聚焦理性思维 凸显数学思想
2020-10-14梁乾培
梁乾培
摘 要：解题是一个既有实践性又有探索性的认知活动，要从数学思想方法和理性思维的角度进行解题，发展数学核心素养是解题的本质，是提高解题能力的必由之路.
关键词：解题;理性思维;思想方法;核心素养
理性思维是一种有明确思维方向，有充分思维依据，能对事物或问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的一种思维.说得简单些，理性思维就是一种建立在证据和逻辑推理基础上的思维方式.
数学解题是以公式、定义、性质、定理等为依据，通过理性思维进行推理，在数学思想的指导下，寻找已知和未知的联系.
本文从高考题“已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex
-x.（1）讨论[f（x）]的单调性;（2）若[f（x）]有两个零点，求[a]的取值范围”的探究入手，进行“学会解题”的尝试.
一、 善于发现本质、规律
数学学习中发生数学的地方都无一例外地充满着数学解题活动，通过问题的解决，揭示数学问题的本质、關系、规律，领悟数学的真谛. 从而，提升理性思维的概括、提炼能力.例题的第（1）小题是利用导数确定函数单调性. 可以总结为一般步骤：确定定义域，求导数，确定导数符号（往往是因式分解等方法），说明单调区间.
解：（1）确定[f（x）]的定义域[（-∞，+∞）]，求导得[f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（aex-][1）][（2ex]
[+1）].（ⅰ）若[a≤0]，则[f′（x）<0]，所以[f（x）]在[（-∞，]
[+∞）]单调递减.（ⅱ）若[a>0]，则由[f′（x）=0]得[x=-lna].当[x∈（-∞，-lna）]时，[f′（x）<0];当[x∈（-lna，+∞）]时，[f′（x）>0]，所以[f（x）]在
[（-∞，-lna）]单调递减，在[（-lna，+∞）]单调递增.（点评：因式分解是简化多项式运算的重要手段，因为[2ex+1>0]，所以只需要考察[aex-1]的符号即可，运用分类与整合的思想，易知[a≤0]时，[aex-1<0]，从而，找到分类的标准.这里体现逻辑思维的严谨性）
二、善于严谨细致、精中求简
思维的严谨细致是发展理性思维的前提，精中求简是良好理性思维品质的重要体现.例题的第（2）小题，是确定参数范围，通常利用命题成立的必要条件，先缩小参数的取值范围.可以运用数形结合、特殊与一般、函数与方程、分类与整合等数学思想方法，减缩思维量，优化思维过程.方法多种多样，我们解题时就要严谨细致，不重不漏，考虑完整，解法1体现严谨性;解法2体现精中求简的思维.
解法1：（2）若[a≤0]，[f′（x）<0]，函数[f（x）]单调递减，[f（x）]至多有一个零点.（点评：由（1）是对[a]分类的，所以，很自然还要利用分类与整合的思想，就每一种情形分别求解，体现逻辑思维的严密性，运用数形结合的数学思想，结合图象，直观感知）若[a>0]，由（1）知，当[x=-lna]时，[f（x）]取得极（最）小值，极小值为[f（-lna）=1-1a+lna].当[a=1]时，由于
[f（-lna）=0]，故[f（x）]只有一个零点;当a[∈]（1，
+∞）时，由于[1-1a+lna>0]，即[f（-lna）>0]，故[f（x）]没有零点.（点评：极（最）小值的大小影响函数零点个数，接下来按照极小值是否大于零讨论零点个数，直观想象：若最小值大于[0]，函数的图象与[x]轴没有交点，不存在零点;若最小值小于[0]，函数的图象与[x]轴可能有交点.利用数学运算，对于[f（-lna）]的值进行数据处理）
当[a∈（0，1）]时，[1-1a+lna<0]，即[f（-lna）<0].（点评：由数形结合思想，当图象在[x]轴下方有点，若[f（x）]有两个零点，则在[x]轴上方必定有点[x1，x2]，使得[f（x1）>0，f（x2）>0]，因为[-lna>0]，所以在
[（-∞，0）]，[（-lna，+∞）]分别有一个零点.如何找到点[x1，x2]就体现数学抽象、逻辑推理、数学直观、数据处理的数学素养，是本题难点所在）下面从不同角度进行分析，突破难点.
