地震条件下悬臂式挡墙主动土压力的极限分析方法

2020-11-03李志浩肖世国

中国地质灾害与防治学报 2020年5期

李志浩，肖世国

(1.西南交通大学地质工程系，四川成都 610031；2.中国电力工程顾问集团西南电力设计院有限公司，四川成都 610021;3.西南交通大学高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川成都 610031)

0 引言

悬臂式挡土墙因其结构简单、施工方便、且墙体断面小、自重轻、可以较好发挥材料性能等诸多优点，在石料缺乏地区和地基承载力较低地层上的填方工程中得以广泛运用[1-3]。对于悬臂式挡墙支挡的填方工程，在其抗震设计中，合理确定地震作用下墙体所受土压力并进而分析墙体的抗滑与抗倾稳定性等，是相关设计计算的关键环节之一。关于挡土墙的地震土压力，以往有学者基于拟静力法与极限平衡理论对重力式挡墙进行过分析[4-6]。对于悬臂式挡墙，GRECO[7]基于极限平衡理论，采用拟静力法给出了一种短踵板悬臂式挡墙的地震土压力计算方法；KLOUKINAS等[8]采用考虑塑性问题的应力分析方法，提出了一种计算长踵板悬臂式挡墙动土压力的方法。张勇[9]针对填土水平且无黏性的情况，通过水平微元法推求了非地震下悬臂式挡土墙后四边形滑动土楔形成的主动土压力。除了这些分析方法，在当前工程实践中，对于悬臂式挡土墙地震主动土压力计算，通常是类比重力式挡墙，将悬臂墙墙踵底端与墙顶内侧的连线或者将过墙踵的垂直面作为假想墙背，再基于Mononobe-Okabe法[10-11](简称M-O法) 计算作用在假想墙背上的土压力。实际上，以往这些方法都主要针对填土为砂性土且滑裂面为平面的情况。然而，一些实验和理论分析均表明填土中的平面滑裂面的假设并不完全合理[12-14]，实际工程中的填土也并非完全没有黏性。

有鉴于此，本文针对悬臂式挡墙的地震主动土压力问题，考虑墙后填土为黏性土、填方坡面存在倾角、填土中破裂面为曲面等更具一般性的情况，采用拟静力法，基于塑性极限分析上限定理，分析悬臂式挡墙的地震主动土压力，以形成一种适用性较强的悬臂式挡墙地震土压力计算方法。

1 分析模型

如图1(a)所示的支挡边坡的悬臂式挡墙，墙高H，墙后填土面AB的水平倾角为β，墙底板厚度为b，其踵板宽度为a。对于一般的黏性填土，在主动极限状态下，挡土墙后填土中可产生曲面式滑裂面[14]。因此，在地震荷载作用下，当墙后填土推压墙体达到极限状态时，假设填土整体产生绕O点的旋转滑动破坏，且填土满足摩尔-库仑强度准则。基于悬臂式挡墙的结构特点，考虑踵板上部土体的局部可能滑裂特征，该局部破裂面(即滑动土体的前缘边界)可分为5种模式，即：

模式Ⅰ：踵板下边缘C与立臂顶端内边缘A连接平面；模式Ⅱ：踵板上边缘N与立臂顶端内边缘A连接平面；模式Ⅲ：过墙踵CN的竖直面；模式Ⅳ：过踵板下边缘C的第二破裂面[1]；模式V：过踵板上边缘N的第二破裂面。其中，判断第二破裂面的临界角αcr的表达式为[1]：

(1)

式中：φ——填土内摩擦角/(°)；

β——墙后填土面水平倾角/(°)。

这5种边界模式相应的破坏机构如图1(b)～(f)所示，其中，kh、kv分别为水平地震与竖向地震影响系数，g为重力加速度；h为旋转滑面起点B到墙踵板底端C的铅垂距离；θ0、θh分别为旋转滑面起点B与终点C相应的矢径倾角；r0、rh分别为该起点与终点矢径的长度；α0为过立臂顶端内边缘的破裂面与立臂的夹角。此外，图1中平面AC或AC′或A′C或A′C′为假想(坦墙)墙背(或计算墙背)。实际上，当墙后填土中存在第二破裂面时，模式Ⅰ与Ⅱ即分别变为模式Ⅳ和V。

图1 悬臂墙支挡边坡结构示意图与主动极限状态破坏机构图式Fig.1 Sketch map of backfill retained by a cantilever retaining wall and potential failure modes of the wall-slope system in the active limit state

