新教材下《数系的扩充》教学设计意图说明

黄艳

教学设计的主要思路和意图：

一、对复数部分作章节整体教学设计，将学法指导渗透在整体教学设计中;

二、引导学生经历数系扩充的发生、发展和应用的全过程;

通过对数系扩充的再探究、再发现和再创造，让学生感悟：

（1）为什么要建立相关数学知识？（为什么要引入复数？）

（2）数学知识是怎样建立的？（数系扩充的发生、发展过程）

（1）为什么要建立相关数学知识？

数学知识的引入必定有它存在的价值，复数的出现亦是如此。虽然印象中，没有哪个阶段给过“数”的概念是什么，但是我们在小学入校之前就已经接触到“数”，可想而知，这是一个如影随形的概念。数是相当神秘的，人类最初对数并没有概念，只是出于生活方面的需要让人们脑海中有了数的影子。那么，我们是否有过数学哲学角度的原点思考：任何事物的出现必定有它存在的正面价值，“数”的出现也不例外，为什么要出现正整数、0、分数、复数、无理数、虚数？

（2）数学知识是怎么建立的？

数是如何发展成为今天这个模样呢？

远古时期的人类在生活中遇到了许多无法解决的难题，比如想表示一棵树，两头野兽等等，在当时并没有符号表示具体的数量，所以当时人们主要以结绳记事或在树木石头上刻痕迹的方法计数。后来引进罗马数字（现在常在钟表中出现），但是罗马数字中是没有0的，在公元5世纪，罗马有一位学者从印度计数法里发现了“0”这个符号，并把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。但是罗马教皇凶残且守旧，他非常恼怒的说：“神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！“0”被那个愚昧残忍的罗马教皇命令禁止了。我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算。筹算是用竹制的或骨制的小棍，按规定的横竖长短顺序摆好，用来记数和进行运算。随着筹算的普及，筹算的摆法也就成为记数的符号了，筹算摆法有横纵两式，都能表示同样的数字，从筹算数码中没有10这个数可以清楚的看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制，这样的计算法在当时是很先进的。阿拉伯数字是印度人创造的，之后流传到阿拉伯，后人误认为是阿拉伯人发明，故称之为阿拉伯数字，由于他们便于书写，被沿用至今。发展到阿拉伯数字为止，我们发现这些数字都是自然数，出现分数之后，又解决了人们许多难题，但是在生活中我们还见到过不少具有相反意义的量：前进和后退，向上和向下，于是人们又将这些具有相反意义的数称为负数。后来，又有学者发现了一些无法用自然数和负数表示的数，有这样一个故事：一个叫希帕索斯的学生画了一个边上为1的正方形，设对角线为x，根据勾股定理，，他发现，这一长度，既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。他的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生，小小的的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，实际上这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的冲击。这一个结论的悖论性表现在它与常识的冲突：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的，可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的断论居然被小小的的存在而推翻了。这应该是多么违反常识，多门荒谬的事，它简直把以前所知道的事情根本推翻了，更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法，这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风暴，史上成为“第一次数学危机”。这次危机引进了无理数，将数学范围扩充到了实数。而后，16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“和”就可以满足要求：，

。但是，在实数集内，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，那么表示什么意义呢？你也许会覺得这个问题有点可笑，因为任何实数的平方是非负数，所以负数没有平方根，因此没有意义。尽管在很长时间内，数学家都认为和这两个式子没有意义，是虚构的，想象的，但在解决许多问题时，使用类似于这样的式子却带来了极大的方便。从而引入了虚数，而将数的范围扩充到了复数。

向学生介绍“数”的发展历史，有的小典故可能有的学生本身有所了解，那么不妨让他以故事的形式向同学呈现数的发生发展，教师加以补充，这样设计“数系的扩充”的概念教学，凸显新课程标准下课堂以学生为主体。学生阅读数的发展历史材料，提取信息概括信息的能力，梳理数的发展的主线，这样设计数系的扩充的教学，目的是让学生沿着数学家探索数的发展所走过的路，经历“一次次的提出概念、推翻概念”的探究过程，让学生对数的发展、内涵与外延认识得更加深刻。法国数学家庞加莱指出：教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段。所以我觉得教材对于“数系的扩充与复数的引入”这一章的设计意图绝不是以复数的四则运算为主的，然而有很多教师却处于应试的角度把侧重点放在四则运算上。我觉得第一课时教师就应当引领学生置身历史长河中，感悟数的这一历史演变过程。让学生体会数学源于实际生活而又服务于实际生活。增加学生学习数学的兴趣，让学生自主钩织概念发生的路线图，帮助学生了解这一来龙去脉，经历知识发生发展的过程，完善学生的数学认知结构，促进整体理解。最后可以让学生课余去查阅资料，既然数是一个不断发生发展的概念，我们现在所认识的数的最大范围是复数，那是否复数这个范围就是最完备呢？有没有复数以外的数呢？未知领域有待学生继续探索发现。