二次函数问题错解剖析

房延华

中考试题中有关二次函数的许多题目，求解并不难，但解题时有的同学由于审题不清、考虑不周而错解，现就笔者在多次参与中考数学阅卷工作中发现的常见错误剖析如下.

一、记错二次函数增减性的范围

三、曲解题意

例3某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件.如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）.设每件商品的售价上涨x（x为正整数）元，每个月的销售利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.

（2）每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

分析：有的同学由于没有理解“每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件”这个条件的意义，而错列关系式y=（60-50+x）.lOx，从而导致后续步骤也错误.正确答案应是：（1）y=60-50+x）.（200-10x）=一10（x一5）2+2 250（0

四、缺乏分类意识

例4如图1.二次函數y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A （-4，0）.

五、忽略实际问题中自变量的取值范围

例5某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元时，就会少售出10件玩具.

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x（x>40）元，请你分别用含x的代数式来表示销售量y（件）和销售该品牌玩具获得的利润W（元），并把结果填写在表1中.

（2）在第（1）问条件下，若商场要获得10 000元的销售利润，则该玩具销售单价应定为多少元？

（3）在第（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，则商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？

分析：大部分同学都能顺利解答前两个小题，答案如下：

（1）如表2.

（2）当W=10 000时，可得方程_lOx2+1 300x-30 000=10 000.解得x1=50，X2=80.

答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10 000元的销售利润.

对于第（3）小题，有的同学是这样解的：

W=-10x2+1 300x-30 000=-10 （x-65）2+12 250.

当x=65时，最大利润为12 250元.

这个解法是错误的，原因是忽略了条件“销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务”对x的限制，顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在图象的顶点处取得最值：顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，可借助图象进行分析以求得最值.