2 公式推导

假定墙踵板后侧填土曲线式滑动破裂线形状为对数螺旋线，其方程表达式为[14]：

r=r0exp[(θ-θ0)tanφ]

(2)

式中：r——旋转滑面上一点至转动中心O点的矢径长度/m；

θ——旋转滑面上一点至转动中心O点的矢径倾角/(°)；

r0——旋转滑面起点B的矢径长度/m；

θ0——旋转滑面起点B的矢径倾角/(°)。

于是，对于图1所示的5种破坏机构，根据塑性极限分析上限定理[14]，采用拟静力法，可分别确定其地震主动土压力。限于篇幅且旨在说明方法，下面仅以模式Ⅰ为例，阐述其地震主动土压力的详细推导过程。

对于图1(b)所示机构，满足的几何关系有：

H+r0sinθ0+Lsinβ=rhsinθh

(3)

rhcosθh+Lcosβ-Htanα0=rhcosθ0

(4)

式中：H——挡墙高度/m；

L——旋转滑面起点B至立臂顶端内边缘点A的距离/m；

rh——旋转滑面终点C的矢径长度/m；

θh——旋转滑面终点C的矢径倾角/(°)；

α0——过立臂顶端内边缘的破裂面与立臂的夹角/(°)。

从而，可分别推求滑动机构的外力功率与内能耗散率。

2.1 外力功率

作用在滑体上的外力主要包括：滑体重力、水平及竖向地震力、土压力，外力功率即由这4部分组成。

(1)重力功率

对滑体采用叠加方法[14]，可得重力功率WG为：

WG=γωr03(f1-f2-f3-f4)

(5)

式中：γ——土体重度/(kN·m-3)；

ω——滑体绕O点旋转的角速度/(rad·s-1)；

f1、f2、f3、f4为计算系数，可表示为[14]：

(6)

(7)

(8)

(9)

(2)水平地震力功率

同理，对于水平地震力所做功率WEH为：

WEH=khγωr03(f5-f6-f7-f8)

(10)

式中：kh——水平地震影响系数；

f5、f6、f7、f8——计算系数，可表示为：

(11)

(12)

(13)

(14)

(3)竖向地震力功率

由于竖向地震力与重力同向，采用拟静力法，根据式(5)可进一步得到竖向地震力功率WEV为：

WEV=kvγωr03(f1-f2-f3-f4)

(15)

式中：kv——竖向地震影响系数。

(4)土压力功率

作用于假想墙背AC上土压应力pa的合力Ea与其外法线夹角为δ(在外法线上侧)，这里δ=φ。将AC面上土压力作用点处的速度分解为平行与垂直AC面两个分量，如图2所示，可得平行分量vh与垂直分量vv为：

图2 假想墙背上土压力作用点处速度分解分析模型Fig.2 Analysis model of decomposition of the velocity at the action point of the earth pressure on an assumed wall back

(16)

式中：vh——土压力作用点速度平行墙面分量/(m·s-1)；

vv——土压力作用点速度垂直墙面分量/(m·s-1)；

y0——AC面上土压力合力作用点沿AC方向距C点距离/m。

于是，土压力的功率WE为：

ωEar0exp[(θh-θ0)tanφ]sin(θh+α0+δ)-ωEay0cosδ

(17)

式中：δ——土压力合力与假想墙背外法线夹角/(°)，这里取δ=φ；

y——AC面上任一点沿AC方向距C点的距离/m；

Ea——土压力合力/kN。

2.2 内能耗损率

滑动机构沿滑面的能量损耗发生在速度间断面BC上，采用积分方法，可得内能耗损率DC表达式为[14]：

(18)

式中：c——填土黏聚力/kPa。

2.3 土压力求解

根据极限分析上限定理[14]，在极限状态下，外力功率与内能损耗率应满足：

WG+WEH+WEV-WE=DC

(19)

把式(5)、(10)、(15)、(17)、(18)代入式(19)，整理得：

(20)

其中，f9和fc为计算系数，分别为：

f9=r0exp[(θh-θ0)tanφ]sin(θh+α0+δ)-y0cosδ

(21)

这样，所求主动土压力问题即变为对式(20)求解Ea的极大值，从而有：

(22)

