基于网上拍卖的共同价值托投标分析*

陈绍刚，王 楠

(电子科技大学 数学科学学院,四川 成都 611731)

1 引 言

拍卖是一种通过公开竞价来决定拍卖物归属的买卖方式，拍卖作为一资源的有效分配方式，在相关机构和集体的组织监督下，在规定的时间地点根据约定好的竞价取得方式来交易拍卖物.

传统拍卖理论根据对拍卖物实际价值的掌握程度以及私人价值的影响大小，将拍卖模型分成了3类：

1)独立私有价值模型；竞标者不知道拍卖物的实际价值，以对拍卖物的估值来最大化自己的收益为目的，根据其私人价值大小作为出价，而其他竞标者的私人信息大小不改变该竞标者对拍卖物的私人价值.私人价值拍卖在拍卖中是常见的，例如收藏的艺术品、唱片等带有个人特色的拍卖物，竞标者根据自己对该拍卖物的需求和喜好来进行出价.

2)共同价值模型；该拍卖物的实际价值对于每个竞标者来说都是一样的，但是竞标者并不知道这个实际价值，竞标者根据自己掌握的私人信号对其进行估价，且在出价阶段，竞标者之间的私人信号大小会影响到竞标者的估价.共同价值拍卖常见于石油开采权、矿产权等情形的拍卖中，例如石油开采权的价值取决于地下石油储量情况，以及竞标者所拥有的储量的信息，同时在拍卖中观测到其他竞标者的出价从而调整自己对石油储量的估计，而动态调整自己的估价.

3)关联价值模型；独立私有价值模型和共同价值模型是关联价值模型的特殊情况，在实际拍卖中，往往不是单一的独立价值情况和共同价值拍卖情况，可能是两者的结合，拍卖物的实际价值和竞标者的私人价值共同影响竞标者的出价.例如地产、国债等的拍卖，不仅包含了个人的喜好还有拍卖物的市场价值的共同因素来进行考量.

共同价值拍卖和私人价值拍卖都是根据竞标者自身掌握的私人信号来对拍卖物的价值进行估计，其不同点在于其他竞标者的私人信号是否影响到自己的私人信号，共同价值拍卖在拍卖过程中会考虑其他竞标者的私人信号大小，从而动态调整自己的出价，而私人价值拍卖只考虑自己的私人信号.

现代拍卖发展从线下延展到了线上，依托互联网所搭建的平台，使得传统拍卖不再受制于时间、空间的限制，使得拍卖的覆盖面和开放程度得到进一步的提升.网上拍卖为不同地域的竞标者提供了一个虚拟的拍卖场景，网站作为第三方监管者，在此场景中遵循传统拍卖的流程，竞标者之间可能互不相识，甚至竞标者对招标商也不够了解，拍卖物作为双方唯一的交易和交流要件.除了网上拍卖的积极性以外，由于交易不是发生在同一空间中，竞标者的身份很难去确定，而互联网的隐蔽性和匿名性容易为不法分子所利用，使得拍卖中的欺诈行为更容易发生.网上拍卖存在的欺诈行为主要有托投标、投标屏蔽、多重投标、共谋等行为.托投标是招标商为了抬高商品的价格将自己伪装成一个合法的竞标者，从而引诱诚实竞标者做出更高的报价.招标商的托投标行为的发生时间点不定，可能发生于拍卖刚开始，起到推广的作用来吸引更多的投标商参与，或是拍卖过程中观测到投标商的竞价达不到最优保留价格水平，招标商就可能提交与最优保留价水平相一致的“托”出价[1-4].Nikitkov A等指出，竞标者和网站第三方监测者都很难意识到有托投标的发生，从而如何去保障网上拍卖的公平性也是值得商榷的[5].

网上拍卖依托互联网的构建，在传统拍卖的基础上对其经济实用性进行了延伸.杜黎等证明了在个人价值独立环境下，竞标者以真实估价作为自己的报价，且一到达就报价是最优投标策略，于是可以假定参与拍卖的均是诚实的竞标者[6]；陈绍刚等基于网上拍卖的竞标者随机到达，投标间隔不均匀等特点，利用非齐次泊松过程近似投标者的到达[7]；陈胜利认为采取英式拍卖方式，能够使得招标商和竞标者的期望收益达到一个合理的平衡[8]；王宏认为在多单位网上拍卖中，招标商的最优策略是在开始时设定低的托投标价格，之后再动态调整托投标至最优水平[9].

诚实的竞标者报价所透露出的价值信息，使得招标商能够估计拍卖形式，伪装成竞标者参与拍卖.在共同价值拍卖中，个人所掌握的有关拍卖物的信息是至关重要的，它直接影响到了其他竞标者的报价.金忻指出由于竞标者掌握的信息不完全，所以在拍卖中会出现赢者诅咒的现象[10].赢者诅咒是指竞标者根据已有的信息错误估计了拍卖物的实际价值，使得最终支付价格高于拍卖物的实际价值，得到了负收益，这也是共同价值拍卖不同于独立私人价值拍卖的最重要的一点，竞标者的信息会随着其他竞标者的信息发生改变[11].Kosmopoulou等基于托出价的基础上证明了投标者在意识到可能存在托投标行为时，拍卖的平均利润会减少[12].Porter等得到了关于第一价格密封拍卖和第二价格密封拍卖时针对托出价存在时的投标策略[13].在实际共同价值拍卖中，竞标者所获得的信息一般是不对称的，而正是因为信息不对称，竞标者在进行报价时很容易受到其他竞标者报价的影响，而重新估计自己所获得的关于拍卖物的信息.贺孟利用博弈论和扰动理论分析方法，量化了竞标者的信息不对称对共同价值拍卖的影响[14].Bergemann等利用信息不对称在第一价格拍卖中的贝叶斯均衡，得出竞标者的期望收益收到其他竞标者的信息和估值影响，当其他竞标者出价减少时，竞标者的期望收益降低，当其他竞标者的估值增加时，期望收益增加[15].

