伏安法测电阻内外接式判据的研究

何述平

(西北师范大学教育学院物理教育研究所 甘肃 兰州 730070)

1 引言

伏安法测电阻既是普通高中物理教学的基本内容[1]，又是历年物理高考的热点；从物理实验原理方法看，伏安法是测电阻的基本方法．现实教学中常用的伏安法测电阻内外接式的判据为：

式中RA,RV分别为电流表、电压表内阻，Rx为待测电阻．然而，判据(1)从哪来的？依据是什么？判据(1)、(2)是两回事，还是一回事？两判据是否完备？伏安法测电阻内外接式的判据究竟是什么？就此进行相应研究，以期明晰伏安法测电阻内外接式判据的来龙去脉，为一线教师合理运用判据奠定有理有据的物理基础．

2 条件判据的推证

伏安法测电阻内、外接式电路分别如图1和图2所示，图1电流表测得的是通过待测电阻的电流，电压表测得的却是待测电阻和电流表的总电压(电流表分压引起待测电阻的系统误差)；图2电压表测得的是待测电阻两端的电压，电流表测得的却是通过待测电阻和电压表的总电流(电压表分流引起待测电阻的系统误差)．易见，无论哪种电路方式，伏安法均不能同时准确测得待测电阻两端的电压和通过的电流，即均存在电表接入引起待测电阻的系统误差．先定量分析系统误差，再演绎推理，可得伏安法测电阻内外接式的条件判据．

图1 内接式电路

图2 外接式电路

2.1 系值判据

对图1电路，待测电阻的测量值为

(1)

式中U,I为电表测得值，RA为电流表内阻．易见，测量值R内大于真实值Rx;相对系统误差为

(2)

由式(1)、(2)得[6]

(3)

式(3)表明：伏安法内接式测电阻，仅电流表内阻RA引起δ内；Rx比RA越大，δ内越小(RA→0时，δ内→0)．

对图2电路，待测电阻的测量值为

(4)

式中U和I为电表测得值，RV为电压表内阻．易见，测量值R外小于真实值Rx；相对系统误差为

(5)

由式(4)、(5)得[6]

(6)

式(6)表明：伏安法外接式测电阻，仅电压表内阻RV引起δ外；Rx比RV越小，δ外越小(RV→∞时，δ外→0)．

伏安法测电阻内外接式的系值判据：

(1)δ内<δ外时，采用内接式；

(2)δ内=δ外时，内外接式均可；

(3)δ内>δ外时，采用外接式．

2.2 比值判据

(7)

δ内与δ外的大小关系分别取<,=,>，依次对应内、内外、外接式；由式(3)和式(7)得伏安法测电阻内外接式的比值判据：

或

2.3 临值判据

若有一电阻Rc使内外接式的相对系统误差相等，即δ内=δ外，则由式(3)、(6)可知：Rx>Rc时，δ内<δ外，采用内接式；Rxδ外，采用外接式．Rc称为内外接式判据的临界电阻．由式(3)、(6)可得Rc的方程

进而得有意义的解[6]

(8)

(9)

由式(8)或式(9)可确定临界电阻Rc的大小(易见：仅由所用电表内阻确定)．

伏安法测电阻内外接式的临值判据：

(1)Rx>Rc时，内接式；

(2)Rx=Rc时，内外接式；

(3)Rx

3 条件判据的讨论

3.1 逻辑性

由推证过程知，系值判据为基本判据，比值判据、临值判据为系值判据的推论(即推论判据)；系值判据为准确判据，比值判据、临值判据为近似判据；3个条件判据的实质是依据相对系统误差大小；因此，伏安法测电阻内外接式的3个条件判据实质相同、形式各异．

鉴于系值判据既可知内外接式相对系统误差大小，又可知大小关系；比值判据、临值判据仅可知内外接式相对系统误差大小关系，且需熟知和运算相应关系式；因此，伏安法测电阻内外接式条件判据的简捷程度(由简到繁)依次为：系值判据、临值判据、比值判据．这为伏安法测电阻内外接式条件判据的运用奠定了方法基础．