于是，根据式(22)确定出θ0、θh，再代入式(20)即可确定此种模式下的计算墙背上地震主动土压力。同理，对模式Ⅱ-V均采用前述方法，也可得到相应的地震主动土压力。对于实际工程，将这5种模式下的主动土压力均算出后，再分别计算墙体的抗滑与抗倾稳定系数，取其最小值作为各自计算采用值，其相应的滑动破坏模式即为最不利模式。

3 实例分析与验证

(1)实例一(无第二破裂面)

根据GRECO[7]描述的一悬臂式挡墙实例，墙高H=6 m，踵板长度a=0.6 m，墙后填内摩擦角为36°、重度为16 kN/m3的砂土，填土倾角β=12°。取水平与竖向地震影响系数分别为kh=0.2与kv=0.1。根据式(1)判断，墙后填土中未形成第二破裂面。于是，采用本文方法计算得到的作用于计算墙背上土压力结果如表1所示。其中，也给出了Mononobe-Okabe法(简称M-O法)[10-11]、规范推荐方法[1]的结果。

表1 实例一地震主动土压力计算结果(kN·m-1)Table 1 Calculation results of seismic active earth pressure on the wall in the example No.1 (kN·m-1)

可见，本文模式Ⅰ、模式Ⅱ算法较GRECO结果偏大4%～6%，模式Ⅲ较其偏小9.5%，模式Ⅲ计算值明显比模式Ⅰ、II偏小。与传统的M-O法相比，本文方法计算值偏小，其相对误差小于10%，但二者均大于规范法。本文方法与M-O法、规范法差异原因在于本文采取的滑裂面为对数螺旋面，非M-O法的直线滑裂面，而规范法对M-O法又进行了调整，采用地震角代替水平及竖向地震加速度系数。

(2)实例二(有第二破裂面)

选取梁波等[15]描述的青藏铁路多年冻土区某悬臂式挡墙实例，墙高H=5 m，踵板长度a=1.6 m，墙后填土倾角β=29.7°，填土为内摩擦角36°、重度 22.3 kN/m3的砂性土。据式(1)判断，墙后填土中形成第二破裂面。于是，采用本文方法计算得到的土压力结果如表1所示。其中，也给出了库仑法[16]、规范推荐方法[1]、GRECO法[17]计算和现场实测[15]的结果。

表2 实例二主动土压力计算结果(kN·m-1)Table 2 Calculation results of active earth pressure on the wall in the example No.2 (kN·m-1)

可见，本文模式Ⅳ、模式V计算结果较库仑斜线模式、Greco法与规范法的结果偏大9%～11%，但与实测的最大值较为接近。整体而言，本文方法具有一定的有效性。

4 主要参数分析

由前面分析可见，踵板长度、水平与竖向地震影响系数、墙高、填土内摩擦角和黏聚力、填土坡面倾角等对地震土压力有影响，进而影响着墙体的抗滑与抗倾稳定性。下面分别讨论这些因素的影响特征，为便于阐述，将墙体抗滑与抗倾稳定稳定系数分别记为Ks与Ko，并将地震主动土压力系数ka表示为：

ka=Ea/(γH2/2)

(23)

同时，相关分析中均以趾板长度为0.6 m、立臂顶端宽0.3 m、立臂外侧(即墙面)呈1∶0.05斜坡、底板厚度0.35 m，墙体重度取24 kN/m3，墙底板与地基摩擦系数为0.35为例。

4.1 踵板长度

图3给出了某例随着踵板长度a的变化，地震主动土压力系数ka、墙体抗滑与抗倾稳定稳定系数Ks、Ko变化曲线。可见，模式Ⅰ与Ⅱ的土压力值较为接近，模式Ⅱ略大；模式Ⅳ与V的土压力较为接近，模式V略大；随着a/H的逐渐增大，模式Ⅰ与Ⅱ的土压力值逐渐提高，直到出现第二破裂面时(相应于模式Ⅳ、模式V)，则土压力均不再受a/H的影响；对于模式Ⅲ，在β=0°时，其土压力与a/H无关。Ks、Ko均随着a/H呈正相关变化，且整体呈非线性特征。换言之，随着a/H的增加，墙体抗滑与抗倾稳定性均提高。模式Ⅲ的抗滑稳定系数计算值相对较小。

