以高考试题为例谈核心素养下的课堂教学

[摘 要] 学科核心素养是育人价值的集中体现。本文以高考试题为载体，具体地从核心素养的六个方面，探讨新时期的课堂教学，为学生可持续发展和终身学习创造条件。

[关键词] 核心素养;课堂教学;终身学习

[作者简介] 赵修明（1967—），男，山东济宁人，学士，年级组主任，中学高级教师，研究方向为数学教育。

[中图分类号] G632.474    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）43-0312-03    [收稿日期] 2020-03-18

教育部在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，强调以学生发展为本，落实立德树人，提升数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。课堂作为学生的主阵地，必须与时俱进，深化改革，结合近年数学高考和社会發展对学生的需要，下面从六个角度，探究如何通过课堂进行核心素养教学。

一、数学抽象的教学

数学抽象是数学的一种美。有了数学抽象才使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的最美基础学科之一。数学概念和规则的形成、数学思想与方法提炼、公理体系的建立等都离不开数学抽象，所以是每年高考直接或间接必考点。

总起来看，数学抽象主要表现为由抽象、特定的数学符号所表示的数量与数量关系，从相近或相似的图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系。例1立意于数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养。通过抽象符号f（x）、抽象概念奇函数、抽象方程f（1-x）=f（1+x）等所反映出的函数对称性、周期性，最后求50个函数值的和。初中教师的授课生动、形象、具体，高中知识就变得抽象了。比如，在关于x的方程ax=1中，1、a、x三个量：1就是1，是一个具体的数;x表示所解未知量;a表示一个常数，是确定的，但具体不知道是多少，不像1那样具体，这样显得比较抽象。若继续求解该方程，就要分①当a=0时，②当a≠0时讨论，这样学生就能对a进一步理解了。处理此类问题方法一是将抽象问题具体化、直观化，借助满足抽象条件所学过的具体函数、方程、公式等“特殊化”，使学生感觉到问题有“存在感”，而不是虚无飘渺的。比如例1，由“f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数”可联想到一次函数、正弦函数等;看到“f（1+x）=f（1-x）”可想到“f（x）图像关于直线x=1对称”，结合这两个条件可借助正弦函数找到答案。二是严格的逻辑分析。比如“f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数”等价于“f（-x）=-f（x） x∈R”，“f（1+x）=f（1-x）”等价于“f（-x）=f（x+2）”，由此可得f（x）是一个周期函数且周期是4。其实如果一个函数同时具备两个（种）对称性，该函数就是一个周期函数。

二、逻辑推理的教学

逻辑推理是重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，使问题解决言之有物，言之有理。主要包括两类：一是由特殊到一般的归纳、类比推理;一是由一般到特殊的演绎推理。基于逻辑推理具有严谨性、条理性、完美性等特点，逻辑推理立意始终贯穿在整个数学高考试卷之中。

例2.（2019年全国卷Ⅱ理科7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A.α内有无数条直线与β平行

B.α内有两条相交直线与β平行

C.α，β平行于同一条直线

D.α，β垂直于同一平面

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件等严密的逻辑推理、学生对基本知识的理解和掌握程度。对于逻辑推理课堂教学，要注意三点：通透、明晰、体系。通透就是将教材上的概念、定义、法则、公理、定理、推论、法则等要分析透：为什么要学？成立所需的条件是什么？为什么需要这些条件？条件关键点在哪里？条件是否可以改变？结论是什么？如何进行论证的？能用来解决哪些问题？易错点在哪里？等等。明晰就是将相点近或者相似知识的拿来一并分析，清楚它们的异同点，辨析的越清楚，理解的就会越准确，用的就会越熟练。体系就是要将“知识点”连成“知识线”“知识网”，使之成为体系。

三、数学建模的教学

数学建模体现数学应用性。学数学的目的在于让人们要用数学的眼睛来观察事物，用数学的语言来描述感受，用数学的头脑来探求所惑，用数学的知识来解决问题。

例3.（2016年全国I高考19）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘。机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元。在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，

记X，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数。

（I）求X的分布列;（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值;

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

本题涉及到现实生活中的最优化问题。根据题意“以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据”，需先清楚“购买易损零件所需费用的期望值”，若求解该期望值需求解“表示2台机器三年内共需更换的易损零件数的分布列”，由此看来，本题需要用数学中的“概率”这个数学模型，本题数学模型比较容易找。

