基于小波阈值的局部放电白噪声去噪方法综述

何平，何若冰，陈佳，杨旭，唐炬，周思远

(1.广东电网有限责任公司阳江供电局，广东 阳江529500；2.国网电力科学研究院武汉南瑞有限责任公司，湖北 武汉430074；3.武汉大学 电气与自动化学院 ，湖北 武汉430072)

局部放电(partial discharge，PD)是高压电气设备发生绝缘故障的重要原因，也是绝缘状态的重要表征，长期存在的PD会引起绝缘介质绝缘强度降低或失效[1-5]，最坏情况可能引发击穿事故，从而导致大范围停电，造成不良的社会影响，因此需要对PD进行检测。但是检测得到的信号往往包含白噪声，为了消除白噪声影响，获得真实的PD信号，需要对所得信号进行去噪处理，以便识别潜在的缺陷并及时妥善处理，为制订合理的检修策略提供依据。PD信号是具有非平稳特征的时变信号，通常在时域上表现为指数衰减函数或高斯函数的形式，需要采用合适的时频分析方法对其进行去噪处理。

小波变换是上世纪80年代兴起的一种信号分析方法，由S.Mallat、I.Daubechies、Y.Meyer等人最早提出和推广[6-8]。小波具备自适应分辨率调整能力，能自动适应高频和低频信号，有着“数学显微镜”的美称，适用于对PD信号分析。小波阈值去噪法包含3个步骤：首先对信号分解，即用1组小波基底来对信号进行小波变换，得到对应的小波系数；其次，根据真实信号与噪声的不同性质，对已得到的系数用阈值函数进行处理；最后，对处理过的系数进行逆小波变换，得到去噪后的信号[9]。根据以上步骤，国内外研究者分别从母小波函数选择、阈值选取与阈值函数构造3个方面开展研究和改进，提出众多PD信号中白噪声的去噪方法。这些去噪方法已经在工程领域得到广泛应用，并取得了丰富的成果。

本文基于已有成果进行综述，并对相关研究发展趋势进行展望。首先介绍小波变换和阈值函数去噪的基础理论，其次对母小波函数的选取、阈值选取和阈值函数的构造进行综述，最后进行总结和展望。

1 小波变换和阈值去噪基础理论

1.1 小波变换原理

小波函数ψ(t)是具有波动性质的有限能量函数，可以通过伸缩平移ψ(t)，使其成为平方可积函数空间L2(R)的1组标准正交基。但是在实际工程中，需要将小波函数进行离散化处理，即离散小波变换(discrete wavelet transform，DWT)。离散小波变换用滤波器函数h和g代替小波函数进行运算，其中h称为尺度函数滤波器函数，g称为小波函数滤波器函数，二者合称为共轭镜像滤波器(conjugate mirror filters，CMF)或正交镜像滤波器(quadrature mirror filtesr，QMF)，小波函数与正交镜像滤波器是一一对应的。

离散小波变换的分解和重构公式分别为：

(1)

(2)

据此可知，根据某层空间的尺度系数便可推断出下一层空间中的尺度系数和小波系数，如此重复直到指定层，便可求出所有层的尺度系数和小波系数。这是对信号进行小波变换和表达的基本原理。

1.2 阈值函数去噪原理

实际情况中，信号常常被白噪声所污染。白噪声是PD监测中的主要干扰之一，广泛存在且具有随机性，通常来说，白噪声和信号的性质有较大区别[10]：信号的光滑程度较高、奇异性较低，而白噪声的奇异性较高。为了尽量消除白噪声的影响，需要对染噪信号的小波系数进行处理。信号观测模型可以表示为

f(x)=s(x)+w(x).

(3)

式中：f(x)为观测信号；s(x)为真实PD信号；w(x)为均值为0、标准差为δ的白噪声干扰信号。消除白噪声影响的常用方法为小波阈值法，该方法由Donoho提出[11]，计算量小，易于实现。其基本原理是：将观测信号数据进行小波变换后，根据信号的小波系数和白噪声的小波系数性质不同，通过设置阈值和阈值函数可对观测信号数据的小波系数进行处理，将处理后的小波系数进行逆小波变换，从而得到重构信号，以达到去噪的目的。经典阈值λsqt的表达式为

(4)

式中：δE为对δ的估计值；N为小波系数个数。接下来，逐一检验观测信号的小波系数F[m]是否小于λsqt，若F[m]<λsqt，将其剔除，反之则将其保留，作为PD信号小波系数的估计值。最后将处理过的小波系数进行逆变换，得到去噪后的PD信号。该方法是通过硬阈值函数ρH来实现的，硬阈值函数对小波系数采用“消除”或“保留”的策略，函数表达式为

