思维导图视角下的几何综合题解题教学

吴福芳

【摘要】几何综合题是每年中考的压轴题，考察学生综合运用知识解决问题的能力。由于几何综合题涉及几何、代数、函数与方程等知识点的交叉，这也是学生在解决数学问题中的重点、难点题型。为突破几何综合题解题困境，本文以2019年广东中考数学24题第（1）问为例，结合波利亚《怎样解题》的四个步骤和思维导图，探讨有效的综合数学问题教学方式。

【关键词】思维导图   几何综合题   数学教学

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2020）27-164-02

一、问题提出

在中考评卷中，几何综合题的答题存在着这样的现象：（1）前因后果衔接不上，条理不清。（2）写满不得分，答非所问，与所求问题无关。（3）把猜想当条件用，没有事实依据。（4）一字不写，交白卷，彻底放弃。分析这些现象的原因，我们不难发现是因为学生审题不清，已知与求证没有形成逻辑连接，导致学生在答题时解题思路混乱，条理不清晰，甚至无从下手。 在几何综合题教学中，笔者结合波利亚《怎样解题》的四个步骤，引入思维导图，解决上面的问题，下面进行说明。

二、几何综合题的题型特点

几何综合题是以几何知识为主体的综合题，简称几何综合题，主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系，以及特定图形的判定和性质。一般以相似三角形为中心，以圆为重点，常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用。该题型以知识点多，图形复杂，需添加辅助线解答三大特点著称，成功地为难了大部分考生，让许多考生甚至初三老师在备考时望而生畏。

三、思维导图在几何综合题教学中的应用

1.思维导图在分析题意中的应用

借用思维导图罗列已知条件，推出结论，一目了然，让理解分析题目更有效。以2019年广东省中考数学24题第（1）问为例，说说如何采用思维导图进行分析题目。题目如下：

24.如24-1图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF.

（1）求证：ED=EC;

（2）求证：AF是⊙O的切线;

（3）如题24-2图，若点G是△ACD的内心，BC·BE=25，求BG的长。

分析题意，画出思维导图如下：

以上简单的思维导图，先把题目中的4个已知条件罗列出来，由条件1推理得到结论1，条件3推理得到结论2，条件3和条件4共同推理得到结论3.此时，由于结论1和2是经过逻辑推理得到的，所以可以把它们做为已知条件来运用。因此，条件2和结论2共同推理得到结论4，进而结论1和结论4共同推理得到结论5。结论4还可以推理得出结论6，进而与结论3配合共同推理得出结论7.由已知一步步，层层推理，最终得到结论：∠ADC=∠BCD和四边形ABCF是平行四边形。这样由已知出发，画出思维导图，一步步向前推理，可以让学生很清晰地弄清楚题意，并且从已知推理得出结论，再把结论变成新的已知条件，更深层地去推理，最终完成由已知到求证的转变。而像这样运用思维导图来理解和分析题意对我们解答题目是最有效的。

2.思维导图在拟定方案的应用

从求证出发，层层设疑推导，逆向分析，找到支撑求证的已知条件。以2019年广东省中考数学24题第（1）问为例，说明在拟定方案时如何借助思维导图展示解题的思维过程。画出思维导图如下：

在拟定解题方案时，我们一般都会根据已有的解题经验来进行尝试推理的。本题欲求证ED=EC，根据经验证同在一个三角形的线段相等转化为证两个底角相等，再从证角相等，不断替换目标，最后找到了AC=AC，AB=AC，∠BCD=∠ACB三个已知条件做为支撑，完成了整个解题推理过程。                                                （下转第166页）（上接第164页）

3.思维导图在执行方案的应用

根据思维导图分析推导过程，由下往上书写解题过程，步骤清晰，不容易写漏原因。本题的书写过程可以分三步进行。第一步，先由已知3推导出假设3成立，再结合已知2推导出假设2成立;第二步，由已知1推导出假设1成立;第三步，结合假设1与假设2共同推导出∠ADC=∠BCD，即可完成证明过程。

4.思维导图在回顾的应用

回顾本题的分析过程，我们不难发现求证线段相等的一般思路。用思维导图总结如下：

四、思维导图在几何综合题教学中的思考

1.思维导图让几何综合题解题思路更清晰

在几何综合题解题中，借用思维导图以已知条件为抓手进行题意分析，让題目分析更深入，条理更清晰;借用思维导图以求证为主线，通过层层设疑、推导，采用逆向分析，拟定解题方案，最后找到可以支撑的已知条件（或已被求证的结论），让解题步骤更清晰明确。

2.思维导图让几何综合题的解题推理更有条理性

为了让学生能在书写证明过程时，不出现漏写，理论依据不足的情况。运用思维导图分析题意和拟定方案，会让逻辑推理过程更加有条理，更加清晰，学生在书写时更能清楚地知道先写什么，后写什么。怎样书写过程才能得分，答题的得分率才会比较高。

3.思维导图让解题反思更直观

解题教学力求能够通过一道题帮助学生解决一类题，因此解题后的回顾反思就更加重要了。而通过思维导图反思汇总一类题的解题思路，真正起到思维可视化的作用。因此，思维导图作为一种有效的解题方法，需要贯穿于数学解题教学的整个过程之中，使学生逐步养成运用思维导图解决问题的思维模式。

【参考文献】

[1]【美】G.波利亚 著，涂泓、冯承天 译.《怎样解题》——数学思维的新方法，

[2]陈建花，王小莉，沈有健，思维导图在几何教学中的应用——以“最短路径”为例，《中学数学教学参考》下旬，2016（08）：5-6

[3]辛颖.“思维导图”下的数学“解题教学”初探[J].中学数学，2019（07）：44-45.