多项式插值和最佳逼近简析及比较

2020-11-04

（南京航空航天大学理学院江苏·南京 210016）

0 引言

在工程实际中，经常需要用简单函数对未知函数或者复杂函数进行近似。常用的简单函数有多项式函数和三角函数。多项式近似是本科课程“计算方法”和研究生课程“数值分析”的核心内容之一，也是高等数学中微分近似和泰勒公式的推广。之所以要对函数进行简单近似，主要基于三个原因：

（1）函数以离散、列表的方式给出，函数表达式未知，需要计算不可测量点处的函数值；

（3）如果函数的原函数不是初等函数或者原函数比较复杂，需要用简单函数计算积分的近似值。

产生近似多项式的方式一般有两种：插值和逼近，而逼近通常又包含最佳一致逼近和最佳平方逼近。下面对这几种方式分别进行讨论。

表 1：不同[a,b]、n时A(1)的条件数

关于最佳一致逼近多项式的几点说明：

（2）最佳一致逼近找最佳就好比在许多班级中比较各班级最后一名的成绩，成绩最高者所在班级为最优秀班级。

（3）最佳一致逼近将每一点的误差看作同等重要，过于重视小区间段上的误差，其他点处的信息会被最大误差点的信息所覆盖和吞噬。

（4）工程应用中，最佳一致逼近度量能提供我们更安全的解。

表2：不同积分区间、不同时A(2)的条件数

表3：不同区间、不同时A(3)的条件数

（3）最佳平方逼近弱化每一点的误差，重视整体上的误差，每一点的信息对最佳平方逼近多项式都有影响。

（4）最佳平方逼近的目标函数严格凸、可导，这使得最佳逼近元的求解非常简单。

（5）最佳平方逼近找最佳就好比在许多班级中比较各个班级的平均分，均分最高的班级为最优秀班级。

本文系统地对多项式插值、最佳一致逼近和最佳平方逼近做了简单讨论，意在加深学生对插值和逼近的概念和各自特点有更深的理解。最后，围绕多项式插值、最佳一致逼近和最佳平方逼近的相互关系，给出如下的说明：

（4）虽然最佳逼近比插值具有更好的收敛性，也能有效地过滤数据误差对近似多项式的影响，但需要利用先验信息确定最佳逼近多项式的次数。