解法2：函数[f（x）]有两个零点，必须[f（x）min<0]，即[a>0]，且[f（x）min=f（ln1a）=1-1a-ln1a]，构造函数[g（x）=1-x-lnx，x>0]，
易知[g（x）][（0，+∞）]上单调递减，又因为[g（1）=0]，所以[1-1a - ln 1a < 0 ? g （1a） < g （1） ? 1a > 1 ?0 三、善于返璞归真、以简驭繁 理性思维就是人们借助抽象思维，在感性思维的基础上，把所获得的感觉材料，经过思考、分析，加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的整理和改造.而要说明在某个区间上函数的零点存在，往往要利用函数零点存在定理，即在某个区间[（a，b）]上，找到两个点（数）[x1，x2]，使得[f（x1）f（x2）<0].我们要以此为依据，进行由感性思维到理性思维的飞跃.通常利用极限的思想、一般与特殊的思想，数形结合、放缩、换元等实现转化与化归. 接解法2：因为函数[f（x）]有两个零点，所以在[（-∞，0）]，[（-lna，+∞）]分别有一個零点，为方便计算，不妨设[x1=-1，-2，-3]等进行试验，不难发现，[f（-2）=ae-4+（a-2）e-2+2>-2e-2+2>0].（点评：这样的取值是因为函数[f（x）]在[（-∞，-lna）]单调递减，利用数形结合，进行直观想象，返璞归真，当[x]越小，[f（x）]的值就越大，运用特殊与一般的数学思想方法，我们取[-1，-2]这些数，为方便计算.其实[f（-1） ， f（-2） ， f（-3）]等都可以）然后，再说明函数[f（x）]在[（-lna，+∞）]上有一个零点，因为[-lna>0]，故只要说明存在一个正数[b]，使得[f（b）>0]即可，即[f（b）=ae2b+（a-2）eb-b][>0]，即[f（b）=ae2b+（a-2）eb>b]，只要[ae2b+（a-2）eb>eb]因为[eb≥b+1>b]，故上面的不等式可化为[aeb+（a-2）>1，aeb>3-a，∴b>ln（3a-1）]，故存在[b>ln（3a-1）>0，]使得[f（b）>0]，故函数[f（x）]在[（-lna，+∞）]有一个零点.（点评：函数[f（x）]在[（-lna，+∞）]单调递增，自变量越大，函数值越大，为了找到一个合适的“点[b]”，使得[f（b）>0]，就应该把[f（x）]进行放缩，目的是能够使得不等式可解，体现以简驭繁的理性思维，运用转化化归的思想，故由经典不等式当[x>0]时，[ex>x]放缩，把[b]转化为[eb]） 解法3：因为[f（x）=ae2x+（a-2）ex-x>（a-2）ex-x]，因为[x<0，∴ex<1]，故 [x>ln（3a-1）.]即可，这样放缩体现转化化归的数学思想方法） 四、善于质疑思辨、求变创新 质疑思辨是理性思维的核心，求变创新是理性思维的动力.解题要回归本质，教会学生思考，教会学生发展理性思维能力是教学的灵魂，例如在解题教学中启发学生：还有其他方法吗？能否从另外的角度思考？这样的方法有没有普遍的适用性？考虑指数函数与对数函数的关系，我们可以将指数转化为对数，给我们“眼前一亮”的感觉. 解法4：设[t=ex，][ f（x）=ae2x+（a-2）ex-x]的零点个数等价于[g（t）=at2+（a-2）t-lnt]零点个数问题.（点评：通过换元，改变函数的结构，实现转化化归）[g′（t）=2at2+（a-2）t-1t]，当[a≤0]时，[g′（t）<0]，则[g（t）]单调递减，不可能有两个零点;当[a>0]时，[g（t）]在[（0，1a）]内单调递减，在[（1a，+∞）]单调递增才有可能存在两个零点，下面确定[a]的取值范围：函数有两个零点的必要条件是[g（1a）=1-1a-ln1a<0]，设[x=1a]，则[g（x）=1-x-lnx]单调递减，又[g（1）=0]，所以[x>1，]即[0 五、善于解后反思、提升推理能力 推理是理性思维的重要形式，是数学的“命根子”，是从已知判断推出新的判断的思维形式.