(5)

式中S为所估计的小波系数。除了硬阈值函数之外，Donoho又构造出另外一种阈值函数——软阈值函数ρS，表达式为

(6)

式中T为阈值。

相比于硬阈值函数采取“消除”或“保留”的策略，软阈值函数则是采取了“收缩”或“保留”的策略[12]。这2种是为最常见的阈值函数。

由此可见，基于小波变换的阈值去噪法的要点在于母小波函数和阈值函数。事实上，基于这2点，很多学者对去噪方法进行了改进，主要手段包括母小波函数选择、阈值的选取以及阈值函数构造。

2 母小波函数选择方法

母小波函数是1组标准正交基，与众所周知的傅里叶变换有所不同的是，小波函数并非固定不变的，而是有众多可以选择的种类；因此需要选择最为合适的小波基来作为母小波。主要思路是：根据已有小波构建小波库，从库中选取最为合适的函数，该方法称为检索法。检索法的实质是预先设定一小波库及某一参数，逐一计算观测到的染噪PD信号经过小波库中所有小波分解后的该参数值，从中选出最优小波作为母小波函数。基于相关系数的小波选取法(correlation based wavelet selection，CBWS)是最常见的方法之一，其思路是求出小波函数与观测PD信号之间的相关系数，并以之作为标准，来选择相关系数最大值对应的小波[13-17]。文献[13]提出了一种自动进行最优小波选择的方法，认为最优的小波波形应该和观测信号波形之间有最大相关系数

(7)

式中：X和XM分别为离散小波函数数据点及其均值；Y和YM分别为PD信号数据点及其均值。文献[13]构建了包括Db系列小波、Sym系列小波以及Lem系列小波的检索库，分别计算每个小波和PD信号之间的γ，将取得最大γ的小波作为最优小波来对信号进行处理。

文献[18-22]中，重庆大学李剑等学者提出了基于能量参数的小波选取法(energy based wavelet selection，EBWS)，认为不同的分解层数对应不同的最优小波。作者构建了包含Db系列和Sym系列小波函数的检索库，并定义了能量参数Ea，其表达式如式(8)所示，该参数的意义为：逼近部分能量与信号总能量之间的比例。

(8)

式中a1,k和d1,k分别为某信号进行一层小波分解后所得的尺度系数和细节系数；aj,k和dj,k分别为第j层、第k个尺度系数和小波系数。

基于分解层数的EBWS方法首先基于检索库中所有小波函数来对PD信号进行若干层小波分解，并计算式(8)所示的能量参数Ea，该方法相比于CBWS，具有更快的计算速度。

与EBWS方法类似，Cunha等人[23-24]考虑在小波分解的各层中，设法集中PD信号的大部分信息，提出了用峰值信噪比(peak signal to noise，PSNR)来代替能量参数Ea。作者构建了包含Db系列、Sym系列、Coif系列小波函数的函数库，先对PD信号进行第1层分解，得到逼近系数a1,k和细节系数d1,k，二者中峰值较大的被视作信号，反之被视为噪声；接着对PD信号进行第1层小波分解，并计算信噪比(signal to noise ratio，SNR)，将最大SNR对应的小波函数作为第1层的最优小波；然后再将j-1层中通过最优小波分解得到的逼近部分继续进行1层小波分解，并计算SNR，得出第j层对应的最优小波函数；最后，重复以上步骤直到最大分解层数为止，最终得出各分解层的最优小波函数。

此外，也有学者通过其他方法选择不同参数来进行最优母小波选择，例如基于最具信息性的子带能量和熵来选择母小波[25]，通过计算归一化重构信号的能量来选择母小波[26]，通过计算能量损失率来选择母小波[27]，通过计算模极大值[28]来选择母小波，通过计算熵值来选择母小波[29]等方法。可见，检索法的实质是从一系列已有小波中进行选择，构建小波检索库，计算小波分解后得到的某种参数，以确定最优方案来选择母小波。

