树形图及其拓展在多元抽象复合函数求导中的应用

张 伟

(江苏海事职业技术学院，南京 211170)

一元复合函数求导法则又称链式法则，不仅是因为其关系图y-u-x像一条链子，也不仅是因为求导法则很困难，更重要的是因为想到链式法则就想到了绷断的锁链。通过该法则，可以挣脱求导问题的束缚，对很多类型的函数进行求导。将链式关系图推广到树形图，在理解多元复合函数求导法则的基础上找到计算其二阶偏导数的简便方法。

1 普通树形图的使用方法及实例分析

1.1 多元函数与多元函数复合的情形

定理1：若函数u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在点(x,y)处具有对x及y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)处的两个偏导数都存在，且有：

(1)

借助于复合函数的函数结构图——树形图对复合函数求偏导数的过程进行分析。

因变量z是中间变量u,v的二元函数从z出发分出两条线，u,v都是自变量x,y的二元函数，所以再各自分出两条线，画树形图，如图1所示。

(图1)

引入中间变量：u=x2y，v=x-y，则z=f(u,v)，树形图如图1所示，从z到x有两条路径：z-u-x和z-v-x，根据定理1，有：

(图2)

于是：

1.2 其他情形

复合函数的类型很多，不再一一列举，选择一种自变量本身又是中间变量的情况作为代表。

例如u=φ(x,y)在点(x,y)处具有对x及y的偏导数，z=f(u,x,y)具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ(x,y),x,y]在点(x,y)处的两个偏导数都存在。此时因变量z是中间变量u,x,y的二元函数，从z出发分出三条线，u是自变量x,y的二元函数，所以再分出两条线，画树形图如图3所示。

(图3)

从图3可以看出，从z到x有两条路径：z-u-x和z-x，根据“链乘相加”，可得复合函数z=f[φ(x,y),x,y]对x的偏导数：

类似可得对y的偏导数：

2 树形图拓展及实例分析

(图4)

根据拓展的树形图对例1进行分析。

解：引入中间变量：

u=x2y，v=x-y,则z=f(u,v)，

将上述偏导数写在树形图上，如图5所示。

(图5)

(图6)

根据拓展的树形图还可很容易处理自变量本身又是中间变量，甚至更复杂的情况。

(图7)

(图8)

引入拓展树形图，使求多元抽象复合函数导数变得容易理解和计算，极大地提高了学生的学习效率。