。

二、 理解学习——初中数学怎么学

由于数学有其突出的特点，所以数学学习也必将表现出一些特殊性。数学学习活动本质上是数学思维活动，数学学习是一个“数学化”的过程，也是一个逻辑推理的过程，需要严密的逻辑推理能力。

有这样一个故事：

三位科学家由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久，发现了一只黑羊。

“啊！”天文学家说，“原来苏格兰的羊是黑色的。”

“得了吧，仅凭一次观察你可不能这么说。”物理学家道，“你只能说那只黑色的羊是在苏格兰边境发现的。”

“也不对。”数学家说，“由这次观察，你只能说：在这一时刻，这只羊，从我们观察的角度看过去，有一侧表面是黑色的。”

这里，数学家对苏格兰羊的描述，就充分体现出数学的严密性。数学是思维的体操，语言是思维的外壳，数学的理性思维是建立在数学概念、数学定理等数学语言的严密界定之上的。数学语言的简洁、精炼、严密的特性，要求我们在平时的数学教育教学中不断地锤炼数学教学语言，进而通过数学语言的训练提升学生的思维品质。

根据学习的认知理论，数学学习的过程是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。下面着重介绍几种初中数学学习的基本方法。

（一） 学会同构

大家先来看这样的一则消息：图同构问题（graph isomorphism problem）获得重大进展。美国数学学会2015年评出当年美国数学界10件大事，其中之一就是图同构问题的进展。

图同构问题，即图1与图2是否属于同构（点之间一一对应）的问题。这在复杂性理论中一直是一个特殊问题。芝加哥大学的László Babai教授在2015年11月的研讨会上提交了有关论文，并描述了他的最新工作。

我们暂且不去讨论图同构问题的深层次学术问题，只讨论一下图1、图2为什么本质上是同一张图。这两张图，其实都是这样完成的：平面上有A、B、C、D、E五个点，然后依次按顺序首尾连接AB、BC、CD、DE，EA。这两张图中，无论是点还是线段都是一一对应的。

再来看图3、图4。E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH一定是平行四边形。对于图3，结论的推理大部分学生处理起来绝对轻松;但是对于图4，结论的推理有相当一部分学生显得束手无策。究其原因，就是没能真正理解这两张图其实本质上是一样的，也是图同构问题。理解了图同构问题的本质，便会发现这两张图相关结论的推理过程完全一样。

再看图5、图6、图7。乍一看，这三张图之间似乎没啥联系。其实，这三张图从某种意义上看也是同构的：图5中，从左侧到达右侧共有8种不同的路径;图6中，从左侧到达右侧共有8种不同的路径;图7中，从迷宫的入口到达中间也有8种不同的路径。

数学学习，要善于找出不同事物之间的共同属性进行概括归纳，并加以应用。这三张图其实也就是初中數学要学习的概率的基本模型：一只不透明的袋子中装有颜色分别为黑、白的球各一个，连续摸3次（放回），摸到某种颜色的球的概率是多少。

下面是一道2013年南京市中考数学试题：

（1）  一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同。求下列事件的概率：

① 搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球;

② 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球。

（2）  某次考试有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的。如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部选择正确的概率是（）

这个问题中的第（1）题与第（2）题是“同构”的。第（2）题中的“每道题所给出的4个选项”，可以看作是第（1）题中的“一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个”。如此看来，问题也就迎刃而解了。

（二） 学会转化

先看一则故事“烧水的问题”。

有人提出这样一个问题：“假如你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些水，应当怎样去做？”

被提问者答道：“在壶中倒入水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”

提问者肯定了这一回答，接着追问：“如其他条件不变，只是水壶中已有了足够的水，那你又应当怎样去做？”

这时被提问者很有信心地答道：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”

但是提问者说：“物理学家通常都这么做，而数学家则会倒去壶中的水，并声称已把后一问题转化成先前的问题。”

数学家“倒去壶中的水”似乎是多此一举，不过，故事的编创者不是要我们去“倒去壶中的水”，而是引导我们感悟数学家独特的思维方式——转化。数学学习，不是问题解决方案的累积记忆，而是要学会把未知的问题转化成已知的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化成具体的问题。数学的转化思想简化了我们的思维状态，提升了我们的思维品质。转化不是就事论事、一事一策，而是发掘出问题中最本质的内核和原型，再把新问题转化成已经能够解决的问题。

比如，学习多边形内角和，就是将多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，可以通过图8的方式转化，也可以通过图9的方式转化。

又如，公式（a-b）2=a2-2ab+b2是由公式（a+b）2=a2+2ab+b2推导得出的，该推导过程的第一步是（a-b）2=[a+（-b）]2，其本质就是将减法转化为加法。再看这样一个问题：已知公式（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，请直接写出（a-b）4的展开式。知道转化，这个问题也就非常简单了。

再如，在一个3×3的方格表（如图10）中，填入9个不同的正整数，使得排在一条直线上的3个数的积都相等。

使得排在一条直线上的3个数的积都相等，这属于积的幻方的范畴，难度还是比较高的，但如果懂得灵活转化的话，就很简单了。观察图11，是一个最基本的和的幻方问题，即使得排在一条直线上的3个数的和都相等。如何将和的幻方问题转化为积的幻方问题呢？再观察图12，也许就迎刃而解了。

转化思想是数学的基本思想，它应贯穿数学学习的始终。因为，数学问题的求解都是运用已知条件，对问题进行恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。可见，数学学习过程实际上是由一连串的转化所组成的。转化的目标，就是将复杂问题向简单问题转化，具体表现为：当解决生疏、复杂的问题不易入手时，必须变换思考的角度，利用发散性思维，产生新的联想，将问题转化为熟悉的简单问题。