秩亏水准网中多种定权方法的精度分析

龚栎澎，杨久东，李韧，陈志江

(华北理工大学 矿业工程学院，河北 唐山 063210)

权在秩亏水准网平差工作中是表征精度的相对数字指标，定权模型符合工程测量的实际需求，是水准网平差处理精度的保证。现有的水准网平差定权方法主要有2种：在平坦地形下采用距离定权，在地形复杂地区采用测站数定权。根据相关研究学者的深入研究发现，水准测量的主要误差来源是视距及其相关误差，所以采用按2个测站之间的距离进行定权为基本的传统定权方法。但是，水准测量的误差来源较多，包括系统误差、偶然误差以及观测时的观测读数的相关误差等都会对测量成果造成破坏的影响[1，2]。因此，在水准网测量平差时应综合考虑多种因素所带来的影响，所以按照传统定权法在秩亏水准网的平差结果并不合理[3，4]。该项研究将客观定权方法引入到水准网平差中，客观定权是多目标决策理论研究的重要内容之一，其优势在于能客观合理地确定各指标的权重而不受主观影响[5，6]。该项目选取秩亏水准网实例，以Matlab为工具，将熵权理论定权及变异系数赋权法引入到秩亏水准网中的定权问题，通过综合权衡秩亏水准网的观测值及测站间的观测距离来重新确定平差中的权值，将客观定权的秩亏水准网平差结果与传统距离定权的平差结果进行精度分析，从而证明客观定权方法的合理性及全面性。

1 熵权法定权理论

熵权法通过构造完整的评价对象体系，将评价对象体系中的相关影响因子组成相关的判断矩阵，并根据影响因子的影响程度进行客观定权，不具有个别影响因子单一定权带来的片面性，因此在工程技术、社会经济等领域得到广泛的应用，成为确定指标权系数的一种有效方法[7，8]。

与传统定权方法不同，熵权法主要取决于m个可行方案的各个指标向决策者提供的决策信息，并对其判断贡献值的大小，做的贡献越大，该指标的权重值也就越大。当系统处于n种不同的状态并且每种状态出现的概率是Pi(i=1,2,…m)时，评价该系统的熵为式(1)：

(1)

式中，pi是每种状态出现的概率，0pi1，且每种状态出现的概率和为1，如式(2)：

(2)

按照以上方案，可得到判断矩阵，如式(3)：

X=(xij)m×n

(3)

为了更好地进行系统数据处理，还需要采用均值标准化方法对判断矩阵X进行预处理，从而消除不同量纲的影响。

熵权法中权数的确定是进行综合评价的关键，其中主要步骤如式(4～9):

将对原始数据进行预处理从而得到标准化矩阵：

R=(rij)m×n

(4)

(5)

由公式(4)求出评价体系中的相关影响因子的出现概率pij，如式(6)：

(6)

式中(i=1,2…m;j=1,2…n)。

由公式(6)求第j个影响因子输出的信息熵Ej，如式(7)：

(7)

由公式(7)求第j个影响因子输出的信息熵权Dj，如式(8)：

(8)

由公式(6)和公式(8)求出评价体系中的定权结果Pi，如式(9)：

Pi=Pij·Dj

(9)

在利用熵权理论定权重新定权后，将新的权值代入到秩亏水准网进行平差处理。

2 变异系数赋权法原理

另一种客观赋权方法变异系数赋权法是依据评价体系中的各项差异指标信息，计算体系中的变异系数从而确定相关指标的权重值。与熵权法相同的是需要对数据进行预处理从而得到各项指标值的变异系数，从而解决不同量纲无法进行统一评价的问题。

变异系数赋权法的重点在于计算出评价体系中的指标信息的变异系数，从而计算相关的权重，主要计算步骤如式(10～15)：

(1)将对原始数据进行预处理得到标准化矩阵：

R=(rij)m×n

(10)

(11)

(2)由公式(10)和(11)求出影响因子的出现概率pij：

(12)

式中(i=1,2…m;j=1,2…n)。

(3)各项指标的变异系数公式如下：

(13)

式中，(j=1,2,…n)，Vj是第j项指标的变异系数即标准差系数；σj是第j项指标的标准差；xj是第j项指标的平均数。

(4)各项指标的权重为：

(14)

(5)计算各项观测值的权值：

Pi=Pij·Wj

(15)

变异系数法的定权结果是将距离千米数和测站数二者分别计算的结果pi进行相加。

3 利用客观定权法对秩亏水准网平差权重的分配

通过熵权理论定权和变异系数赋权法的原理引入到秩亏水准网平差中，建立一个评价体系，其中水准路线的观测值为相对应的评价对象，在水准测量中可能出现的各种因素中选择最重要的2个因素即高差观测值和路线长度为评价指标，具体计算流程图如图1所示：

图1 计算流程图

4 算例计

4.1 算例概述

表1 观测样本值

图1 水准网

4.2 数据处理

通过算例给出的水准网观测值计算出3种方案的各个观测值的权重比例，在水准网中，有m条观测路线，还有可能的n个影响因子(水准网考虑的影响因子为高差观测值及水准路线长度，即n=2)，在计算出权重比例后，列出误差方程式，代入到秩亏网中进行平差计算，得出3种不同权重比例分配下的点位中误差，再进行点位中误差精度的对比分析选择最优的定权方案。

根据定权方法的不同，该项目设计了 3 种计算方案(见表2)。

表2 水准网观测值定权结果

方案1：以传统定权方法(距离定权法)计算的水准网观测值权值为P1；

方案2：以熵权法计算的水准网观测值权值为P2；

方案3：以变异系数赋权法计算的水准网观测值权值为P3。

由表2分析得出，通过2种客观定权方法的定权分配，观测值的权重比例也发生了变化，即熵权理论定权及变异系数定权法与传统定权的观测值相比h3和h4的权重变大，h5的权重比例与传统定权相比权重比例降低。

表3 水准网待定点高程平差精度评定结果

由表3中的高程平差精度评定结果分析，按照传统方式定权即按照距离公里数定权的中误差平均值为±52.146 5 mm，而客观定权法的熵权理论定权法和变异系数赋权法的所求的待定点中误差分别为±51.243 2 mm和±51.873 2 mm，熵权理论定权法中计算的X3的点位中误差要比其它2种定权方法小，精度优于传统定权方法和变异系数定权的方案。计算结果表明，熵权理论定权法比变异系数定权求得的待定点平均中误差的精度要高，其权重分配比例最为合理，熵权理论定权法和变异系数赋权法的待定点精度平均值都表现出客观定权方法要优于传统定权方法。

5 结论

(1)引入了2种客观赋权法进行水准网的平差计算，即利用熵权理论定权法和变异系数赋权法对距离公里数和高差观测值进行了综合的评价，都在相对应的评价体系中对2个评价指标进行权重的调节，从而确保权重分配的合理性。

(2)采用熵权理论定权法和变异系数赋权法定权后平差结果的精度均高于传统定权方法的精度，且熵权理论定权法取得的效果在3种方案中的平差效果最好，精度最高。因此，采用熵权理论定权法在秩亏水准网可以取得良好的平差效果，是一种非常实用的秩亏水准网定权方法。