3.2 完备性

由推证过程知，伏安法测电阻内外接式的条件判据是严谨合理的；但是否十全十美，还是美中不足？回顾伏安法测电阻内外接式条件判据的推证依据，均仅考虑了内外接式的相对系统误差；若相对系统误差超过了合理范围(如大于2.0%)，那么该怎么办？由误差理论的基本要点(对于已定的系差分量，必须进行修正[7])知，此时应修正测量值，由式(1)、(4)分别得内外接式的修正值

因此，伏安法测电阻内外接式的完备判据为：条件判据[即系值判据、临值判据、比值判据；推证时已默认或暂不考虑相对系统误差控制于合理范围(如小于等于2.0%)]+范围判据(即合理误差范围)．

通过实例说明如下：由中学物理实验标配电表参量(直流安培计J0407型：2.5级，0.6 A挡，RA=0.12 Ω；直流伏特计J0408型：2.5级，3 V挡，RV=3kΩ)和待测电阻Rx=15.0 Ω(定值)，依据上述3个条件判据依次可得:

(1)δ内=0.8%>δ外=0.5%，外接式；

(3)Rx=15.0 Ω

虽然依据3个条件判据可获得一致的结论，即外接式；但从相对系统误差控制于合理范围的角度看，内接式也完全合理、可行(δ内=0.8%<2.0%)．

恩哥解答：没必要。孕期无论是主动还是被动吃很多，除了让你变胖，还会增加巨大儿的风险，最终导致难产。所以，孕期饮食要适量，保持营养均衡，补充适量的叶酸。

因此，伏安法测电阻内外接式判据不仅仅是条件判据，而且更重要的是范围判据．

4 释疑解惑

基于伏安法测电阻内外接式条件判据的讨论和现实高中物理教学的运用，释疑解惑如下．

(1)伏安法测电阻内外接式比值判据的运用中提及了待测电阻为大、临界、小阻值电阻[2，3]，此时的大、临界、小似乎相对于临界阻值而言，但临界阻值却事先未明确；此时的实质是近似比较相对系统误差大小；因此，待测电阻阻值大小的界定没有必要而显得多余．

(2)尽管数学形式上也可由比值判据推得临值判据，但比值判据、临值判据的近似条件不同，且临值判据的近似条件较比值判据的更具一般性[参见式(7)、(8)的推证近似]；因此，比值判据、临值判据是两形式不同的判据．比值判据有两形式是基于不等式的关系不同(尽管两形式可以简便相互推证)．

(3)伏安法测电阻内外接式判据的相关运用或讨论仅关注条件判据[2～6]，几乎不考虑范围判据，从而使判据欠完备，可能导致电阻测量值明显偏大或偏小(难免学生质疑伏安法测电阻的可行性)；由上述讨论知，伏安法测电阻内外接式的完备判据是条件判据和范围判据的综合．

5 运用建议

基于上述研讨，有如下运用伏安法测电阻内外接式判据的建议．

(1)不仅要关注条件判据，而且要考虑范围判据，即综合运用条件判据和范围判据.

(2)明确各个条件判据(系值判据、比值判据、临值判据)，合理运用相应条件判据，勿使条件判据的运用“庸俗”化.

(3)伏安法测电阻内外接式电路选择时，更宜运用系值判据.不仅可明确内外接式相对系差的各自大小和相互大小，而且避免了“熟知”比值判据、临值判据(若不明怎么来的，仅凭判据本身而运用，似有“死记硬背，照猫画虎”之势)的辛劳；但需有明晰的物理思维方法，以侧重物理思维之培养.

(4)仅测量一次，实质是估测(不如直接运用多用电表测量简捷)；不仅应进行多次测量(如大于等于6次)，以减小测量的随机误差；而且应规范运用数据处理方法(如图像法、平均法[8])，以合理确定待测电阻．