“函数y=Asin（ωx+φ）的图象”教学设计

陈春芳

数学建模不仅是数学学科的六大核心素养之一，也是贯穿高中数学课程的四条主线之一。如何培育学生的建模素养，数学建模进入数学课堂应是关键。三角函数是刻画周期现象的重要数学模型，函数y=Asin（ωx+φ）是三角函数的重要内容，本节内容在苏教版高中数学必修4中是通过物理的简谐振动来引入的，但从学生的物理知识储备情况来看他们并不了解简谐振动，因为缺少生活原型他们很难建构起函数的真实意义。而在改版后的苏教版高中数学必修第一册中，这一模型直接换成了摩天轮的例子，经过对比教学，我们发现借助摩天轮上点的匀速圆周运动呈现不同参数对函数y=Asin（ωx+φ）图象的影响的做法更加形象直观，有助于学生理解A、ω、φ 的几何意义，事实上圆是刻画周期性运动最简洁的模型，在研究三角函数的过程中始终贯穿单位圆模型也有助于体现模型的真正价值。当然数学建模从课程标准走向课堂教学，离不开现代教育技术的支撑，在教学实施过程中，我们应用GeoGebra这一动态数学软件开发了相应的课程资源，为学生的数学理解和深度思考“打开一扇窗”。

一、教学分析

1.教材分析。

三角函数是一种基本初等函数，也是描述周期现象的重要数学模型，在数学、物理、天文、生物和工程技术中均有着广泛的应用。函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象作为其中的一个重要内容，需要由特殊到一般、由简单到复杂、由具体到抽象，逐步分解剖析三个参数A、ω、φ 对函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）图象的影响，从而从变换的视角建构函数y=Asin（ωx+φ）图象与函数y=sinx 图象之间的内在联系，最终形成由函数y=sinx 图象变换得到函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）图象的变换规律和方法。

2.教学目标。

（1）结合具体匀速圆周运动实例，抽象并建立函数y=Asin（ωx+φ）数学模型，了解模型的实际意义，提升数学抽象素养。

（2）分类探究A、ω、φ 三个参数对函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）图象的影响，在经历y=sinx 到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）图象变换探究的过程中，提升数学发现能力和概括总结能力，通过观察图象、代数论证和模型分析，体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，提升直观想象素养和逻辑推理素养。

（3）认识物理中的简谐振动、电流与电磁波，气象学中的潮汐现象等模型与圆周运动的内在联系。

3.学情分析。

研究过正弦函数、余弦函数的图象和性质，明晰借助单位圆用正弦线作图的原理；在指数函数、对数函数和幂函数的学习中，具备数形结合法研究函数图象的直接经验，掌握函数图象的平移变换法；掌握了利用图象研究函数的方法，了解观察、归纳、类比、联想等数学思想方法，由简单到复杂、特殊到一般、由具体到抽象的化归数学思想。

二、教学过程

1.创设情境，建立模型。

问题1：对于一般的匀速圆周运动，可以用怎样的数学模型刻画呢？

如图1，摩天轮的半径为40m，圆心O 距地面的高度为48m，摩天轮逆时针做匀速转动，每30min 转 一圈。摩天轮上点P 从图中点P0处开始计算时间（角φ 的终边为OP0）。你能确定在时刻t（min）时，点P 距离地面的高度H（m）吗？

教师播放摩天轮匀速运动的动画，让学生观察摩天轮上一点的周而复始的运动，体会匀速圆周运动的周期性。在直观认识的基础上引导学生思考，如何将现实问题数学化？指导学生用数学的语言来表达匀速圆周运动。

通过建立平面直角坐标系，借助三角函数的定义，学生建立了刻画一般匀速圆周运动的数学模型H=Asin（ωt+φ）+k（其中A、ω、φ 都是常数，且A＞0，ω＞0），从而让学生感受到，函数y=Asin（ωt+φ）是客观存在的，是刻画自然界周期现象的数学模型，让学生明白本节的研究目的。

（设计意图：生活中的周期现象随处可见，而三角函数是刻画周期现象的一个重要模型。结合生活实际创设问题情境，让学生从具体问题中抽象出数学模型，加强了数学与生活的联系。从实际问题中抽象出数学模型，这是本节课的一个难点，因此在问题1 之前，让学生回顾三角函数的定义，为后续建立数学模型作铺垫。问题情境的创设，发展了学生数学抽象、数学建模的数学学科核心素养。）

2.经历回顾，制订研究策略。

问题2：面对一个新函数y=Asin（ωx+φ），我们接下来应该研究什么？怎样研究？

数学教学在教会学生数学知识的同时更重要的是要教会学生学习数学的方法，学会自主学习，自我发展。学生在学习指、对、幂函数时已经积累了研究函数的基本方法和经验，教师适当引导、启发，学生能够得出研究函数的一般方法：函数概念→函数图象→函数性质→模型应用。

