“阅兵中的植树问题”课堂实录

程东兴

【教学内容】

人教版五年级上册数学广角——植树问题练习课。

【教学过程】

一、复习旧知，导入新课

师：同学们，我们刚刚学过植树问题，你能说说植树问题有哪几种情况吗？它们蕴含哪些数量关系？（学生回答略）

解决问题：一个圆形池塘，它的周长是90 米，每隔10 米栽一棵柳树，需要树苗多少棵？

师：这道题属于植树问题中哪一种类型？你是怎么解答的？

生：这是环形植树问题。剪开后就转化为只栽一端的，棵数与间隔数一一对应。棵数=间隔数，求棵数就是求间隔数，90÷10=9（棵）。

（课件展示由环形图展开，呈现总长、间距之间关系的线段图）

师：刚才我们计算时用到关系式子：

而在一般除法里我们是这样表示数量关系的：

总数÷每份数=份数。

根据这个关系式子可以推导出求每份数及份数的另外两个关系式子：

总数÷份数=每份数；每份数×份数=总数。

师：谁能根据上面植树问题的关系式推导出另外两个关系式子？

生：间隔数×间距=总长，总长÷间隔数=间距。

师：这组数量关系我们在植树问题中经常使用，而且一端植树的棵数——（生：棵树等于间隔数）；两端植树的棵数——（生：棵树等于间隔数+1），两端都不植的棵数——（生：棵树等于间隔数-1）。希望大家牢牢记住这些数量关系，因为我们生活中有许多类似植树的数学问题，都需要它们来帮忙哦！

二、欣赏视频，解决问题

师：请大家欣赏一段视频。

（课件播放《2019年国庆阅兵》剪辑）（1 分钟）

师：这段视频大家都熟悉吧？从视频中我们看到了许多尖端的武器，整齐划一的队伍，也看到了我们的祖国发生的巨大变化，我们都为祖国取得了那么大的成就感到骄傲。此刻，老师希望你能用数学的眼光聚焦这段阅兵视频中的数学问题——重点来探究一下阅兵中的“植树问题”。

（课件出示问题1：为了迎接国庆阅兵，工人师傅在天安门前周长为600 米的圆形喷泉广场四周每隔12 米安装一盏彩灯，每两盏彩灯之间安放两盆花，需要多少盏彩灯，多少盆花？）

师：请一位同学把题目读一遍。

师：读题后，我们判断一下这道题是不是植树问题，如果是，是哪一种类型的植树问题？怎样解答？

生：是植树问题，是封闭图形的植树问题。

生：可以这样算600÷12=50（盏），50 个间距，也就是50 盏灯，50×2=100（盆）要安放100 盆花。

师：其他同学有没有问题或补充的？（生：没有）这道题太简单，那我们继续来看下一道题。

（课件出示问题2：在国庆阅兵仪式鸣礼炮环节中，为了庆祝中华人民共和国成立70 周年，共鸣礼炮70 响，每两响之间相隔4 秒，整个鸣礼炮过程长多少秒？）

师：我们首先按照老师课件上的提示思考一下这道题。

学生活动：

1.独立思考：鸣礼炮相当于植树问题中的（ ），炮声之间的停顿相当于植树问题中（ ），所以整个鸣炮的过程相当于（ ）的植树类型。

2.在小组内讨论上述问题。

（学生反馈交流）

师：谁来汇报一下自己的发现？

生1：我觉得鸣礼炮相当于植树问题中的（树），炮声之间的停顿相当于植树问题中（间隔），所以整个鸣礼炮的过程相当于（只栽一端）的植树类型。

师：说说看，你为什么觉得是只栽一端的类型呢？

生1：因为每鸣一响，炮声就会轰隆隆的延续4秒，一共70 响，所以一共就有对应的70 个4 秒，鸣炮的次数和响声的延续次数是一样的，所以整个鸣炮的时间长280 秒。

师：很好，你把自己的想法清楚地表达出来，同学们都听明白了吗？还有没有不同的意见？

生2：老师，我有不同看法，我也是认为鸣礼炮相当于植树问题中的（树），炮声之间的停顿相当于植树问题中（间隔），但我认为应该是（两端都栽）的类型。应该是70 响礼炮中间有69 个间隔，每个间隔4 秒，应该是276 秒。

师：那说说你的理由。

生2：因为条件说的是每两响礼炮之间停顿4秒，不是鸣礼炮的过程是4 秒，也不是说礼炮声延续4 秒，而且每次鸣礼炮的瞬间是很快的，甚至可以忽略不计。另外问题问的是70 响鸣礼炮的时间，所以只要计算从第1 响到第70 响之间的时间，考虑中间的停顿的次数就可以了，70 响礼炮中间有69 个停顿，就是69 个4 秒。

师：你的发言很精彩，那么这两种意见，究竟谁正确呢？其他同学还有谁来补充，说说看？

生：我同意生2 的看法。

师：生1 呢，现在你觉得应该是哪种类型呢？

生1：听了他的说法，我觉得他说得有道理，应该是两端都栽的。

师：刚才的问题讨论很激烈，但还是比较简单的，接下来问题难度要更大一些，不仅需要说一说，可能还需要动笔画一画，我们继续来看。

（教师利用课件展示把一个方阵队伍引导到整个方阵队伍，过渡到问题3）

（课件出示问题3：在阅兵式中，每个方阵的前面由两位将军领队，两位将军后面6 米有14 排战士，前后两排之间相隔1 米，一个方阵前后（含将军）有多少米？本次阅兵中，一共有15 个徒步方阵，每两个方阵之间相隔12 米，那么这次阅兵队伍中，徒步方阵的总长度是多少米？）