3 改进阈值和阈值函数

3.1 固定阈值和阈值函数

软硬阈值函数和经典阈值λsqt虽然能够有效去噪，但是在一定程度上会“过处理”信号，将某些本应保留的数据置零，从而损失信号的信息。经过研究和改进，Donoho又提出基于Stein无偏估计的阈值取值，该方法对去噪所造成的均方误差进行无偏估计，设法求出使之达到最小值的阈值，此阈值被称为SURE阈值[30]，记作λSURE。同时，考虑到信号与噪声能量比值过低时，SURE阈值会造成比固定阈值更大的误差，因此可以用启发式折中阈值来代替SURE阈值，记为HSURE阈值，该阈值的取值思路是：当信号能量远低于白噪声能量时，选择固定阈值，反之则选择SURE阈值[31]。除此之外，还有很多学者从不同角度出发，选择或设计不同类型的阈值与阈值函数。Sardy等学者还提出另一种阈值选取方法[32-34]，并指出在阈值函数法的基础上有歧义，通过进一步的推断可知，取阈值为λ时，根据硬阈值或软阈值函数法得到的均方误差期望值rt满足

rt(λ)≤(1+2lnN)(δ2+rp).

(9)

式中rp为一固定数值。据此，考虑到以估计误差与(δ2+rp)之比的最大值最小化为目标，将达到这一目标的阈值称作最大最小值阈值，即

(10)

文献[35-37]指出，硬阈值函数处理结果具有较大的方差，同时其不连续性也会使得结果对数据的微小变化很敏感；而软阈值函数则会在真实系数较大时造成不必要的偏差。为了弥补二者的缺陷，Gao和Bruce在文献[38]中提出firm阈值函数，表达式如下：

(11)

相比于硬阈值函数和软阈值函数，firm阈值函数对小波系数采取“消除”“保留”或“收缩”的策略。该方法引入2个阈值λ1和λ2，改善了结果对数据微小变化的敏感程度，减小了处理结果的方差和偏差[39]。值得注意的是，硬阈值函数和软阈值函数是firm阈值函数的极限形式，即：当λ1=λ2时，firm阈值函数会退化为硬阈值函数；当λ2=+∞时，firm阈值函数会退化为软阈值函数。类似地，文献[40]也同样引入了2个阈值λ1和λ2，其中λ1取得固定阈值λsqt，λ2=1.414λ1。

由于firm阈值函数引入了2个阈值，在数据较大时，计算可能会很耗时间。针对这一缺陷，Gao在文献[41]中对firm阈值函数进行了改进，得出非负garrote阈值函数，表达式如下：

(12)

非负garrote阈值函数也是1个连续函数，采用了“消除”或“保留”的策略。相比于firm阈值函数，非负garrote阈值函数只引入了1个阈值，减少了计算时间。基于与Gao相同的思路，Antoniadis和Fan在文献[42]中提出了SCAD阈值函数，该阈值函数也采用了“消除”“保留”或“收缩”的策略，且不同于软阈值函数，该阈值函数在阈值设置中，对阈值λ进行了放大，即待处理的小波系数绝对值小于2λ时候，对其进行“收缩”处理，减去λ而不是2λ。

此外，还有很多其他学者对阈值函数进行了改进研究。文献[43]提出用Birge-Massart阈值函数；文献[44]中提出一种连续函数，引入大小在[0,1]区间的控制因子t，对软阈值和硬阈值函数进行折中，即

(13)

文献[45]同样提出了用控制因子进行阈值的调节。文献[46]则提出另一种具有指数函数形式的阈值函数。文献[47]对软阈值函数进行了拓展，提出一种折中阈值函数TMID：当小波系数大于2倍阈值时候，对小波系数进行“保留”；当小波系数大于1倍阈值且小于2倍阈值时，对其进行“收缩”；当小波系数小于1倍阈值的时候，对其进行“消除”。文献[48]则提出2种改进的阈值函数：一种是软硬阈值折中函数，引入系数α来改善阈值函数的效果；另一种则根据软阈值函数的形式，对其进行变形和修改，得到模阈值函数

(14)

文献[49]将小波系数和模阈值函数进行加权平均，得到新的阈值函数如式(15)，其中α为加权系数，本文取值为0.5。

(15)

3.2 自适应阈值和阈值函数

为了在最大程度上消除噪声对信号的影响，同时针对特定的信号具有自适应性质，有学者提出采用不同的阈值和阈值函数的思路。例如，文献[50]提出根据噪声强度的大小，阈值应该按照不同的方式取值，作者指出：当噪声强度较大时，阈值应该与噪声的方差成正比；反之，在噪声强度较小时，阈值应该和噪声的标准差成正比。

自适应阈值函数提出的思路则是：将待定阈值视为参数，并在阈值函数中引入参数；同时以均方误差为目标函数，对阈值进行迭代计算直到收敛；而阈值函数则选择为具有连续可导性质的函数，以便于对阈值中的参数进行求导[51-54]。文献[51]基于SURE阈值的思路，在阈值函数中引入参数k，对经典的软阈值函数进行改造，使之成为连续阈值函数Tk，即

