基于时滞GM(1,1)模型的地下水资源量预测

罗党，丁婳婳

(华北水利水电大学，河南 郑州 450046)

旱灾是干旱在某一地区发展到一定程度导致的水资源匮乏所引起的灾害，是各种自然因素、社会因素综合作用的结果[1]。进入21世纪以来，我国干旱灾害管理模式正在发生根本性变化[2]，由应急抗旱、短期抗旱向常规抗旱、长期抗旱的战略思想转变，最终转向主动的旱灾风险管理模式，这种转向预示着需要加强干旱预测方法的研究，从而为旱灾风险评估与调控提供理论依据。为更好地提高一个区域的抗旱能力，需要客观分析当地的旱情现状并预测其未来的发展趋势，并根据不同的干旱等级采取相对应的措施。地下水资源是评价旱情现状的重要信息，也是保障生产、生活需要所不可缺少的重要资源。在降雨较少的年份，若地下水容量较大，就能够有效补给土壤中的水分，给植被提供需水，保障农作物生存，在一定程度上可以避免农业干旱的发生。因此，地下水资源量预测对旱情防范具有重要意义。

目前针对地下水预测主要采用的方法可归为两类：第一类是根据实测数据建立回归方程，通过数理统计方法进行预测[3-5]；第二类是通过物理成因的数学模型来对地下水位进行推演[6-7]。第一类方法虽然能够综合考虑地下水位的演变走势，但需要较长序列的数据来建立回归方程。第二类方法虽不需要长序列数据，但模型的构建比较复杂，较难推广。地下水资源量的影响因素来自多个方面，具有不确定性。如在自然环境方面主要受气候影响，地下水资源主要来源于大气降水和河流补给，由于大气运动的复杂性，大气降水具有不确定性。在人为方面，对地下水资源量产生主要影响的是不合理开采。这些不确定性给地下水资源量的精准预测带来了困难。地下水资源作为大自然的产物，人类可以通过地质调查等手段获得其容量、分布情况等信息，但其受较多因素的影响，且人类的认知能力和获取有关信息的手段有限。因此，人们所获得的信息往往也带有某种不确定性，并不能完全掌握其本质规律。如何通过对部分已知信息的挖掘，来实现对地下水资源量演化规律的正确描述，针对这类部分信息已知的不确定性系统的预测问题，灰色系统理论显出其优越性。该理论自创立以来，众多学者在GM(1,1)模型的灰导数、背景值、初始条件、模型拓展等方面都取得了很多研究成果[8-10]。也有学者应用灰色预测模型预测地下水资源量，如张云云等[11]建立了包含灰色预测模型的组合模型来预测山东省的地下水资源量；付明明[12]在GM(1,1)模型中通过改进变量的权重系数来预测喀什地区的地下水水位，取得了较好的效果。

地下水与地表水是相互联系的，都会在对方水位下降到一定程度时为其提供补给，保持水资源的一种均衡。地下水资源无论是提供或接受补给，都有一部分水量储存于地下含水层中，因此具有一定的滞留积累效应；且在地下水资源形成的过程中，入渗的水经过复杂的地质结构层层下渗才能最终形成地下水，也呈现出时滞效应。有学者对具有时滞效应的灰色系统进行了研究，有效解决了小样本数据下的时滞问题。如翟军等[13]将滞后项引入GM(1,2)模型，通过误差最小化原则来确定时滞参数；郝永红等[14]通过建立GM(1,2)时滞模型对娘子关泉水的流量进行预测，效果很好；DENG J L[15]在GM(1,1)中引入时滞因子，提出了GM(1,1|τ,r)模型。对于多变量少信息不确定系统出现的延迟性和时间变化问题，黄继[16]将GM(1,1|τ,r)模型拓展为GM(1,N|τ,r)模型；陈兴怡等[17]提出了GM(1,1,τ)模型，并以灰色相对关联度最大化为目标来求解模型的时滞参数；文献[18]为使时滞参数不为某一固定值，提出了含时变时滞参数的GM(1,1|τi)模型；王正新[19]提出了灰色多变量时滞GM(1,N)模型，该模型在描述多变量不确定系统的延时性方面效果较好；丁松等[20]提出了具有时滞特性的灰色多变量离散预测模型，当背景信息不充分时，可使用粒子群算法来确定时滞参数。

现有的时滞模型中，系统行为序列的当期值大多仅受滞后τ期单期影响因子的作用，而对时滞效应的长期性研究较少。为有效预测地下水资源量，需考虑其时滞积累效应，故本文在传统的GM(1,1)模型中引入时滞参数，构建新的预测模型，并将模型应用到河南省南阳市和信阳市的地下水资源量的模拟预测中，验证模型的有效性和实用性。

1 时滞GM(1,1)模型

1.1 时滞GM(1,1)模型的定义及参数估计

定义1设系统行为数据序列为：

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，

其一阶累加生成序列(1-AGO)为：

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))。

Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))，

其中z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1))。则称

(1)

为时滞GM(1,1)模型。

该时滞GM(1,1)模型中，-a为系统发展系数；bλk-1-j为驱动系数,其随时间的推移呈现递减规律；λ为时滞参数,反映变量对系统行为变化影响的递减程度，0<λ<1，λ越大，递减程度越小；c为灰作用量。该模型反映了系统的行为受当期值和前期所有状态的影响。若不考虑时滞作用，则时滞GM(1,1)模型即为传统的GM(1,1)模型。

证明将k=2、3、…、n代入式(1)中可得：

x(0)(2)=-az(1)(2)+bx(1)(1)+c,

⋮

上述写成矩阵形式为：

1.2 时滞GM(1,1)模型的求解

定理2从时滞GM(1,1)模型的基本形式可以推导出其x(1)型为：

(2)