我们知道，理性思维是有内容的思维，它必须依据事物的内在规则进行，理性思维以抽象性、间接性、普遍性为特征，以事物的本质、规律为对象和内容.因此，解后反思是提升理性思维能力的重要手段. 例如，解答例题之后，我们就要进行反思：与题目有联系的知识是否都考虑了？是否做过与此题目类似的问题？能否用不同的知识或方法，通过不同的途径求解该问题？此题的解法是否给你启发？接下来，提供近几年的高考题供参考. 1.（2015年高考全国卷文科数学）设函数[f（x）=e2x-alnx]. （Ⅰ）讨论[f（x）]的导函数[f′（x）]零点的个数; （Ⅱ）略. 2.（2016年高考全国卷理科数学）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点. （Ⅰ）求[a]的取值范围; （Ⅱ）略. 3.（2018年高考全国卷理科数学）已知函数f（x）=ex-ax2. （1）略; （2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a. 4.（2019年高考全国卷文科数学）已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，[f'（x）]是 [f（x）]的导数. （1）证明：[f'（x）]在区间（0，[π]）存在唯一零点; （2）略. 六、立足理性思维训练 数学是思维的科学，理性思维是数学核心素养的灵魂，数学思想方法是学生获取知识的主要手段，掌握数学思想方法有利于透彻理解数学知识，有利于创造能力的培养. 章建跃博士曾强调：培养学生的思维始终是数学课程的核心任务，这是数学的“宗”，因此，在数学教学中，“为学生的核心素养而教”与“为培养学生的理性思维而教”是完全一致的. 习题 （2018年高考全国卷文科数学）已知函数[f（x）=13x3-a（x2+x+1）]. （1）略; （2）证明：[f（x）]只有一个零点. 解析：（1）略; （2）解法1：由于x2+x+1>0，所以f（x）=0等价于[x3x2+x+1]-3a=0.（点评：为研究导数的方便，分离参数，以简驭繁）设g（x）=[x3x2+x+1]-3a，则g'（x）=[x2（x2+2x+3）（x2+x+1）2≥0]，当且仅当x=0时，g'（x）=0，所以g（x）在（-∞，+∞）单调递增.故g（x）至多有一个零点，从而[f（x）]至多有一个零点. 又f（3a-1）=-6a2+2a-[13]=-6（a-[16]）（a-[16]）2-[16<0]，f（3a+1）=[13]>0，故f（x）有一个零点.综上，[f（x）]只有一個零点.（点评：是如何找点的呢？可以考虑找g（x）的取值情况，因为g（x）=[x3x2+x+1]-3a=[（x3-1）+1x2+x+1-3a=（x-1）]+[1x2+x+1]-3a，考虑[1x2+x+1]的范围[（0，43]]，当[x=3a+1，3a+2]等，都有g（x）>0，当[x=3a-1，3a-2]等，都有[g（x）<0]） 解法2：先判断函数f（x）至少有一个零点.同解法1.设[x>1]，则[f（x）=13x3-a（x2+x+1）≥13x 3 -a（x2+ x+ 1 ）>13x3-a（x2 +x2+x2）=] [13x2（x-9a）>13x2（x-9a-1）>0]，则当[x2>9a+1>1]时，[f（x2）>0];当[x<-1]时， [f（x）≤13x3+a（x2+x+1）<13x3+ax2=13x2（x+3a）<13x2（x+3a+1）<0]，即[x1<-3a-1<-1]时，[f（x1）<0，]故函数[f（x）]在[（x1，x2）]上有一个零点. 解题是一个既有实践性又有探索性的认知活动，弗里德曼在《怎样学会解数学题》中，分析学生解了大量的题目，但还“不开窍”的情况时指出：这些学生没有在应用的程度上分析所解的习题，不能从中分析出解题的一般方式和方法，解题常常只是为了得个答案.所以要从数学思想方法和理性思维的角度进行解题，发展数学核心素养是解题的本质，是提高解题能力的必由之路.
