把握数学本质，促进有效建模——以“植树问题”的教学为例

林素琴

（厦门市高殿中心小学，福建 厦门 361000）

“植树问题”是人教版小学数学五年级上册数学广角的内容，小学阶段的植树模型是由“植树问题”进一步抽象而来的。重点是研究当两端都栽，一端栽一端不栽和两端都不栽这三种情况下棵数与间隔数之间的关系。为了让学生自主发现和理解上述不同情况下棵数与间隔数之间的关系，一般情况下老师们会采用化归的思想方法解决植树问题，但在教学过程中，我们发现这看似简单的植树问题，学生却始终难于理解，以致到最后只是死记硬背关系，并不能真正理解建构这一模型，在运用知识解决问题时也就显得生搬硬套。在教学时，该如何才能真正让学生建构起植树模型，并灵活地运用模型解决生活实际问题？听完俞震强老师的“植树问题”一课，笔者有了以下的想法。

一、回归知识本源，感知模型

数学知识具有很强的系统性和联系性，很多新知识都是在旧知识的基础上形成和发展起来的。前面学习的知识往往是后面知识的基础，后面的知识是前面知识的发展、延伸。“植树问题”就是除法意义在生活中的实践延伸。因此，为了让学生更好地理解和掌握植树模型，在教学中我们应注重数学知识的整体性，调动学生已有的知识经验，让学生找到植树问题的本源，理解和领会数学知识间的联系与不同，进而初步建立模型。如俞老师的“植树问题”教学片段：

黑板上呈现：

1.20米，每5米一段，一共可分几段？

2.20米路，每5米栽一棵树，一共可栽几棵？

让学生独立思考，列式解决

第一题生列式：20÷5=4（段）

师：为什么要用除法算？

生：因为这是平均分

师：你们的意思是说5米一段，5米一段，也就是说把20米进行了平均分，所以要用除法算，是吗？（板书：平均分）

第二题生列式：20÷5=4（棵）

俞老师从除法的意义入手，直接出示两道题，让学生独立思考，自主列式，充分调动了学生的已有经验，理解了5米一段，5米一段，就是把20米进行平均分，要用除法计算。在学生提取出除法意义知识的基础上，学生很轻松地理解“每5米种一棵”也是每5米一段，是平均分的问题，要用除法计算。俞老师通过这一简单而富有智慧的设计，成功地建立起新旧知识的联系，把植树问题转化成学生好理解、会运用的除法问题来解决，让植树问题回归除法意义的本源，使学生在头脑中初步建立起一个模型，要求段数，用除法，这是一个平均分的问题。

二、把握数学本质，建构模型

在生活中，植树问题披着形形色色的外衣，存在着复杂多样的情况，如安装路灯、锯木头、走楼梯、敲钟等，学生常常会被这些美丽的外表所迷惑，找不到问题的数学本质。我们该如何使学生能透过外衣看到问题的本质？在建构模型时，我们就必须从复杂的现象中抽象出植树问题的本质，借助适当的方式方法帮助学生理解植树问题的本质，进而真正有效地建构模型。如俞老师教学“植树问题”片段：

（一）借助几何直观，理解模型

20÷5=4（棵）

师问：是否同意4棵（引导学生思考质疑）

让学生动手在线段上“种树”

师再带领全班同学一起在线段的点上“种”上了5棵树，并列出算式：20÷5=4 4+1=5

请同学们比较这两个题目，它们相同吗？有什么不同？

生：第一题的几段是平均分

师：什么是段？

生：段是两棵树之间的部分。

师：第二题也是平均分，只不过种树时我们是把树种在什么地方的？

生：点上

师：对，种树时，树是种点上的（板书：点）

师：那点和段有什么不同？一段有几个点？两段有几个点？点和段有什么关系？三段、四段、十段呢？

经过老师的追问和点拨，学生总结出：“段+1=点”这一关系

教师引导学生思考质疑，出现不同想法将本课推向高潮，这也正是知识的生长点，即第二道的植树问题相比原来的除法到底有何不同呢？由于数学问题的抽象性，许多学生无法快速准确的把握植树问题的本质，明晰不同。这时，俞老师借助几何直观，首先把20米长的路抽象成一条线段，再让学生亲自在线段上“种”树，在“种”树的过程中，学生已然亲自感受到“种”树是种在点上，是隔一段在段的点上种一棵，而不是一段一棵；在学生已经有所感知但还有点模糊不清时，俞老师又一次让学生观察图形，彻底理清什么是段？什么是点？这一过程让学生明白了植树问题中的间隔其实就是“段”，种的树就是线段中的“点”，明白了植树问题的本质，就是段与点之间的关系，最后总结出：“段+1=点”，进而建构起植树问题的一般模型，即“间隔数+1=棵数”。整个过程，学生亲身参与、思考、发现，直观易懂，深入本质，在头脑中有效建构模型。