问题3：如何由y=sinx 的图象得到函数y=Asin（ωx+φ）的图象？

教师分析关键是研究参数A、ω、φ 对函数y=Asin（ωx+φ）的影响，三个参数分别会影响图象的什么特征？初高中学习中遇到过类似问题吗？对这类问题学生并不陌生，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中各参数对函数图象的影响，还有物理学习也遇到过类似问题。

学生得出研究思路：通过控制变量，先各个击破，分别研究y=sin（x+φ）、y=Asinx、y=sinωx，最后再综合研究y=Asin（ωx+φ）。

教师继续追问，你会先研究哪个参数？为什么？这里学生意见应该相对统一，先研究φ对图象的影响，因为在之前的学习中，已经学过图象平移的问题。

（设计意图：明确研究方向后，接下来要解决的就是如何研究的问题。学生要设计研究方案，并能说出设计的依据，这有利于提升学生分析问题、解决问题的能力，培养学生形成探究的习惯。）

3.操作探究，分析模型。

探究1：φ对y=sin（x+φ）图象的影响。

作图观察：学生在应用GeoGebra 制作的数学实验平台上做实验，如在输入框内输入A=1，ω=1，φ=1（如图2），得到函数g（x）=sin（x+1）图象，由图象可知，g（x）=sin（x+1）的图象可由f（x）=sinx的图象向左平移1rad得到。

理性思考：为什么两个函数图象之间具有这样的关系？一般化的结论是什么？

在实验平台中，改变φ 的值多次实验，并结合点的考量，得出结论：将f（x）=sinx 上的所有点向左（当φ＞0 时）或向右（当φ＜0 时）平移|φ|个单位，得到g（x）=sin（x+φ）的图象。

回归模型：y=sin（x+φ）是刻画匀速圆周运动的数学模型，这里的φ的物理意义是什么？

如图3，利用GeoGebra 作出匀速圆周运动中点P 的轨迹，其中φ 的终边就是OP0，当改变点P0的位置时，正弦曲线上所有点向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位长度。根据物理意义，我们又称φ 为初相。由φ 引起的是图象变换又称相位变换。

（设计意图：研究过程遵循学生的认知规律，采用从特殊到一般、从具体到抽象的策略。从三个层面（作图观察、理性思考、回归模型）展开，这三个环节紧紧相扣、层层递进。学生先观察图象特征，猜想数学结论，再从数学和物理两个角度阐释结论的合理性。不仅解决了是什么的问题，即图象怎样变换，还解决了为什么的问题，即图象发生这样变化的本质原因在哪里。通过问题的探究，学生的直观想象、逻辑推理的数学学科核心素养得到了提升。）

4.类比探究，得出结论。

探究2：A、ω 对y=Asinx 和y=sinωx 图象的影响。

类比探究的方法：作图观察—理性思考—回归模型。

教师将学生分成两组分别研究，从知识结构上看，这两者本质相同，可以对比研究，在得出一般结论后，从发展学生思维能力考虑，需要学生逻辑推理，数形结合多方面探究，相互印证。

其中A 的物理意义是振幅，由A 引起的图象变换又称振幅变换。ω 引起的变化是周期变化，但是周期与ω 的关系从图象观察不容易理解。为了突破这个难点，教师可以回归模型，用匀速圆周运动来解释ω与周期的关系。

（设计意图：类比是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法。在学生探究学习的过程中起到举足轻重的作用。在探究φ 的过程中，学生掌握了基本研究思路和方法，学生可以采用类比的方法对A、ω 进行研究。ω 对图象的影响是本节课的一个难点，教师放手让学生自主探究，主动参与知识建构的过程，在学生探究和交流的基础之上，教师利用GeoGebra 软件作图演示，并利用匀速圆周运动，解释其物理意义。这样不仅能加深学生对知识的认识和理解，也提升了学生分析问题和解决问题的能力。）

5.回归模型，深化理解。

探究3：你能总结一下从函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）图象的过程与方法吗？

在学生总结出图象变换的规律后，教师引导学生回到匀速圆周运动模型，再次认识函数y=Asin（ωx+φ）是周期函数，这类函数在生活中是广泛存在的，比如在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y=Asin（ωt+φ）的函数，例如简谐振动、弹簧振子、单摆、绳波等。只要将函数y=Asin（ωt+φ）的性质研究清楚，就能把握这类事物的运动规律。

（设计意图：最后回归模型总结本节课探究的重要结论：函数y=Asin（ωx+φ）是周期函数，它的图象可由函数y=sinx 的图象经平移、伸缩变换得到，综合研究的成果，提炼研究方法。）

6.归纳总结，反思提炼。

（1）本节课的研究内容：从具体实例中抽象出数学模型—利用数学知识和方法研究数学模型—借助模型解决相关数学问题。

（2）本节课的研究方法：作图观察—理性思考—回归模型。

（3）本节课的研究策略：复杂问题简单化、一般问题特殊化。

（设计意图：引导学生从知识和方法两个方面进行小结。培养学生及时总结，概括提升的能力，为在课后能继续独立探究思考埋下伏笔。）