会当凌绝顶 一览众山小——“轴对称图形”中的数学思想方法

文 丁建生

学习数学，我们既要学好知识，又要重视数学思想方法的掌握、能力的提升。知识解决了“是什么（What）”的问题，而数学思想方法解决的是“如何办（How）”“为什么（Why）”的问题。当我们站在数学思想方法的高度审视问题时，知识就会贯通，问题就会关联，问题解决就会快捷、简便，也就会产生“一览众山小”的感觉。同学们在学习“轴对称图形”时有这样的感觉吗？

一、建构模型

例1如图1，AB=AC，E、D分别在AB、AC上，且BD=BC，AD=DE=BE，求∠A的度数。

【解析】图中有许多等腰三角形，我们应抓住“等边对等角”。设∠EBD=x°，根据条件得∠EDB=∠EBD=x°，∠A=∠DEA=2x°，∠BDC=∠EBD+∠A=3x°，所以∠ABC=∠C=∠BDC=3x°。

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即2x+3x+3x=180，所以∠A=45°

【反思】解本题的关键是把线段相等关系转换成角相等的关系，再利用三角形内角和定理建立方程。其实，大量的翻折（轴对称变换）中折痕等相关线段长度问题的求解都是通过寻找图形中线段间的关系建立方程模型而实现的。请同学们在后续学习中细细体会。

例2如图2所示，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F。试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系并说明理由。

【解析】猜想：EF=BE+CF。

理由：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，

∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，又∵EF∥BC，∴∠CBO=∠BOE，∠BCO=∠COF，∴∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF，∴BE=EO，CF=FO，∴EF=BE+CF。

【反思】“角平分线+平行”就构成了基本模型（图3），其隐含着角相等、线段相等等结论。

变式：若将∠ACB的平分线改为∠ACB的外角平分线，其他条件不变，则上述结论还成立吗？

例3如图4所示，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与AB垂直，若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）。

【解析】由BP平分∠ABC，PA⊥AB，想到过点P作PE⊥BC于点E，所以PA=PE；又∵PA⊥AB，AB∥CD，∴PD⊥CD，而CP平分∠DCB，∴PD=PE。∴PE=PA=PD，又AD=8，∴PE=4。

【反思】无论是“求点P到BC的距离”，还是“P为∠ABC的平分线上的点”，都能促使我们过点P作垂线段PE，这就构成了角平分线中的基本模型（图5），这个模型中有全等三角形、角相等、线段相等。我们在解题过程中既要迅速识别基本模型，也要善于构造基本模型。

本题中还有什么结论？（AB+CD=BC）如果去掉条件“且与AB垂直”，上述结论还成立吗？

二、分类讨论

例4在平面直角坐标系中，已知点A（3，-3）、P是坐标轴上一点，则使△AOP为等腰三角形的点P共有（ ）个。

【解析】点P可以在x轴或y轴上，三角形的腰和底未确定，需要讨论（图略）。

当以∠P为顶角，即PA=PO时，作线段AO的垂直平分线，与坐标轴有2个交点；当以∠A为顶角，即AO=AP时，以A为圆心、AO长为半径画圆，与坐标轴有2个交点；当以∠O为顶角，即OA=OP时，以O为圆心、OA长为半径画圆，与坐标轴有4个交点。故点P共有8个。

【反思】解决本题的关键是确定分类讨论的方向。分类讨论就是“化整为零，各个击破”，讨论时要确定一个“标准”进行，既不能重复，也不能遗漏。有时还要进行二次分类，如：一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36°，求原三角形最大内角的可能性。请同学们尝试着解决。

例5如图6所示，点O是等边△ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD。已知∠AOB=110°。

（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当∠BOC=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当∠BOC为多少度时，△AOD是等腰三角形。

【解析】（1）由旋转不变性，得△BOC≌△ADC。∴CO=CD，又∵∠DCO=60°，∴△COD是等边三角形。

（2）∵∠BOC=∠ADC=150°，∠ODC=60°，

∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，

∴△AOD是直角三角形。

（3）设∠BOC=x°，又∠DOC=∠CDO=60°，∠AOB=110°，则∠ADO=x°-60°，∠AOD=190°-x°，当OA=OD时，190-x+2（x-60）=180，所以x=110；当AO=AD时，190-x=x-60，所以x=125；当DA=DO时，2（190-x）+x-60=180，所以x=140。

【反思】本题中三个小问题的解决都不需要等边△ABC这一条件，只要BC=AC，结论仍然成立。在第（3）问的解决中，就是以哪个角为顶角展开讨论的。根据∠ADO和∠AOD的表达式即知其和为定值130°，则∠DAO=50°，以此为基础来讨论就很简单。

三、转化思想

例6如图7所示，在四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找出一点M、N，使△AMN的周长最小，此时∠AMN+∠ANM的度数为 。

【解析】要使△AMN的周长（即AM+MN+AN）最小，我们联想到“两点之间线段最短”。

由∠B=∠D=90°，分别作A关于BM、DN的对称点P、Q，连接PM、QN，由对称性得AM=PM、AN=QN，∴AM+MN+AN=PM+MN+QN，显然当P、M、N、Q共线，即M、N在线段PQ上时，PM+MN+QN取最小值。这时∠AMN=2∠PAM，∠ANM=2∠QAN，又∠AMN+∠ANM+∠MAN=180°，∠PAM+∠MAN+∠NAQ=110°，所 以 ∠AMN+∠ANM=140°。

【反思】本题的思路是：欲求两角的和，必须先求出使AM+MN+AN最小的“状态”。求线段和的最小值，一般是将其转化为一条线段的长度，即“化折为直”。如何转化？用轴对称变换。通过对称点的转化作出图形。整个解题过程就是不断转化问题的过程。

例7如图8，已知等腰三角形ABC的底边BC上有一个动点P，PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB。

（1）求证：PD+PE=CF；

（2）若点P运动到BC的延长线上，那么PD、PE和CF有什么数量关系？写出你的猜想并加以证明。

【解析】（1）方法一（截长）：过点P作PM⊥CF于 M，∵PD⊥AB，CF⊥AB，∴四边形PDFM为矩形，∴PD=FM，又∵△ABC中AB=AC，∴∠B=∠ACB，而 PM∥AB，∴ ∠B=∠MPC，∴∠MPC=∠ACB，又∵∠PMC=∠CEP，PC=PC，∴△PMC≌△CEP，∴PE=CM，∴PD+PE=CF。

方法二（补短）：延长DP至N，使PN=PE，连接CN，易证明△PEC≌△PNC，DN=FC，所以PD+PE=CF。

【注】方法二中的辅助线的另一种做法是：将△PEC沿PC翻折至△PNC处。

（2）图略。观察并猜想：PD-PE=CF。证明留给同学们自行探索。

【反思】要证明线段和、差问题，常常是通过“截长、补短”将问题转化成证明线段相等。本题也可以连接AP，这时三条线段PE、PD、CF的“角色”发生了转变，可看成是三个三角形的高，用面积关系来证明会更简洁。

数学思想方法的学习是高层次的学习。同学们在学习每一个知识点时要挖掘其隐含的数学思想；在学习每一章节时要及时发现、归纳其中的数学方法；在解决每一个问题时，要善于运用、反思其中的数学思想方法。