数学建模大致分审题、建模、解模、回归四大部分。审题分为三个层次：读题、翻译、挖掘信息点，即抛开错综复杂的语言背景，明确其具体要求。高中数学应用题中的建模相对比较简单，模型也较为固定，常用的模型有函数模型、三角模型、数列模型、立体几何模型、排列组合概率模型、方程和不等式问题等基本模型。解模即用数学知识解决和解答模型所涉及到的数学问题。回归：就是回归主题。随着社会的发展，对数学建模的要求会不断提高。其过程总结为：从数学理性的视角在实际情境中分析要点、明确所解问题、精准问题分析、建立数学模型、确定需要参数、合理计算求解、检验初步结果、完善所建模型，最终达到科学地解决实际问题。

四、直观想象的教学

直观想象可理解为通过已掌握的平面图形、空间结构的直观感受，来研究新的对象或是抽象出新的概念。不光是研究平面与平面、平面与空间之间的形态和位置的变化，还进一步提高数与形相结合能力，培养创新思维，构建数学问题的直观模型，开阔解决问题的思路。

例4.（2019年全国Ⅱ高考16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）。半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美。图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一個正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________。

第一问可按题目并结合其对称性可数出26个面;第二问则需直观想象还原出物体（如下图）。

本题立意新颖，需具备强大空间想象能力，快速还原图形。解决本题的关键是确定半正多面体的各顶点在正方体上的具体位置，最终将立体几何问题平面化。中学阶段对直观想象的要求是能够掌握研究图形与图形、图形与数量之间关系的基本方法，借助图形性质探索数学规律，解决实际问题或数学问题。在平时课堂教学时，首先让学生大脑储备大量素材，来提升学生的直观想象能力，可谓是“读书破万卷，下笔如有神”。教师要善于利用一些生活事例和图像让学生亲身感知和分析。凡是教材上出现的图像、图形要画准、画熟，平面图形中的所有基本函数图像、空间中常见几何体要烂熟于心。其次是要善于利用多媒体等现代技术，积累一些组合体的直观印象，比如，特殊的多面体与多面体正方体、常见的多面体与旋转体等组合体等类似如下几何模型。

第三，要善于动手制作几何模型。如折叠长方体等，也可从切割土豆等，充分发挥自己的空间想象力，在动手参与过程中能够对空间感与空间位置不断增强，同时对几何体有了更清晰的认识。第四是熟练掌握、应用所学的定义、公理、定理、推理等，实现由直观、生动的感知，到理性、严谨的升华。

五、数学运算的教学

数学运算既不是简单的数字、公式“堆砌”，也不是解析几何繁杂的计算，而是一种程序性极强的学生脑力活动。分析数学运算的整个过程，基本分为分析运算对象和要求，探求运算思路，明确所用工具，讲究详略得当的运算步骤，得到理想答案。关键在于如何运用所掌握知识将搭起“所求”与“已知”的桥梁，数学运算其实是一个人的综合能力的表现。

六、数据分析的教学

数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识。数据分析是每年高考的必考内容。

例6.（2015年新课标Ⅱ理科3）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（  ）

A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B.2007年我国治理二氧化硫排放显现

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D.2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关

本题考查频率分布直方图的基本知识。在课堂教学时，先从时间、空间两个维度界定分析确定分析目标，分析定性数据还是分析定量数据。本题根据选项中，没有对具体数字做出判断的问题，可视为定性数据分析。如果涉及到平均数、方差、概率等具体数字，需要准确定位的，视为定量数据分析。其次要确保数据分析结构体系化。运用分析方法，根据题意判定该题属于哪类数学模型（高中阶段主要有：①相关分析、回归分析模型，②卡方检验模型，③方差分析模型，④概率模型，⑤正态分布模型等等），由已知条件，利用有关数学知识进行解析，最后要准确回归题意。注意要分清是开放性、建设性的结论还是评价性的结论。

提高学生的学科核心素养是教师课堂的育人目标，学生通过平时的认真学习，形成正确的人生观、价值观、世界观，培养了深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性等优秀的思维品质，在学习过程中，探索求真，磨练意志，团结协作，分享喜悦。掌握了知识，培养了能力，使情感、态度与价值观得以更好的提升。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]沈良.试论数学运算的理解与教学[J]数学教研，2019（2）：3.