数学建模思想融入线性代数课程的教学模式

张军，张新宇，刘菊红，吴国栋，吴国荣

数学建模思想融入线性代数课程的教学模式

张军，张新宇，刘菊红，吴国栋，吴国荣

（内蒙古农业大学 理学院，内蒙古 呼和浩特 010018）

基于线性代数理论性较强和数学建模实践性较强的特点，将线性代数与数学建模相结合是理论教学与实践应用相辅相成的有效方法．为了帮助学生更好地将线性代数知识贯穿到实践应用中，提出将数学建模思想融入线性代数课程的三段式课堂教学模式．通过实际教学案例的设计过程，说明所提出的三段式课堂教学模式具有一定的可行性，这为线性代数课程教学改革提供了新的思路与参考．

线性代数；数学建模；教学模式

与高等数学课程相比，线性代数课程的内容相对比较枯燥、计算过程相对比较复杂，导致很多学生都只以通过线性代数课程的考试为学习目的，对课程本身缺乏学习兴趣．2005年，李大潜院士提出“将数学建模思想融入数学类主干课”以来，数学建模进入线性代数课堂已经成为数学教学改革的趋势之一[1]．在高校线性代数教学中融入数学建模思想与方法，结合实际案例进行理论知识讲解，不仅可以降低学生学习理论知识的难度，增加学生学习的积极性，激发学生学习的主动性，而且还可以创造性地解决实际问题，提升学生的综合应用素质[2-6]．

目前，许多从事线性代数教学工作的一线教师都在探讨将数学建模思想有效地融入线性代数课程的教育教学改革，但在具体的教学实践中取得的效果并不十分显著，主要面临以下困难与问题：（1）线性代数课程包含的理论知识复杂度与抽象性较高，课时压缩导致教师授课学时比较紧张，不得不采用“满堂灌”式的教学方式，致使很多学生失去对线性代数课程学习的兴趣，无法真正地理解和掌握课程的核心理论与方法，仍然停留在为了应付考试而学习的层面．（2）目前使用的线性代数教材版本陈旧，内容更新缓慢，教学案例也相对陈旧，不能紧跟各领域各学科的研究前沿，不利于培养学生利用数学方法解决实际问题的创新能力．（3）在数学建模思想有效融入线性代数教学的过程中，选取合适的建模案例较为困难，若教学案例太过简单，则不能有效培养学生运用数学理论知识解决现实问题的能力；若案例太复杂，则学生不容易全面理解，重点掌握．（4）自从国内1992年举办全国大学生数学建模竞赛以来，大部分高校都开设了数学建模竞赛培训课程，这在一定程度上促进了学生对数学建模思想与方法的学习[7-8]．然而，单纯的数学建模竞赛培训教学，又使得大多数学生只为参加数学建模竞赛而学习，无法对理论知识进行系统的学习，解决实际问题的动手实践能力不能得到全面的培养和提高．

针对上述问题，亟需解决的重要课题是如何通过有效方法将数学建模思想融入到线性代数课程教学中,以提升课堂教学效果．本文重点讨论在线性代数课程中融入数学建模思想的教学模式与实际案例，旨在为线性代数理论教学与数学建模实践教学的深度融合提供一定的参考．

1　线性代数课程融入数学建模思想的三段式教学模式

实际上线性代数课程中很多抽象复杂的概念与计算都有实际问题的背景与意义，若只讲解抽象复杂的理论部分，脱离实际问题的情景，学生不易理解，并失去学习的兴趣．因此，将具有实际意义的数学建模案例引入线性代数的理论教学中，理论与实践相结合，才会取得较好的教学效果．然而，建模案例的使用绝不能脱离教学内容，应相辅相成，深度融合，形成三段式的教学模式结构（见图1），才能最终达到理论与实践相统一的良好效果．

图1　将数学建模思想融入线性代数课程的三段式教学模式结构

第一阶段：问题转化．引入实际问题，引导学生对实际问题进行数学语言描述．事实上，在整个数学建模过程中，将实际问题采用数学语言和数学思维转化为数学问题是较为困难的，正是由于没有很好地理解数学的符号语言以及数学思维，很多学生不能把实际生活中遇到的问题用数学符号语言简洁明了地描述清楚．教师要通过对实际问题给出的条件逐一抽丝剥茧，引导学生用数学语言逐渐勾勒出实际问题的数学基本框架．

第二阶段：模型建立．通过对数学理论的分析，建立合适的数学模型，这一部分是数学建模与线性代数理论结合的思想内核部分．教师要采用问题驱动的方式，让学生独立思考，充分参与知识发现的过程，通过构建实际问题的数学模型，逐步完成线性代数理论部分的讲解．

第三阶段：模型求解．基于对实际问题的数学语言描述和数学模型构建，在充分理解了线性代数理论与方法部分的实际背景与现实意义之后，最终要使用数学方法求解数学模型，得到符合实际意义的结果．教师引导学生对数学模型进行求解的过程，可以让学生充分体会到理论知识与数学方法的实用性与重要性，从而提升学生的学习兴趣．

2　案例设计

案例1（城乡人口迁移动态分析）对城乡人口流动做年度调查，发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势．每年农村居民的2.5%移居城镇，而城镇居民的1%迁出到乡村[9]，现在总人口的60%位于城镇．假如城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，分别考察1年以后、2年以后、10年以后城镇人口所占比例，以及一直持续下去的最终结果．