本文主要讨论共同价值拍卖模型下可能存在的招标欺诈行为.在现有文献的基础上，建立信息不对称条件下的共同价值拍卖模型.竞标者对于拍卖物的共同价值拥有的信息大小差异，在观测到其他竞标者的报价时可能会调整自己的私人信号，从而导致赢者诅咒的发生，而竞标者的人数可能会影响赢者诅咒的发生概率.此外，建立共同价值拍卖模型的期望收益数学模型，在招标商可能存在的托投标欺诈行为情况时，为竞标者的报价提供理论指导，调整竞标者的均衡竞价策略.

2 模型假定

假定有一个招标商通过网上拍卖销售一个单位的不可分割的物品，考虑共同价值下的拍卖模型.有n位诚实的投标商参与此次拍卖，招标商有P概率以托投标的方式参与到此次拍卖中.

(1)

3 赢者诅咒

故对任意v，即E(v+ei)=v+E(ei)>v，则在此条件下，无论噪音信号的取值为多少，竞标者对于拍卖物实际价值v的估计都会高于实际价值，即存在赢者诅咒的可能性很大.

竞标者的报价bi(Si)=αSi，其中α为竞标者的报价为私人信号的部分，若存在赢者诅咒：

解得：

赢者诅咒常发生于市场不完全、信息不对称的情形，竞标者所掌握的信息不同，掌握信息的竞标者往往能利用其所拥有的信息优势来得到拍卖物，而对于掌握信息不足的竞标者来说，只能根据其他主体的行为对拍卖物的共同价值进行判断.例如在原油拍卖中，原油的含量是一定的，所以该拍卖对于所有竞标者的共同价值是相同的，而在拍卖结束后的调查，达到77%的拍卖案例中，中标价格高于次高价格至少两倍，超过半数的拍卖是不盈利的，甚至达到了亏损.这就是共同价值拍卖中，竞标者不是完全理性的，竞标者常常过高估计其余竞标者的私人信号，出价过高.

4 共同价值下的均衡竞价策略

定理1竞标者其私人信号Si的分布函数为

(2)

(3)

由分布函数与密度函数的性质，解得：

定理2竞标者获胜时得到最大期望收益的报价为

(4)

证明竞标者1获胜时的期望收益为

由一阶最优性条件：

由一阶最优性条件：

由一阶最优性条件：

综上，竞标者获胜的均衡竞价策略为

在共同价值拍卖中，由于竞标者对于拍卖物的信息获得是不对称的，同时竞标者之间的出价也会影响自己的私人信号，从而影响到自己的均衡报价和赢标者的最终收益，于是通过期望收益最大理论建立竞标者出价及其收益的数学模型.根据参与竞标的人数，以及自己的私人信号大小和拍卖物的实际价值大小，考虑估价的范围，从而得到最优均衡策略.

5 存在托投标情况下的均衡竞价策略

对于诚实的竞标者来说，在拍卖中获胜的条件是满足Si>S-i，所有竞标者的私人信号都是根据其确定的私人价值以及随机扰动项来决定的.而对于托投标行为的发生来说，存在两种情况：①托投标的私人信号获胜，从而拍卖结束，无诚实竞标者获得拍卖物，招标商的收益为负；②诚实竞标者获胜，托投标的私人信号在其中作为干扰信号，但不影响最高的私人信号的出现，拍卖结束，招标商获得一定的收益.本文不考虑第一种情况，认为托投标的发生推动了拍卖的产生，但是最终拍卖物由诚实的竞标者获得.

定理3在以P概率的可能出现托投标的情况下，竞标者的均衡竞价策略为：当有P概率出现托投标的情形时，参与拍卖人数由n人变为n+1人，假定诚实竞标者1获胜，赢得拍卖物.

证明竞标者1获胜时的期望收益为

由一阶最优性条件：

由一阶最优性条件：

特例当P=1时，竞标者有充分的理由相信招标者存在托投标的行为，且招标商的托投标行为发生在后期的竞标中，解得竞标者的均衡竞价策略为

在存在托投标的情况下，考虑招标者的参与增加了竞标者的人数，而招标者的报价也是在合理范围内，只是为了促进更高的出价，竞标者的私人信号大小和拍卖物的实际价值大小共同影响竞标者的出价，考虑赢标者的估价范围而得到最优均衡策略.

6 结 论

现有文献大多讨论发生在私人价值拍卖模型下的托投标行为对竞标者、招标商的期望价值影响，私人价值拍卖模型中竞标者之间的报价函数是服从同一分布且相互独立的.本文着眼于共同价值拍卖模型下的托投标研究，虽然实际价值对于每一个竞标者都是相同的，但是由于私人信息的不同会造成竞标者对于拍卖物的估价发生变化，于是通过求解私人信号在不同的取值范围内的竞标者的报价函数，从而得到竞标者的最优竞价策略.

赢者诅咒常发生于共同价值拍卖中，赢者诅咒的发生于参与投标的人数有关，参与竞标的人数越多，赢者诅咒发生的概率也越大；而竞标者的估价与其私人信号的报价部分有关，私人信号的部分报价比例越高，发生赢者诅咒的概率也就越大.

托投标是招标商通过伪装成合法的竞标者参与拍卖，而托投标发生的时间可能在拍卖前期、中期、后期，于是在不同的时间点上，招标商抬高报价，这个报价会影响竞标者的出价.利用博弈理论和期望最大化理论，建立共同价值拍卖模型，从而求解在不同情况下的竞标者获胜的最优竞价策略.