(16)

值得注意的是，当k趋向于无穷大时，该阈值函数也趋向于软阈值函数。随后，将观测信号记为fi(i=1,2,…,N)，同时令gi=Tk(fi)-fi，将均方误差RS视为阈值λ的函数，求出其偏导数，得到

(17)

最后，通过基于梯度的迭代算法来进行寻优，求出最优阈值。文献[52-54]基于同样的思路，提出用粒子群算法和遗传算法等人工智能算法来简化参数搜索过程，对参数进行寻优。文献[55-57]基于与上述方法类似的思想，提出一种新的阈值函数，在其中引入参数t，与k阈值函数不同的是，该阈值函数并非分段函数。此外，还有不少学者基于类似的思路，对自适应阈值进行了研究，根据具体问题提出了不同的自适应阈值函数。虽然阈值函数形式上有差异，但其实质是相通的。例如，文献[58]将阈值函数进行了推广，提出一种多项式阈值函数；文献[59]基于信号与噪声能量关系，提出新的阈值取值方法和阈值函数法。

3.3 去噪效果对比

为了对比经过改进前后阈值和阈值函数的去噪效果，本文选取文献[45]所提方法作为固定阈值和阈值函数的代表，同时选取文献[53]所提方法作为自适应阈值和阈值函数的代表，将它们各自得到的结果进行比较。

量化比较的指标为SNR和均方误差(mean square error，MSE)，前者用以衡量真实PD信号与噪声的能量比，后者反映了去噪后PD信号与真实信号之间的均方误差。越小的SNR代表越弱的信号，而越小的MSE则代表越好的去噪效果。

文献[45]采用了db4小波作为母小波，分解层数设定为4层，阈值取值为HSURE阈值，则软阈值函数与该文所提出的固定阈值函数的去噪效果对比见表1，其中，提升效果定义为后者所得MSE与前者所得MSE之差。

由表1可知，经过改进后的固定阈值函数能够得到比软阈值函数更好的去噪效果，且原始信号信噪比越低，提升效果越明显。

表1 软阈值函数与改进固定阈值函数去噪效果对比Tab.1 Denoising effect comparison between soft thresholding function and the improved fixed thresholding function

文献[53]采用db8小波作为母小波，分解层数设定为6层，阈值按照自适应方法进行计算得到，则软阈值函数与该文所提出的自适应阈值函数的去噪效果对比见表2，其中，提升效果定义与表1定义相同。

表2 软阈值函数与改进自适应阈值函数去噪效果对比Tab.2 Denoising effect comparison between soft thresholding function and the improved adaptive thresholding function

由表2可知，经过改进后的自适应阈值函数同样能够得到比软阈值函数更好的去噪效果，且原始信号信噪比越低，提升效果越明显。

4 总结与展望

本文针对小波阈值去噪法及其在PD信号白噪声去噪中的应用，综述了在母小波函数选择、阈值的选取以及阈值函数构造等方面最新的研究成果，得出结论：①现有的母小波选择方法大多选择特定小波组成检索库，用检索库中的所有小波函数来进行枚举计算，求出预先设定的参数值大小，然后将最优参数值对应的小波选取为母小波。②阈值的选取和阈值函数的构造方式虽然很广泛，但是思路基本相同，即当小波系数的绝对值大于一定数值(阈值)时，认为此系数属于信号；同理，当小波系数绝对值小于一定数值(阈值)时，则认为属于噪声，并对小波系数用阈值函数进行处理。软阈值函数经过改进后，无论是固定阈值函数还是自适应阈值函数都能够在一定程度上提高PD信号去噪效果。

根据研究现状，对小波阈值去噪法进行如下展望：①现有的母小波选择方法并不是真正意义上的最优，可以尝试通过某种指标，来自动生成最优的母小波的共轭镜像滤波器；②可以将阈值去噪和基于其他原理的去噪方法进行结合，在对信号进行阈值去噪之后，再使用其他方式对信号进行二次去噪，进一步提高去噪效果；③小波阈值去噪法是基于信号被白噪声污染这一假设的，PD信号中的噪声也被假设为白噪声，事实上，白噪声只是一类特殊的随机噪声，现场PD信号也会被其他类型的噪声污染，因此该小波阈值去噪法能否应用于具有更复杂电磁环境的现场噪声去噪也值得思考和研究。