NS*-置换子群对有限群结构的影响

吴湘华，钟祥贵

(广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541006)

本文涉及的群均为有限群，文中使用标准的术语及符号，可参见文献[1-3]。G表示一个有限群，|G|表示G的阶，π(G)表示|G|的素因子集合。

假设H是G的一个子群。称H为G的S-置换子群，如果对G的任意Sylow子群P满足HP=PH;称H是G的一个c-正规子群，如果存在G的一个正规子群K,使得G=HK且H∩K≤HG,其中HG=CoreG(H)是含于H中G的最大正规子群。

另一方面，G的每个S-置换子群H具有这样的性质：假设H≤K≤G,那么对满足gcd (p,|H|)=1的任意素因子p,NK(H)包含K的所有Sylowp-子群。在此基础上，Al-Sharo[10]对S-置换子群继续作了推广：群G的一个子群H被称为是G的几乎S-置换子群，如果H≤K≤G且对满足gcd (p,|H|)=1的任意素因子p,NK(H)包含K的某些Sylowp-子群。作为这方面研究的继续，本文对几乎S-置换子群和c-正规子群作岀进一步推广，介绍一类新的子群。

显然，所有的正规子群、c-正规子群以及几乎S-置换子群都是NS*-置换子群。然而，反过来却是不真的，比如下面的例子。

例1置换群S4的2阶子群〈(12)〉显然是一个NS*-置换子群。然而，对于S4的 包含〈(12)〉的6阶子群K,〈(12)〉在K中的正规化子NK(〈(12)〉)却不包含K的任何Sylow 3-子群。因此〈(12)〉不是S4的几乎S-置换子群，从而也不是S4的S-置换子群。

例2[16]设G=〈x,y|x16=y4=1,xy=x3〉，H=〈y2〉。则Φ(G)=〈x2,y2〉=〈x2〉×〈y2〉，H在G中显然不是c-正规的。然而，H是G的NS*-置换子群。

1 主要引理

本章给岀后面要用到的主要引理。

引理1[10]设H是群G的一个几乎S-置换子群，N是群G的一个正规子群，则下列陈述成立：

①HN是群G的几乎S-置换子群；

② 若H是一个素数幂阶子群，那么H∩N是群G的一个几乎S-置换子群；

③ 若H是一个素数幂阶子群，那么HN/N是群G的一个几乎S-置换子群；

④ 若|H|=pn,其中p是一个素数，那么H≤Op(G)。

引理2设K和H都是群G的子群，则：

①若H≤K且H是群G的NS*-置换子群，那么H是K的NS*-置换子群；

引理4[10]设p是|G|素因子，P是G的一个正规p-子群。若P每个素数阶子群或者 4阶循环子群(若P是非交换的2-群)都是G的几乎S-置换子群，那么G的每个在P之下的主因子皆循环。

引理6[11]假设G有一个π-Hall子群，其中π是奇素数集合，那么G的所有π-Hall子群在G中皆是共轭的。

2 主要结论及证明

定理1设G是有限群，P是G的一个Sylowp-子群，其中p是|G|的素因子且满足gcd (p-1,|G|)=1。若P的每个极大子群或者在G中有p-幂零补或者是G的NS*-置换子群,那么G是p-幂零的。

证明假设定理不真，并设G是一个极小阶反例,通过以下步骤导岀矛盾。

①G有唯一的极小正规子群N使得G/N是p-幂零的。

②Op′(G)=1。

如若不然，那么D=Op′(G)≠1。由步骤①有N≤D并且G/D≌(G/N)/(D/N)是p-幂零的。这意味着G是p-幂零的，矛盾。所以步骤②成立。

③ Φ(G)=1且Op(G)=N。

若Φ(G)≠1,那么由步骤①,有N≤Φ(G)并且G/Φ(G)≌(G/N)/(Φ(G)/N)是p-幂零的。这意味着G是p-幂零的，矛盾。因此Φ(G)=1。最后根据步骤①及文献[1]定理4.5(1),有Op(G)=N。

