“同心协力”控制策略模型研究

彭屿雯　肖琴

摘要：“同心协力”（又称“同心鼓”）是一项团队协作能力拓展项目，本文结合相关基本物理力学知识——冲量定理、力向一点平移定理、刚体定轴转动微分方程和碰撞的恢复系数公式等，建立了排球与鼓面碰撞的碰撞数学模型和鼓面倾斜角度数学模型。

关键词：冲量定律;碰撞的恢复系数;差分法;刚体定轴转动微分方程

中图分类号：G634.7文献标识码：A文章编号：1672-9129（2020）06-0185-02

Abstract："gungho"（alsoknownasthe"concentricdrums"）isateamcooperationabilitydevelopmentproject，thispapercombinedwiththebasicphysicalandmechanicalknowledge-impulsetheorem，forcetoalittletranslationtheorem，thedifferentialequationofrigidbodyfixedaxisrotationandrecoverycoefficientformulaofcollision，volleyballcollisionswithraisedcollisionmathematicalmodelisestablishedandtheraisedAnglemathematicalmodel.

Keywords：thelawofimpulse;recoverycoefficientofcollision;differencemethod;differentialequationofrigidbodyrotationwithfixedaxis

1问题的提出

“同心协力”项目的道具是牛皮双面鼓，鼓身中间固定多根绳子，绳子在鼓身上的固定点沿圆周呈均匀分布，每根绳子长度相同。团队成员每人牵拉一根绳子，使鼓面保持水平。项目开始，球从鼓面中心上方竖直落下，队员同心协力将球颠起，使其有节奏地在鼓面上跳动。颠球过程中，队员只能抓握绳子的末端，不能接触其他位置。项目所用排球270g。鼓面直径40cm，鼓身高度22cm，鼓重3.6kg。队员不少于8人，队员之间距离不小于60cm。项目开始时，球从鼓面中心上方40cm处竖直落下，球被颠起的高度应离开鼓面40cm以上，如低于40cm，项目停止。需使连续颠球的次数尽可能多。

建立数学模型解决问题：

（1）理想状态，每个人都可以精确控制用力方向、时机和力度，试讨论这种情形下团队的最佳协作策略，给出该策略下的颠球高度。

（2）在现实情形中，队员发力时机和力度不可能做到精确控制，存在一定误差，于是鼓面可能出现倾斜。建立模型描述队员的发力时机和力度与某一特定时刻的鼓面倾斜角度的关系。设队员人数为8，绳长为1.7m，鼓面初始时刻是水平静止的，初始位置较绳子水平时下降11cm，表1中给出了队员们的不同发力时机和力度，求0.1s时鼓面的倾斜角度。

（3）在现实情形中，根据问题2的模型，在问题1中给出的策略是否需要调整？如果需要，如何调整？

2模型假设

（1）每名队员只控制一根绳;

（2）鼓与球之间的碰撞弹力远大于摩擦力和重力，对球的影响忽略不计;

（3）鼓的质量远大于球的质量，碰撞力的大小完全由鼓的质量、大小和初速度决定;

（4）假设排球与鼓面碰撞的恢复系数与人造革PVC材料的恢复系数一致;

3符号说明

4模型的建立与求解

4.1问题一。由题意，牛皮鼓质量mD远大于排球质量mB，由動量定理，鼓面在碰撞结束后的vDO=0，本文将牛皮双面鼓与排球碰撞过程看作排球从高处自由落体到鼓面，得到排球与鼓面的碰撞时间为△τ[1]

注：查资料知，鼓面与排球碰撞的恢复系数e和人造革PVC材料的恢复系数相近，取e=0.86[3]

针对排球碰撞鼓面前的运动过程，使用速度位移公式

存在排球与鼓面碰撞的恢复系数计算公式[2]：

计算可得速度vDI

为节省人手，我们由8人拉鼓，结合动量定律，可以得到鼓与排球碰撞时的鼓面与排球之间的接触力FN，初状态队员们对绳的拉力FT与绳和水平面的夹角θ0之间关系。建立模型：

编程求解，可得在给定颠球高度，发力方向和发力角度的对应值。

4.2问题二。

对队员进行编号，并得到初始位置各队员的拉力T0，绳与水平面角度θ0。

本题建模以刚体定轴转动微分方程为中心，求解在表中各情况下的0.1s后，鼓的倾斜角度θ。

（1）无队员提前用力：

将0.1s分为十等份，每份0.01s，第k份时的鼓面倾角为θk，0.1s时的鼓面倾角θ=θ10：

用以上公式联立求解。

（2）有队员提前用力：

该模型建立需要分步完成过程中的鼓倾角变化。

第一步：部分队员提前0.1s过程中拉绳，鼓倾斜角为θa。

根据公式

可以求得θa。

第二步：全部队员一起用力作用于鼓的0.1s中，令θ01=θa+θ0，Fr21，Fr1分别为这0.1s内的两个方向的合力，该过程鼓倾角为θ：

4.3问题三。

建立模型：

情况1：鼓处于水平，球竖直下落，假设的鼓一直处于水平，则球反数值下落，利用问题1

情况2：鼓因发力时机等原因出现倾斜，前后的过程合力方向沿一条直线，利用问题2

情况3：鼓因发力时机等原因出现倾斜，前后过程合力方向不沿一条直线，则建立一个下x，y，z轴的三维空间立体模型，θ与情况2相同，可得θ。

鼓在三维空间立体模型中，沿垂直于X轴的方向的转动惯量J2[2]为：

由刚体定轴转动微分方程[2]可得下式：

通过模型求解结果来看，本文建立模型忽略摩擦力，空气阻力等的影响，现实中，空气阻力等诸多要素都应考虑。但是可以通过多次实验测得实际情况，将实验值与模型求解理论值进行比较，并作误差分析，改进模型。

参考文献：

[1]郑焕武.自由落体与地面之间作用力公式的推导.出版地：西昌学院学报·自然科学版，200703

[2]范钦珊主编.理论力学.出版地：清华大学出版社，2004

[3]百度文库.各材料的恢复系数.