勾股定理与其逆定理

田载今

一、勾股定理

对于任一直角三角形，若用a、b分别表示两条直角边的长，c表示斜边长，则一定有a²+b²=c².因为人们在测量、建筑、制造等实践活动中经常要用到直角三角形，所以上述结论的发现必然发生.

勾股定理的条件是有一个直角三角形，结论是两直角边的平方和等于斜边的平方.这是直角三角形的重要性质，人们对它的应用可追溯至很久以前，考古学家发现，在大约于公元前2000年制作的巴比伦泥板书中，上面刻有问题：“一根长度为30的棍子直立在墙边.当其上端下滑6时，其下端离开墙根有多远？”用勾股定理可列式X²+（30-6）²=30²，进而得出x=18.显然，这是一个三边之比为3：4：5的三角形的特例.

勾股定理不仅用于直角三角形边长的计算，也用于推导线段之间的关系，请看下例.

分析：从求证的结论BD²+CE²=DE²看，如果BD，CE，DE為一个直角三角形的三边，则可由勾股定理得证.为此，应设法以这三条线段为边构造一个直角三角形.

证明：如图2所示，因AB=AC，故可把△AEC绕点A顺时针旋转到△AFB处，使AC与AB重合，这时∠ABF=∠C=∠ABC=45°.BF=CE，AF=AE.连接DF，因AF=AE.AD=AD.∠FAD=∠FAB+∠DAB=∠EAC+∠DAB=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°=∠DAE，所以△ADF≌1△ADE，DF=DE.在△BDF中，∠FBD=∠ABF+∠ABD=45°+45°=90°，由勾股定理得BD²+BF²=DF²，进而得BD²+CE²=DE².

勾股定理之所以是非常重要的定理，是因为它的影响不仅渗透在平面几何方面，而且波及到厂数学的其他分支，例如，解析几何是通过坐标方法来研究图形的一个几何学分支.两点间的距离公式是解析几何的基础知识之一，它的产生就来自勾股定理.直角坐标系中，一个点的位置是用三维坐标表示的，设空间直角坐标系中有P（x₁，y₁，z₁）和Q（X₂，y₂，z₂）两点，两次使用勾股定理后便能得到空间两点的距离公式PQ=√（X₂-X₁）²+（y₂-y₁）²+（z₂-z₁）²，这种计算距离的方法可推广到n维空间中，

二、勾股定理的逆定理

如果把一个定理的条件和结论互换位置，所得的新命题仍是真命题，那么这个新命题就是原定理的逆定理，勾股定理的逆定理的命题条件是“已知三角形的两边的平方和等于第三边的平方”，命题结论是“第三边所对的角是直角”，这个命题是根据三角形三边之间的数量关系判定直角三角形，所以它是直角三角形的一个判定定理.

人们很早就利用勾股定理的逆定理来确定直角.《周髀算经》中记载，相传大禹治水时曾用画边长分别为3，4，5的三角形来取得直角，因为3²+4²=5²，所以长为5的边所对的角是直角，据说，古代埃及人在测量中也用类似的方法画直角.他们在一根绳子上打13个等距离的结，然后把第1结和第13结连起来，并以这一点和第4结、第8结为顶点，把绳子拉成一个三角形。第4结处便是直角.

证明勾股定理的逆定理，可用同一法：当已知某三角形的三边a，b，c满足a²+b²=c²时，可再作一个两条直角边分别为a，b的直角三角形.根据勾股定理推出其斜边的平方等于a²+b²，所以斜边应等于c.于是所作直角三角形与已知三角形全等（或可认为它们是同一个三角形），因此∠C=90°。

勾股定理的逆定理也可用反证法证明.已知△ABC的三边a，b，c满足a²+b²=C²，则c边多对的∠C是最大的内角.假设∠C≠90°.

虽然勾股定理与其逆定理各有各的用处，但解决一些问题时两者都会用到.请看下例.

勾股定理与其逆定理都是重要的几何定理，同学们应熟练地掌握它们，