图3 ka、Ks及Ko随a的变化曲线Fig.3 Distribution curves of ka,Ks and Ko varying with a

4.2 水平地震影响系数

考虑到实际工程中踵板长度通常相对较大，墙后填土中常可能存在第二破裂面。对此情况，某例ka、Ks、Ko随水平地震影响系数kh的变化曲线如图4所示。可见，随着kh的增大，模式Ⅳ、V的土压力值呈非线性提高，而模式Ⅲ的土压力则呈线性增大；当kh值较低时(本例中为0.2以下)，模式Ⅳ、V及模式Ⅲ的计算值分别接近于M-O斜线与直线模式，当kh值较高时，本文方法的计算值均比M-O法略小。同步地，Ks、Ko值随kh的增大而逐渐降低，本文方法计算结果整体呈现非线性关系；在水平地震影响系数较大时，本法计算值一般大于相应的M-O方法。

图4 ka、Ks及Ko随kh的变化曲线Fig.4 Distribution curves of ka,Ks and Ko varying with kh

4.3 竖向地震影响系数

对于墙后填土中存在第二破裂面的情况，某例ka、Ks、Ko随竖向地震影响系数kh的变化曲线如图5所示。可见，随着kv的增大，各模式的土压力值呈线性增大；模式Ⅳ、V及模式Ⅲ的计算值分别接近于M-O斜线与直线模式。Ks、Ko值随kv的增大而呈现线性减小，本文方法计算值一般大于相应的M-O方法。

图5 ka、Ks及Ko随kv的变化曲线Fig.5 Distribution curves of ka,Ks and Ko varying with kv

4.4 墙体高度

图6给出了某例随着墙高H变化的ka、Ks、Ko变化曲线。可见，模式Ⅲ土压力系数最小，模式Ⅰ与Ⅱ的土压力系数接近，模式V比IV的土压力系数略大；随着H/a的逐渐增大，模式Ⅰ与Ⅱ的土压力系数总体呈降低变化趋势，但在H/a介于1.5～2.0时，ka几乎不变；在出现第二破裂面时(相应于模式Ⅳ、模式V)，土压力系数仍随H/a降低；对于模式Ⅲ，当H/a>1.35时，ka几乎不受H/a影响。对于各计算模式，Ks随着H/a呈先略增大再逐渐减小的变化特征，而Ko则呈逐渐减小的非线性变化特征。

图6 ka、Ks及Ko随H的变化曲线Fig.6 Distribution curves of ka,Ks and Ko varying with H

4.5 填土内摩擦角

在墙后填土中存在第二破裂面的情况下，某例ka、Ks、Ko与填土内摩擦角的关系曲线如图7所示。可见，随着内摩擦角的增大，模式Ⅳ、V计算的土压力值呈非线性减小，但均大于M-O斜线模式；模式Ⅲ的土压力值则呈线性减小，但略小于M-O直线模式。模式Ⅳ、V下的Ks、Ko值均随内摩擦角呈非线性增大特征，其余模式的相应结果则近似呈线性增大特征；在相对较小的内摩擦角(本例约为31°以下)时，模式Ⅳ、V相应的Ks、Ko计算值小于M-O斜线模式，反之则略大于M-O斜线模式；而模式Ⅲ相应的Ks、Ko计算值均大于M-O直线模式。

图7 ka、Ks及Ko随φ的变化曲线Fig.7 Distribution curves of ka,Ks and Ko varying with φ

4.6 填土黏聚力

在墙后填土中存在第二破裂面的情况下，某例ka、Ks、Ko与填土黏聚力的关系曲线如图8所示。可见，随着黏聚力的增大，各模式计算的土压力值呈线性减小，模式Ⅳ、V计算值接近，模式Ⅲ计算值相对最小。不同计算模式下的Ks、Ko值均随黏聚力呈逐渐增大特征；模式Ⅲ计算得到的Ks、Ko值相对较大，其变化曲线呈明显的非线性特征，而模式Ⅳ、V的变化曲线则呈近似线性特征。

4.7 填土坡面倾角

在墙后填土中存在第二破裂面的情况下，某例ka、Ks、Ko与填土坡面倾角的关系曲线如图8所示。可见，随着填土坡面倾角的增大，各模式计算的土压力值呈非线性增大，模式Ⅳ、V计算值接近，模式Ⅲ计算值相对最小。模式Ⅲ、IV、V计算得到的Ks、Ko值均随填土坡面倾角呈近似线性减小特征，且模式Ⅲ相应的Ks计算值为相对最小值，而在β角略大时，其相应的Ko计算值也为相对最小值。