师：请一位同学把题目读一下。

师：刚才读题时，这道题题目比较长，文字信息量比较大，又有两个问题，遇到这样繁琐的问题，我们要会化难为易，可以用什么方法把信息简单化、明确化呢？

生：画图分析。

师：很好，那下面我们就利用画图法来分析解决这道题，看看哪些同学可以把复杂抽象的文字转化成直观形象的图形来解决这道题。

（学生活动，自主画图分析这道题，教师巡视）

师：有些同学不怕麻烦，用一个个小圆代表每一个战士，有些同学则很简洁用一条条线段代表一排排队伍。

师：大多数同学已经完成，现在请一位同学展示自己的方法，并简单说明意图。

生：我用14 条线段代表14 排战士，再用一条短的线段代表前面的将军。

师：这位同学的想法和老师方法是一样的，咱们英雄所见略同。

师：看图你发现这是哪一种类型植树问题？

生：两端都栽的。

师：那这里有多少棵树？多少个间隔？每个间隔几米？接下来你会列式计算吗？谁来说说看？

生：先看战士的队伍，战士14 排，相当于有14棵树，13 个间隔，每个间隔1 米，再加上和将军的间距6 米，一个方阵的长度列式为：（14-1）×1+6=19（米）。

师：刚才在探究一个方阵有多长时，同学们不约而同地想到了通过画图的方法来分析题目，这是一种非常棒的思考方法，能够将复杂的文字转换成直观的图形来分析，这样题意就一目了然，很快就可以求出答案了。现在我们来思考第二个问题，看看能否继续利用画图的形式快速找到解决问题的方法。

（学生独立通过画图解决问题后，教师巡视点名汇报）

师：这位同学，我刚刚看了你画的图，发现了很有意思的地方，这么多长方形是什么意思?

生：每个长方形代表一个队伍的长度，一共有15 个方阵，就有15 个长方形。

师：那你刚才怎么不用长方形代表战士呢？

生：一位战士身体前后的宽不大，在队伍里可以忽略不计，所以画图时可以看作一个点或一条线，不影响整个队伍的长度。但一个队伍有19 米，它的长度就不能忽略不计了，所以用长方形表示了。

师：那我们就请几位同学上黑板把自己的算法写下来，并说一说自己是怎么想的。

生：19×15=285（米）12×14=168（米）285+168=453（米）我是这样想的，先求出一个方阵的长度是19 米，再求出15 个方阵是285 米，接着15 个方阵之间有14 个间隔，每个间隔12 米，间隔总长14×12=168（米），两部分总和是285+168=453（米）。

生：我的算法跟他的不同，我是这样算的，（19+12）×14+19=453（米）。我把一个方阵和一个间隔看成一个整体，因为有15 个方阵，14 个间隔，把14 个整体长度再加上最后一个方阵的长度，也可以求出整个队伍的长度。

师：非常好，我还发现有的这样列式：15×（19+12）-12=453（米），对吗？谁能说说道理？

生：他是用15 个整体的长度再减掉1 个间隔的长度，答案也是对的。

师：太棒了！通过画图我们可以用多种方法解决这道题，看来画图法真给力。下面我们继续用这种方法解决一道更有挑战性的问题。

三、拓展训练

（课件出示问题4：一架无人机从第1 位标兵拍摄到第9 位标兵用了5 秒钟，如果用同样的速度，第15 秒拍摄到第几位标兵？）

师：这道题老师提醒一下，它看起来很简单，其实里面有好多陷阱，通过画图我们就可以发现里面的陷阱，千万不要直接就动笔计算，一定要多思考一下。

（学生自主探究约2 分钟）

师：已经好多同学做完举手了，现在请一位同学上黑板把解题过程写下来。

学生板演：

9-1=8（个） 15÷5=3

3×8=24（个） 24+1=25（位）

师：请你说说你的思路。

生：前5 秒拍了9 位标兵，9 位标兵之间有8个间隔，一共拍了15 秒，15 秒是5 秒的3 倍，那么拍的间隔数也是8 个间隔的3 倍，8×3=24 个，拍了24 个间隔，标兵数比间隔数多1，一共拍了25 位标兵。

师：很好，她说得非常清楚，你们同意她的方法吗？你们的答案也是25 的请举手？有一批同学都做对了，非常好。

四、课堂总结

师：这节课你有什么收获？

生：画图法非常好，可以帮助我们准确理解题意，方便解题。

生：阅兵中有许多植树问题。

师：是的，阅兵中不仅有植树问题，还蕴藏着许多其他的数学问题，以后我们还会继续研究的。不过，今天我们主要研究的是阅兵中的植树问题，其实，只要你用数学的眼光看世界，你就会发现我们的生活中有许多富于变化的植树问题，希望同学们能学以致用，让数学更好地为我们的生活服务。