第一阶段：问题转化，即针对所提出的实际问题，用数学语言进行描述将其转化为数学问题．

第二阶段：模型建立，即对数学问题进行理论分析，建立恰当的数学模型．

第三阶段：模型求解，即运用线性代数中的数学方法求解数学模型．

通过对建模案例的分析与求解过程，不仅掌握了方阵相似对角化的计算与作用，并且在实践运用中建立了城乡人口迁移的动态模型，便于对城镇人口流动问题进行更好的规划和管理．这是一个典型的将数学建模思想融入线性代数教学中的三段式教学模式结构案例：通过引入背景问题激发学生的学习兴趣[10]；通过引导学生用数学语言把实际问题描述成数学问题进而建立数学模型的过程，让学生切实体会到矩阵及其运算在建立数学模型中的作用；通过指导学生用数学方法求解以矩阵为元素的差分方程模型的过程，融入通过矩阵对角化求解方阵高次幂的计算方法，让学生切实体会矩阵对角化的实用性，达到边学边用的良好效果．通过三段式教学模式，可以帮助学生拓展思维，培养他们的创新能力，举一反三，解决其它相关的实际问题．

案例2（单行道路网车流量问题）某城市某区域单行道路网见图2．据统计，进入交叉路口A的车流量为每小时500辆，而从路口B和路口C出来的车流量分别为每小时350辆和150辆．求每一条道路每小时的车流量；若BC路段封闭，计算各段的车流量．

图2　单行道路网

第一阶段：针对所提出的实际问题，转化为数学语言进行描述．

第二阶段：通过对数学理论的分析，建立恰当的数学模型．

第三阶段：运用线性代数中的数学工具求解数学模型．

分析所建立的方程组，求解该方程组的解，正是线性代数中利用矩阵知识解决方程组解的问题．通过具体的求解过程，让学生能够对该部分知识融会贯通．

写出方程组的增广矩阵，对其实施初等行变换，将其化为行最简形矩阵，即

通过对案例2问题的建模与求解过程，可以将线性代数中求解线性方程组的理论知识与道路交通的实际问题很好融合，不仅可以帮助学生掌握基本的线性方程组理论，也可通过实例的求解将理论与实践相结合，达到更好的教学效果．

3 结语

数学建模思想不仅是一种解决实际问题的手段，还是一种数学的思考方法．数学建模应用的广泛性和学习过程的趣味性与开放性，在激发学生学习兴趣的同时，还可以提高学生的主动探索精神与创新思维能力．将数学建模实践与数学理论教学相结合已经成为培养高质量人才的有效途径．本文基于线性代数课程内容的抽象性与数学建模过程的实践性，提出将数学建模思想融入线性代数课程的三段式课堂教学模式，不仅可以培养学生运用线性代数理论知识解决实际问题的能力，并且可以为提高线性代数课堂效率提供教学模式参考．

[1] 李大潜．将数学建模思想融入数学类主干课程[J]．中国大学教学，2006（1）：9-11

[2] 段勇，黄廷祝．将数学建模思想融入线性代数课程教学[J]．中国大学教学，2009（3）：43-44

[3] 赵丽棉，黄基廷．《概率论与数理统计》教学与数学建模思想方法的融入[J]．教育教学论坛，2012（6）：48-50

[4] 姜启源，谢金星．一项成功的高等教育改革实践——数学建模教学与竞赛活动的探索与实践[J]．中国高教研究，2011（12）：79-83

[5] 梁海峰．通过数学建模培养独立学院学生应用创新能力的研究与实践[J]．科技视界，2016（26）：41-69

[6] 韩中庚，刘向明，杜剑平．深入开展数学建模活动，培养学生的综合应用素质[J]．数学建模及其应用，2012（4）：24-28

[7] 姜启源，李志宏．开展数学建模竞赛提高学生综合素质[J]．教学与教材研究，1999（3）：21-23

[8] 李大潜．中国大学生数学建模竞赛[M]．北京：高等教育出版社，2001

[9] 马艳琴，张荣艳，陈东升．线性代数案例教程[M]．北京：科学出版社，2012

[10] 李清华．数学建模思想有效融入线性代数教学的探析[J]．教育现代化，2018，5（39）：77-79

The teaching mode of integrating mathematical modeling idea into linear algebra course

ZHANG Jun，ZHANG Xinyu，LIU Juhong，WU Guodong，WU Guorong

（School of Science，Inner Mongolia Agricultural University，Hohhot 010018，China）

Based on the strong theoretical characteristics of linear algebra and the strong practical characteristics of mathematical modeling，the combination of linear algebra and mathematical modeling is an effective method to supplement theoretical teaching and practical application．In order to help students to better apply linear algebra knowledge into practice，the three-stage classroom teaching mode of integrating mathematical modeling into linear algebra course was put forward．Through the design process of the actual teaching cases, it is proved that the three-stage classroom teaching mode is feasible，which provides a new idea and reference for the teaching reform of linear algebra course．

linear algebra；mathematical modeling；teaching mode

O151∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.10.014

1007-9831（2020）10-0064-05

2020-05-01

内蒙古自治区教育科学“十三五”规划2019年度课题（NGJGH2019333）；内蒙古农业大学教育教学改革研究项目（JGZD201815， JGYB201952）；2019年第一批教育部产学合作协同育人项目（201901148037）

张军（1980-），男，山西怀仁人，副教授，博士，从事数学建模及其应用研究．E-mail：zj325328333@163.com

吴国荣（1974-），男，内蒙古兴安盟人，教授，硕士，从事时滞微分系统稳定性研究．E-mail：wgr9899@126.com