证明根据z(1)(k)的定义有:

z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1))=

0.5(x(1)(k-1)+x(0)(k)+x(1)(k-1))=

代入时滞GM(1,1)模型的定义型得：

x(0)(k)+a(x(1)(k-1)+0.5x(0)(k))=

即

ax(1)(k-1)+c。

解之得:

由定理1与定理2可知，时滞GM(1,1)模型的近似时间响应式为:

(3)

1.3 时滞GM(1,1)模型中时滞参数的识别方法

时滞GM(1,1)模型中,时滞参数λ既反映了系统行为序列的时滞程度，又影响到模型的精度,因此确定时滞参数在构建模型中尤为重要。若背景信息充分，则能够从已知信息中判断出时滞参数，即可根据经验分析选定λ的值。若信息不充分，则无法根据已有信息判断时滞参数的值。为提高模型的精度，本文建立了以模型平均误差最小化为目标、参数间的关系为约束条件的非线性优化模型，如下：

(4)

1.4 时滞GM(1,1)模型的有效性检验

1.4.1 检验方法

正式拍摄前要练习一遍实验操作，保持动作的熟练和稳定。有的实验时间比较长，需要2～3 d才能得到实验结果，比如SDS-PAGE实验，提前2 d做预备实验，准备了一张完全脱色、背景透明的凝胶，也就是实验的最终结果；预备了一张凝胶，正式拍摄时就不用等待，可以直接使用提前做出的几个阶段性产品，能节约大量时间。

本文利用相对误差和灰色绝对关联度两种方法来对模拟序列进行检验。

1)通过相对误差对模拟精度进行检验。

绝对误差：

相对误差：

Δ(k)越小,说明模型的模拟精度越高。倘若Δ(k)大于给定值，检验不通过，则该模型不适用于该序列。

2)采用灰色绝对关联度来判断模拟序列和原始序列形状的相似程度，确保两序列的趋势具有一致性。

则关联度的计算公式为:

1.4.2 实例验证

为了验证时滞GM(1,1)模型的有效性，采用时滞GM(1,1)模型对文献[17]的实例数据进行模拟，并与其他3种模型GM(1,1)、GM(1,1|τ,r)、GM(1,1,τ)的模拟结果进行对比，详见表1。

表1 4种模型模拟值与实际值的比较

从表1可知，时滞GM(1,1)模型的模拟值与原始值的拟合程度最高，平均相对误差仅为1.31%，平均模拟精度在98%以上。而GM(1,1)、GM(1,1|τ,r)、GM(1,1,τ)模型模拟值的平均相对误差分别为4.57%、4.44%和3.46%。时滞GM(1,1)模型模拟值与实际值的灰色绝对关联度为0.964，比其余3个模型的拟合度都高。由此可见，无论从相对误差还是灰色绝对关联度角度都反映出时滞GM(1,1)模型能较好地描述原始序列的发展变化。因为库存量具有一定的时滞积累特性，恰巧时滞GM(1,1)模型既体现了系统行为的滞后性又充分考虑了时滞效应的长期性，故有很好的模拟效果。由此，也验证了时滞GM(1,1)模型的有效性。

2 实例应用

河南省是我国重要的产粮基地，若发生农业干旱则受影响很大，当干旱严重时，甚至会对全国的粮食安全造成影响。南阳市作为河南省占地面积最大、人口数量最多的农业大市，素有“中州粮仓”之称。对该市作旱情现状分析对保障粮食产量具有重要意义。信阳市在夏季较其他季节更容易发生干旱，为更好地提高该城市的抗旱能力，需要分析当地的旱情并做出预测，进而根据所判断出的干旱等级采取相应的措施。地下水资源是评价旱情现状的重要信息，且具有一定的时滞积累效应。故本文选取河南省南阳市和信阳市2013—2018年的地下水资源量进行模拟预测，数据来源于2013—2018年的《河南省水资源公报》。

2.1 南阳市地下水资源量预测

南阳市2013—2018年地下水资源量数据见表2。

表2 南阳市2013—2018年地下水资源量

表3 3种灰色模型对南阳市地下水资源量的模拟对比

由表3可见，GM(1,1)、GM(1,1,τ)模型模拟结果的平均相对误差分别为7.54%和8.03%；而时滞GM(1,1)模型模拟结果的平均相对误差为4.50%，模拟精度达95%以上；时滞GM(1,1)模型的模拟数据序列与原始数据序列的灰色绝对关联度为0.954，而GM(1,1)和GM(1,1,τ)模型得到的模拟数据序列与原始数据序列的灰色绝对关联度分别为0.801和0.825。可见，时滞GM(1,1)模型的模拟数据序列与原始数据序列的灰色绝对关联度最高。由此可知，时滞GM(1,1)模型较另外两种模型对南阳市地下水资源量的描述更为精确。用时滞GM(1,1)模型预测南阳市2019年的地下水资源量为27.45亿m3。

2.2 信阳市地下水资源量预测

信阳市2013—2018年地下水资源量数据见表4。

表4 信阳市2013—2018年地下水资源量

表5 3种灰色模型对信阳市地下水资源量的模拟对比

3 结语

有效预测地下水资源量对旱情防范具有重要意义。针对地下水资源量表现出的不确定性和时滞积累性，考虑将灰色系统和时滞现象结合起来分析，提出时滞GM(1,1)模型，给出时滞参数的估计方法，并将模型应用于河南省南阳市与信阳市的地下水资源量预测中。实例研究表明，本文提出的时滞GM(1,1)模型可以较好地描述地下水资源量的发展变化。不考虑时滞作用时，时滞GM(1,1)模型退化为经典的GM(1,1)模型。另外，本文仅考虑单一变量，对于具有时滞效应的多变量数据预测有待进一步研究。