打磨教学设计，提升复习效率

沈晓音

摘要：由矩形折叠而产生的求线段的长度问题的教学关键，是根据轴对称的性质，厘清折叠前后的变量和不变量。充分挖掘图形中的条件，先将复杂的图形分解成基本图形，然后利用基本图形和常用模型，运用常规的方法求解线段的长度是矩形折叠问题解题的通性通法。

关键词：问题设计;学习品质;折叠

图形的折叠是一种对称变换，本质是轴对称。折叠前后图形的位置发生了变化，但图形的形状、大小不变。在数学教学活动中，矩形的折叠容易得到特殊的线段位置关系、特殊的三角形和特殊的平行四边形，考查了学生的几何识图能力、空间观念、直观想象等核心素养，在解题时蕴含了转化思想、方程思想，综合性强，思维能力要求高。在最近几年的杭州中考中，均出现了以矩形折叠为背景的考题，但学生的解题情况不容乐观。为此，笔者特设计了这节复习课，探讨具体的教学方法。

一、目标分析

（1）理解折叠与轴对称的关系，掌握轴对称的定义和轴对称的性质。

（2）运用轴对称性质、全等三角形的性质、矩形的性质等知识，解决折叠问题中有关的角度和线段长度的问题。

（3）通過分析折叠中出现的特殊三角形，体会转化思想。（四边形问题转化为三角形问题）

（4）结合探究线段长和线段数量关系的方法，体会方程思想和转化思想在研究数学问题时的作用。

教学重点：轴对称性质在折叠问题中的运用。

教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系。

二、教学实施

（一）第一次教学时的引入

如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E是CD边上一点，将△ADE沿直线AE翻折，得到△AEF。点D的对应点是点F。

问题1：当点F恰好落在AB上时（图1所示），此时你能得到哪些结论？

生：四边形AFED是正方形。

师：还有吗？

生：线段AD=AF，DE=FE，∠DAE=∠FAE，∠ADE=∠AFE，∠DEA=∠FEA。

师：还有什么结论吗？

（无人回答。大部分学生首先想到的结论就是得到一个正方形，在追问的情况下才得到边、角的等量关系，再追问则回答不了了。）

【课堂反思】在课堂提问环节，我问得过于宽泛，缺乏指向性，不够具体。从学生角度看，他们往往注重整体，疏忽了角、线段等细节。这也提醒自己以后提问时要更关注细节，更关注问题的方向。

接下来我又提出两个问题：

问题2：当点F恰好落在对角线AC上时（如图2所示），求DE的长。

问题3：当点E与点C重合时（如图3所示），CF与AB交于点K。

（1）判断△ACK的形状。

（2）求△ACK的面积。

在这次的教学实施过程中，由于一开始问题的指向性不明确，铺垫不够，导致问题1出现时，学生不能有针对性地回答。于是，年级组成员建议提供给学生一些考虑的方向，让学生思考虑问题时更有系统性和条理性。

为了锻炼学生的动手能力和读题能力，也为了通过作图更好地掌握折叠的性质（折叠前后对应边相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分），我决定把前面的3个问题改成让学生自己根据题目条件动手折叠纸片，再做出翻折后的图形。

我把前面的三问做了修改。

（二）第二次教学的两个主要改变

一折：明性质

如图4所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E是CD边上的一点，将△ADE沿直线AE翻折，得到△AEF。点D的对称点是点F。

情境1：当点F恰好落在AB上时，请你在老师发下的白纸上先动手折一折，并在图4上作出折叠后的图形。此时你能得出哪些结论（可以从点点重合、边边重合、形重合等方面来考虑）

师：同学们是怎么作图的呢？

生1：作AF=AD交AB于点F，再作∠DAF的角平分线交DC于点E，连接EF。（图5）

师：你用了什么方法？依据什么？

生1：因为AF的对应线段是AD，∠DAE= ∠FAE，所以可以作∠DAF的角平分线。图形的折叠是一种对称变换，本质是轴对称。对应线段所在射线的夹角被对称轴平分。

生2：先作AF=AD交AB于点F，再作DF的中垂线交DC于点E，连接EF。（图6）

师：你是怎么想到的？

生2：对应点所连的线段被对称轴垂直且平分。所以我先找到点D的对应点。

教学分析：学生经过自己的折叠、画图，已然知道这样折叠之后的图形中相等的角、相等的线段、全等的图形。

情境2：当点F恰好落在对角线AC上时（如图7所示），请你动手折一折，作出折叠后的图形，并求DE的长。

图形作法：

生1：作AF=AD交AC于点F，作∠DAF的角平分线交DC于点E，连接EF。（图8）

生2：作AF=AD交AC于点F，作DF的中垂线交DC于点E，连接EF。（图9）

学生解法：

生1：设DE=x，则EC=8-x，EF=x

在Rt△CEF中，由勾股定理得到：x2+42=（8-x）2

解得x=3，

∴DE=3

方法小结：勾股定理是直角三角形中求边长的重要理论依据。解题时，通常先找到直角三角形，然后设要求的线段长为x，根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，运用勾股定理列出方程，从而求出解。