（二）运用变式对比，丰富模型

植树模型除了“间隔数+1=棵数”即“段+1=点”这一模型之外，还有两种特殊的模型，即一端栽一端不栽和两端都不栽。俞老师教学片段如下：

师：解决了刚刚的植树问题，知道了植树问题是研究平均分的“点”，现在问题又来了，某某同学扛着5棵数准备去种，突然发现其中一端被一栋房子挡住了，怎么办？

生：剩下一棵，带回来

从图上看就是，其中一端的一个点不种，刚好一段一个点，一一对应

总结：一端栽一端不栽是“段=点”

师：某某同学也扛着5棵数去种，两端都被房子挡住了，怎么办？

生：两头都不种，只种3棵就够了

从图上看就是，一段一个点，最后一段不能加点

总结：两端都不栽是“段-1=点”

植树模型之丰富和复杂，有些老师考虑到学生接受量的问题，一节课只教学第一个模型，扎实基础，这无可非议。但为了让学生能系统地掌握知识，灵活准确地运用模型，在合理选择教学方法，保证教学质量的情况下，大部分老师会将这三种情况整合，而俞老师也是这样设计的。但这三种情况俞老师又不像大部分老师一样并列着教。因为，在20米长的路旁植树，两端都不栽或一端栽一端不栽根本不符合实际，除非碰到一些特殊的情况导致一端不能栽或两端都不能栽。所以俞老师从生活实际出发，将一般模型（两端都栽）进行改变，一头被房子挡住了，两头都被房子挡住了，怎么办？根据生活经验，加之前面已经建构好的模型——两端都栽是“段+1=点”，学生借助图形可以很容易地就理解并总结出：一端栽一端不栽是“段=点”即“间隔数=棵数”，而两端都不栽则是“段-1=点”即“间隔数-1=棵数”，进而丰富了植树模型，方便学生系统地掌握知识。

三、解决实际问题，活用模型

数学来源于生活，也将用于生活。新课程理念强调：数学教学要从学生已有的知识和生活经验出发，让学生亲身经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。真正成功的建模是以学生能灵活运用模型为评价标准的。因此，植树模型的真正建构，需要把植树问题延伸到生活中去，引导学生学会对比分析，真正把握问题的本质，从而灵活地运用相应的数学模型解决问题。这是帮助学生有效建模的重要环节。如俞震强老师“植树问题”教学片段：

师：除了植树人把树植在点上之外，还有什么人把什么事情也是放在平均分的点上的？

生：每隔10厘米放一个杯子，工地上工人打树桩，每隔几米一盏路灯，缝扣子，锯木头等等

师引导分析：同学们说的那么多生活问题，什么是段？什么是点？属于哪一模型？

解决问题

（一）基础巩固（正向套用模型）

例：在一条全长2km的街道两旁安装路灯（两端都要装），每隔50m安一盏。共装几盏？

（二）提升拓展（逆向活用模型）

例：同济桥的一边，每隔10米有一盏路灯（两端都有），一共有13盏灯。同济桥有多长？

上述过程，俞老师通过“还有什么人做什么事，也是放在平均分的点上的？”这一极具思维含量的问题，抓住植树模型的本质，引导学生思考寻找生活中的植树问题，深刻体会生活中的植树问题形形色色。学生唯有抓住其本质，抽象出每一具体问题中的“段”与“点”，才能顺利地运用植树模型来解决生活问题。这样让学生充分沟通数学与生活间的联系，拓宽学生的思路，培养了学生的思维，使学生更加深刻地理解“点”与“段”之间的内在关系，真正有效地建构植树模型。

建模在小学数学学习中至关重要，有效的建模能帮助学生真正体会到数学的应用价值。但建模不是简单的告诉学生公式法则，解题步骤，让学生死记硬背，生搬硬套。真正有效的建模要抓住模型的本质，让学生经历模型建构的过程，进而理解模型，掌握模型，最后，灵活地运用模型解决问题。