列代数式巧解图形问题

梅恒瑞

数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系。在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透。用字母表示数，结合图形呈现的规律和特征，把数和数量之间的关系巧用代数式简明地表示出来，这是解决图形问题的常规方法和路径。

例1925年，数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形（见下图），它恰好可以被分成10个不同的正方形，其中标注1，2的正方形边长分别为x，y。

（1）用含有x，y的代数式表示这10个正方形边长;

（2）当x=5时，求此时完美长方形的周长和面积。

【解题过程】根据正方形4条边长相等这一几何性质，逐一求各个正方形的边长。

（1）根据题意：第3个正方形边长为x+y;第4个正方形的边长为x+y+y=x+2y;第5个正方形的边长为x+2y+y=x+3y;第6个正方形的边长为（x+3y）+（y-x）=4y;第7個正方形的边长为4y-x;第8个正方形的边长为（4y-x）+[（4y-x）-x-（x+y）]=7y-4x;第9个正方形的边长为（7y-4x）+[（4y-x）-x-（x+y）]=10y-7x;第10个正方形的边长为（4y-x）-x-（x+y）=3y-3x。

（2）由图形，可知第5个和第6个正方形的边长之和等于第8个和第9个正方形边长的和，从而（x+3y）+4y=（10y-7x）+（7y-4x），即6x=5y，当x=5，则y=6，该完美长方形的长为15y-5x=65，宽为（x+3y）+4y=47，所以周长为224，面积为65×47=3055。

【反思】结合图形，从边长最易用代数式表示的正方形开始，由易到难，逐一突破。利用数形结合思想，用代数式表示数量关系和变化规律，实现思维的质的飞跃。