向量的运算与三角形“五心”的交汇

向量，既有“数”的抽象，又有“形”的直观，是沟通代数与几何的桥梁.向量的运算是平面向量这一章的重点内容，包含两个层面：一是非坐标下的运算，二是坐标下的运算.在非坐标运算中，主要遵循“基向量”的思想，从向量加法、减法和数乘的原始定义出发.

在三角形中，有一些点是比较重要的，比如三角形的“五心”，即外心、内心、重心、垂心和旁心.下面我们先把这些点叙述一下.

1.外心：三角形三边中垂线的交点，也就是三角形外接圆的圆心;

2.内心：三角形三条内角平分线的交点，也就是三角形内切圆的圆心;

3.重心：三角形三条中线的交点;

4.垂心：三角形三条高线的交点;

5.旁心：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，也就是三角形旁切圆的圆心.

以下各题在：内心，外心，重心，垂心，旁心中选填

题1：已知O为△ABC所在平面内的一定点，动点P使OP=OA+λ（AB+AC），则动点P的轨迹一定通过△ABC的.

点拨：条件中涉及的点有：O，P，A，B，C;涉及到的运算有：共起点的两个向量相加，向量的数乘.对等式作移项处理后，涉及到共起点的两个向量相减，至此，等式中涉及到的点由5个减少到4个.

解：取BC的中点D，由OP=OA+λ（AB+AC）得：AP=λ（AB+AC）=2λAD.说明A、P、D三点共线，又AD为△ABC的中线，点P在△ABC的中线所在的直线上，故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心.

题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ（AB|AB|+AC|AC|），则P的轨迹一定通过△ABC的.

解：AB|AB|是AB方向上的单位向量，AC|AC|是AC方向上的单位向量，根据平行四边形法则，点P在△ABC的角平分线所在的直线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的内心.

评注：题1、题2考查最基本的向量的线性运算，所涉及的知识点也比较单一，需要熟练掌握向量加法的平行四边形法则和向量减法法则：平移到同一起点、指向被减向量.

题3：研究类似条件OP=OA+λ（AB|AB|-AC|AC|）的结论.

点拨：根据前两问的经验，AP=λ（AB|AB|-AC|AC|），等式右边如果不作处理，是共起点的两个单位向量相减.因此，可以先作一个简单处理：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

解：AB|AB|―AC|AC|=AB|AB|+CA|CA|，它是以单位向量AB|AB|和CA|CA|为两条邻边的菱形的对角线，即∠BAC的外角平分线，因此P为△ABC的外角平分线上的一点，动点P的轨迹一定通过△ABC的旁心.

题4：研究类似条件OP=OA+λ（ABsinC+ACsinB）的結论.

点拨：本题向量与三角相结合，考查的内容不单一，结合正弦定理处理.

解：由sinC=|AB|2R，sinB=|AC|2R，条件转化为题2，即AP=2Rλ（AB|AB|+AC|AC|），因此动点P的轨迹一定通过△ABC的内心.

题5：研究类似条件OP=OA+λ（AB|AB|sinB+AC|AC|sinC）的结论.

解：由正弦定理：|AB|·sinB=|AC|·sinC，故OP=OA+λ（AB|AB|sinB+AC|AC|sinC）=OA+λ|AB|sinB（AB+AC），由题1知，动点P的轨迹一定通过△ABC的重心.

评注：题3、题4、题5，相比于题1、题2，思维深度更进一步，需要灵活转化，巧妙结合正弦定理，但是方法还是题1和题2的方法.因此，在数学学习过程中，一定要关注通性、通法的领悟.

题6：研究类似条件OP=OA+λ（AB|AB|cosB+AC|AC|cosC）的结论.

解：根据前几题的解题经验，我们知道AB|AB|cosB+AC|AC|cosC应该是一个向量，而最终点P的轨迹主要是取决于这个向量的特点.关键是分母上的cosB和cosC，那么向量的哪一个公式中会出现余弦值呢？自然是数量积.只要把向量AB和AC都点乘BC，cosB和cosC自然就出来了：

（AB|AB|cosB+AC|AC|cosC）·BC=|AB|·|BC|cos（π-B）|AB|cosB+|AC|·|BC|cosC|AC|cosC=―|BC|+|BC|=0，

即AB|AB|cosB+AC|AC|cosC是与BC垂直的，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.

题7：研究类似条件OP=OB+OC2+λ（AB|AB|cosB+AC|AC|cosC）的结论.

解：由条件知2OP―OB―OC=BP+CP=2λ（AB|AB|cosB+AC|AC|cosC），由题6可知BP+CP垂直于BC，取BC的中点D，即PD垂直于BC，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的外心.

评注：题6和题7的条件结构与前面类似，但是综合考查了线性运算和数量积，有一定的难度，对思维的要求也逐渐提高.在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、分析能力和解决问题的能力.因此在平时的数学学习中，不能仅仅满足于课本知识的简单呈现，要注重培养解题能力，提高思维能力和创新能力.

（作者：赵方方，江苏省天一中学）