基于层次分析法的新高考改革选科目组合概率研究

周泽宇　唐炜

摘 要：本文针对新高考改革后带来的教学资源、排课、师资分配等问题，建立优化模型，为现行高中选科政策提供创新型方案。我们首先定性分析了影响高中生选科的因素，针对各因素生成量化指标，对各指标进行归一化处理，以得到有关各个因素的决策矩阵。然后，利用层次分析法，建立起关于选科人数估计的多属性决策模型，将决策矩阵作为目标层到准则层的第一层矩阵，将由成对比较矩阵分析得到的权值矩阵作为准则层到方案层的第二层矩阵。联立决策矩阵与权值矩阵，得到方案层各元素相对于目标层的权值，由权值估算出学生选择各单科的概率，进而估算出学生选择各选科组合的概率。

关键词：层次分析;多属性决策模型;权值;科目

1 引言

2014年9月4日[1]，国务院发布《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》，意见提出新高考改革的主要任务和措施，要求改进招生计划分配方式、改革考试形式和内容以及招生录取机制等，此举措标志着新高考改革方案的正式发布。对于作为第三批试点进行新高考改革的省市数量，由最初定下的18个锐减至8个，有关人士对试点省份进行了调查了解[2]，总结出整体延迟的主要原因是，其担心“自身资源跟不上改革节奏”。若真正允许学生自主选择科目，学校就必须根据学生的选科结果，提供足够的课程供学生“走班”。简单计算可知，“6 选 3”有 20 种组合，“7 选 3”则有 35 种组合，而一种组合的三门课不能安排在同一时间。因此，不仅排课复杂，更是极大增加了师资和教室等教学资源的需求，对经济和教育发展水平相对滞后的地区来说，可能是难以承受的。另一方面，选择不同组合的学生数量很可能差异很大，而且由于社会变化的种种原因，学生的选择也会逐年变化。

2 机器学习方法

2.1确定影响学生选科的因素

在具体估算学生如何选科之前，需要先经过定性分析，找出存在哪些原因影响着学生选科的方案。经过自身分析、对学生的调查走访与咨询相关专家意见，得到影响学生选科的因素主要有：个人兴趣爱好、学术风格、硬件设施、教师配置、就业趋势五大部分。其中，个人兴趣爱好属于学生层面，学术风格、硬件设施、教师配置属于学校层面，就业趋势属于社会层面。

2.2定量化相关因素，确定评价指标并建立函数

在具体分析中我们发现，对于个人的兴趣爱好，需要逐个对学生进行走访才能知晓，而针对不同学校，需要对大量的学生进行调查分析，基数的庞大，使得调查个人兴趣爱好难以进行。而学术风格则较为空洞，难以进行数学层面的分析。因此，需要将这两个因素，等效为另一个与之相关的性质。经分析发现，无论是个人兴趣爱好还是学术风格，均与各科高分分布情况直接相关，因此，将其进行性质上的等效处理。各科高分分布情况，可用往届各科高分人数h 这一量纲进行反应。

硬件设施，则可用各科实验设备数 e 进行反应，而教师配置可用各科教师人数t 进行反应，就业趋势可用各科就业情况评分 s 进行反应。

至此，已将各个影响因素进行定量化处理，得到了四个对于各科选科人数的评价指标，从而建立起关于各科选科人数 N 的函数，如下式：

（1）

在已经发布了新高考改革方案的省中，我们选取了广东省的五所不同条件的中学进行调查，分别是广州市南武中學、中山纪念中学、广州市白云中学、花都区新华中学、开平市风采中学。每一学校各选出 500 位同学，统计出了他们在分科后模拟考试的分数分布情况。然后，对各个学校的各科实验设备数以及各科教师人数进行了统计。

2.3建立模糊综合评价模型

建立基于层次分析法的模糊综合决策模型，将各个属性纳入准测层内进行研究，该模型的示意图见图 1 所示。

我们查找了大量数据，并咨询了相关领域的专家，建立了方案层相对于准则层的成对比较矩阵 B1-B6，用于表示针对各个学科而言，准则层里不同属性的重要性。采用了 Santy 的 1-9 标度方法，建立该模型下的成对比较矩阵标度表。

通过有关权值得分的计算，可将其转化为学生选择的概率 p，对于广东省而言，新高考改革实行“3+1+2”的选科模式，即在物理、历史中任选一科，在化学、生物、政治、地理中任选两科。记同学校中物理、历史的权值得分为c1、c2，选择概率为 p1，2;化学、生物、政治、地理的权值得分为c3、c4、c5、c6。通过概率论中相关知识，计算出基于选单科概率的选科组合概率，见表1所示。

3 小结

在某个发布了新高考改革方案的省里选几所不同地区不同条件的中学，根据学校的学生规模、文化传统和特色等实际情况，估算出每一种选课组合的选择概率。本文采用多属性决策模型，不必限制影响因素的具体维数，可进行全面而具体的分析。归一化处理使得各属性值不再受其各自量纲的影响，使各指标可进行混合运算。决策矩阵中的元素类似于分值，由成对比较矩阵产生的权重矩阵则为各分值对应的权值，各元素相乘产生的综合得分则类似于加权打分系统，更为客观准确。

参考文献

[1]张中宁，新高考改革背景下普通高中选课走班调查研究——以浙江省 5 所高中为例[D]，曲皋师范大学，2017.3

[2]亓佳彤，由新高考“六选三”引出的递归问题[R]，数学学习与研究，2019.