生2：由△CEF∽△CAD，得到DE：6=4：8

∴DE=3

方法小结：相似法是求线段长度常用到的方法之一，根据两个三角形相似，得到对应边成比例，列出方程，求出答案。在初中阶段，相似中的基本图形主要有：

①“A”字型、反“A”字型（如图10、图11所示）

条件 DE∥BC ∠1=∠2

结论 △ADE∽△ABC

AD：AB=AE：AC

=DE：BC △ADE∽△ACB

△ADC∽△ACB

AD：AC=AE：AB

=DE：CB

（AC2=AD·AB）

在任意一组比例式中，已知三条线段，就可以求出一条线段。其中，反“A”字型的特殊情况，只要已知两条线段，就能求出另一条线段。

②“8”字型、反“8”字型（如图12所示）

条件 ED∥BC ∠1=∠2

结论 △ADE∽△ABC △ADE∽△ACB

“8”字型、反“8”字型相似图形可以看成是由“A”字型、反“A”字型图形绕着点A旋转180°而得到的图形，对应线段之间也是知三可求一。

③母子型（如图13所示）

条件 在直角三角形ABC中，CD⊥AB

结论 △ABC∽△ACD∽△CBD

BC2=BD·BA     CD2=BD·AD

AC2=AD·AB

在母子型图形中，根据相似线段之间的关系往往已知两条线段，可以求出另一条线段。

④“一线三等角”型（如图14、图15所示）

条件 ∠B=∠D=∠ACE=Rt∠ ∠B=∠D=∠ACE

结论 △ABC∽△CDE △ABC∽△CDE

其中，包含直角的“一线三等角型”常隐含在矩形、正方形（弦图）中。尤其是在平面直角坐标系中，通过作过点的垂线段就可以构造成“一线三等角模型”。

生3：由

得到6（8-x）=10x，解得x=3

∴DE=3

方法小结：面积法也是求线段长的常用方法之一，尤其在求垂线段的长度时更为突出，利用图形面积的不同表达方式建立方程、求出答案。

学生用勾股定理法、相似法、等面积法建立方程，体现了多种数学思路，同时蕴含方程思想。

情境3：当点E与点C重合时，请你动手折一折，并作出折叠后的图形，设CF与AB交于点K（图16）。

①判断△ACK的形状。

②求出△ACK的面积。

生：△ACK是等腰三角形（如图17所示）

由折叠可知∠1=∠2，由DC∥AB可知∠1=∠3。

∴∠2=∠3

∴△ACK是等腰三角形

方法小结：“角平分线+平行       等腰三角形”，这是等腰三角形判定的基本图形之一。由此推论为：“角平分线+等腰三角形      平行线”，“等腰三角形+平行线推出角平分线”。掌握这个基本模型及推论，在解决类似几何题时，可以缩短思维链，分析思路会更加清晰明确，直指问题核心，这样解题就会得心应手。

二折：提能力

如图18，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：（1）点E为AD边上一点（不与点A、D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点;（2）过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点。

（1）求证：△ABE∽△DEG;

（2）若AB=3，BC=5。

①当AE=1時，求DG的值;

②点E在移动的过程中，求DG的最大值;

③如图19所示，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长。

分析：

（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可。

（2）①由第一小题的相似得出对应边成比例，求出DG。

【设计意图】以矩形折叠为背景，充分利用折痕位置的变化来构建一系列变式问题。探究矩形折叠中的几何问题，将方程和相似的转化思想融入其中，增加了复习课知识的宽度和深度，让学生在解决问题的过程中感悟折叠的魅力，提高几何分析综合能力，发展学生的核心素养。

三、教学反思

（一）多种操作明性质

在教学中，只有当学生真正参与到学习活动中，才能真正提升其数学学习力。本节课引入部分的三个问题情境，表面上看是让学生动手折叠、作图，实则是需要学生去分析、猜想、判断、推理，是融动脑思考和动手操作为一体的。让学生在动手折叠操作的过程中了解矩形折叠的本质特征，同时也为复习课增添一份学习兴趣和乐趣。所以，教师要重视为学生提供动手作图的机会，让学生在理解的前提下，积累一定的操作经验，发展空间观念和直观想象等核心素养。

（二）分解转化显方法

“授人以鱼，不如授人以渔。”复习课要解决的不是一两道题，而是一类题或一系列问题，需要进一步思考每个知识点之间的衔接。

一个复杂的图形往往能分离出基本的几何图形，把复杂的问题转化成我们熟悉的简单问题。教师在平常的教学中就要时常向学生渗透这样的转化思想。在这节课中，教师引导学生共同归纳出等腰三角形、相似三角形等基本图形，小结出求线段长度最常用的方法：勾股定理法、相似法、面积法，能利用这些知识之间的相互联系，建立起位置与数量之间的对应关系，使得在面对较为复杂的图形时能迅速抓住问题的本质，找到相应的数量关系，从而找到解题的突破口，培养学生的数学直觉、直观想象、逻辑推理等核心素养。

（三）归纳小结提品质

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：在数学课程中，应当注重发展学生的模型思想。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。在平时教学中，我们要适度地关注模型、提炼模型、渗透模型，总结一些重要的基本模型，能灵活地运用模型，让数学模型更好地为我们服务。如这节课中的“双平等腰模型”：从矩形提供的平行+折叠产生的角平分线，得到了等腰三角形，这是解决问题的关键所在。还有“一线三等角”模型，指的是有三个相等的角在同一条直线上，往往可以构造相似图形。

参考文献：

[1]易良斌.中考数学复习微专题讲座[M].杭州：浙江大学出版社，2017（3）.

[2]段坤山.构造图形求准确，数形结合找临界[J].中学数学教学，2020（1）.

（责任编辑：韩晓洁）