④ 最后的矛盾。

显然，P=(P∩M)N。进一步，P∩M是P的一个真子群。因此，存在P的一个极大子群P*,使得P∩M

由引理1④,有P*∩T≤Op(G)=N。这就意味着P*∩T≤P*∩N,从而P*∩T=P*∩N。因此，P*∩T≤(P*∩T)G=(P*∩T)OP(G)P=(P*∩T)P=(P*∩N)P=P*∩N≤N。这就使得(P*∩T)G=1或者(P*∩T)G=P*∩N=N。

如果(P*∩T)G=P*∩N=N,那么N≤P*,从而P=P*N=P*,矛盾。

如果(P*∩T)G=1,那么P*∩T=1。因此|P*||T|整除|G|,故G=P*T,并且|T|p=p。由于N≤T,从而|N|=p。再由步骤①及引理3知G是p-幂零的，这是最后的矛盾。证毕。

注1定理1中的条件gcd (p-1,|G|)=1是必要的。例如，考虑60阶单群A5的素因子p=5,可知A5的Sylow 5-子群的每个极大子群都是平凡子群1。因此A5的Sylow 5-子群的每个极大子群都是G的NS*-置换子群，但是显然A5不是5-幂零的。

定理2设G是有限群，p为|G|的素因子。假设NG(P)是p-幂零的，若G的Sylowp-子群P的每个极大子群或者在G中有p-幂零补或者是G的NS*-置换子群，那么G是p-幂零的。

证明若p=2,则由定理1直接得到G是2-幂零的。因此，不妨令p是一个奇素数。假设定理不真，并设G是一个极小阶反例。通过以下步骤导岀矛盾。

①Op′(G)=1。

假设Op′(G)≠1,考虑商群G/Op′(G)。设M/Op′(G)为POp′(G)/Op′(G)的任意一个极大子群，那么有M=P*Op′(G),其中P*是P的一个极大子群。根据文献[12]引理 3.6.10,有NG/Op′(G)(POp′(G)/Op′(G))=NG(P)Op′(G)/Op′(G)是p-幂零的。再由引理2②,G/Op′(G)满足定理假设，因此G/Op′(G)是p-幂零的，这意味着G也是p-幂零的，与G的极小性选取相矛盾。

②G的每个包含P的真子群皆是p-幂零的。

事实上，若T是包含P的G的真子群，由于NT(P)≤NG(P),从而NT(P)是p-幂零的。据引理2②,显然T满足定理假设，由G的极小性选取，T是p-幂零的。

③Op(G)≠1且G=PQ,其中Q是G的Sylowq-子群，并且q≠p。

由于G不是p-幂零的，因此由文献[13]Thompson定理,存在P的特征子群H使得NG(H)不是p-幂零的。注意到NG(P)是p-幂零的，所以不妨选取P的特征子群H和K,使得H

④G有唯一的极小正规子群N,使得G=NM,其中M是G的一个极大子群，并且N=Op(G)=CG(N)。

设N是G的任意极小正规子群，那么由步骤①和③,N是一个初等交换p-群，且N⊆Op(G)

⑤P的每个极大子群在G中都是NS*-置换的。

事实上，由步骤③可知G是可解的。不妨设P*是P的一个极大子群。如果P*在G中有一个p-幂零补，同理于定理1证明中④(i)的分析，有P=P*,这是一个矛盾。

⑥最后的矛盾。

证明首先证明ⓐ蕴含ⓑ,这是显然的，因为只要令H=1就可以了。

下面利用极小反例法证明ⓑ蕴含ⓐ。若否，设G为极小阶反例，通过以下步骤导岀矛盾。

①H是可解的。

设K是H的任意真子群，则|K|<|G|。令〈x〉是K的任意非循环Sylow子群的素数阶子群或者4阶循环群(若H的Sylow 2-子群非交换)。显然，〈x〉也是H的非循环Sylow子群的素数阶子群或者4阶循环群。依假设〈x〉或者在G中有一个超可解补，或者是G的NS*-置换子群。因此由引理2,〈x〉或者在K中有超可解补，或者是K的NS*-置换子群,于是,K满足定理假设。由G的极小性选取得K是超可解的。再由文献[2]定理3.11.9可知H是可解的。

⑤最后的矛盾。