均匀带电圆环电势的空间分布
2020-11-08罗志娟何艳喻莉
罗志娟 何艳 喻莉
(空军预警学院基础部 湖北 武汉 430019)
1 引言
均匀带电圆环是电磁学理论及应用中的基本模型,根据电势的叠加非常方便地计算其轴线上任意点的电势,但是对于空间任意点的电势,数学处理上有一定的困难,文献[1]利用MATLAB计算均匀带电圆环在空间任意点的电势分布,文献[2]利用第一类全椭圆积分计算了均匀带电圆环电势的空间分布,文献[3]利用椭圆积分和数学软件对均匀带电圆环电势和电场进行了研究.
本文避开复杂的数学积分计算,利用分离变量法和δ函数性质得出均匀圆环的空间电势分布的函数表达式,将轴线和圆心处对应的参数代入表达式中,得出轴线和圆心处的电势,与电磁学的结论一致,在利用分离变量中主要利用物理的边界条件,从而加深了学生对物理边界问题的理解.
2 均匀带电圆环在空间任意点的电势表达式
有一均匀带电细圆环,半径为a,总电荷量为Q,取球坐标系,坐标原点在环心,而圆环则处在赤道面上,如图1所示,分析得出除了圆环上各点外,电势处处满足拉普拉斯方程,并且空间任意一点(r,θ,φ)的电势u与φ无关.
图1 球坐标系下的均匀带电圆环
设电荷密度分布函数为ρ(r,θ),则
常数C由圆环上的总电荷求出
则
可以写出电势u所满足的定解问题
(1)
|u|θ=0有界 |u|θ=π有界
(2)
|u|r=0有界 |u|r→∞→0
(3)
由δ函数的性质可知,当r≠a时,式(1)退化为拉普拉斯方程,这样,再由分离变量法结合式(2)和式(3)的边界条件,可以得到
(4)
考虑到δ函数应该是间断函数的导数,所以电势在球面r=a上一定是连续的
(5)
由式(4)、(5)可得
Alal=Bla-l-1
(6)
(7)
将δ函数也按勒让德多项式展开有
(8)
由式(4)、(7)和(8)得
(9)
因为
P2l+1(0)=0
所以
(10)
从结果中只含有偶次勒让德多项式,反映了静电势在赤道面反射不变性,即
u(r,θ)=u(r,π-θ)
3 带电圆环轴线上的电势
轴线上取式(10)中
θ=0
P2l(cosθ)=P2l(1)=1
代入式(10)得以下结论.