抗滑桩加固阶梯型边坡稳定性分析

唐迎春

摘 要：以极限分析法为基础，通过建立土质阶梯型边坡抗滑桩支护计算模型，研究了抗滑桩在不同位置加固边坡时的稳定性以及最佳加固位置，分析了桩土间横向力、附加荷载、水平地震力等对阶梯型边坡稳定性的影响。通过外部做功功率和内部能量耗散率的计算，推导出抗滑桩加固阶梯型边坡安全系数Fs的显性表达式。结合算例分析，验证了计算方法的合理性，并深入探究抗滑桩在不同位置时加固边坡安全系数的变化规律和内在机理，分析了高度参数、角度参数、台阶宽度、附加荷载系数以及地震系数对阶梯型边坡稳定性系数的影响规律。

关键词：极限分析法;阶梯型边坡;抗滑桩支护;安全系数

中图分类号：TU443文献标志码：A

doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2020.06.021

Stability Analysis of Stepped Slopes Reinforced with Piles

TANG Yingchun

（School of Management Science and Engineering， Guangxi University of Finance and Economics， Nanning 530003， China）

Abstract： Based on the limit analysis method， the stability of stepped slopes reinforced with piles and the optimal pile location were studied. The influence of lateral forces between piles and soil， the additional load and the horizontal earthquake force on the stability of stepped slopes was analyzed. The explicit formulation of the factor of safety was obtained by equating the external work rate to the internal energy dissipation. Through the numerical example， the validity of the proposed method was confirmed. Moreover， the variation law of the factor of safety under different pile locations was discussed in detail. The results can provide reference for the stability assessment of stepped slopes reinforced with piles in practical engineering.

Key words： limit analysis method; stepped slopes; anti-slide piles; safety factor

在巖土工程中，通过设置桩来稳定边坡是近年来具有创新性和有效性的边坡加固技术[1-2]。到目前为止，研究者们已经提出了许多方法来研究抗滑桩加固边坡稳定性问题，其大多分析集中在直线边坡平面应变机制上，对于阶梯型边坡的稳定性分析还存在着不足。因此，对阶梯型边坡在抗滑桩加固下进行稳定性分析非常有必要。

目前分析边坡稳定性的方法主要归为传统的极限平衡法[3]、数值方法[4-5]、极限分析法[6-7]三类。采用极限平衡法对边坡进行稳定性分析，需要对内力分布进行不同的假设，但这些假设不容易被证明。在过去的几十年中，数值方法被广泛用于常规分析边坡稳定性中，然而，数值模拟通常非常耗时，并且在地质条件复杂时难以实施。相比之下，简单、高效的极限分析方法（Limit Analysis Method，简写为LAM）近十年来在边坡稳定性分析中受到了越来越多的关注。LAM的优点主要包括：不需要在破坏面上进行任何应力假设，只涉及一个未知参数（即边坡安全系数），由内部能量耗散率与外部功率的比值确定，便于计算。然而，大多数现有的LAM仅限用于未设置抗滑桩的边坡问题。

在岩土结构稳定性分析研究中，Chen[8]详细分析了极限分析法在岩土边坡稳定性中的应用;Li等[9]结合Newmark滑块理论与极限上限分析法，求解了地震作用下排桩加固边坡的永久位移;孙志彬[10]基于极限分析的上限定理，给出了确定边坡潜在破坏面的方法。以上研究的对象均为直线边坡，而对于阶梯型边坡，张宏伟[11]分析了强夯施工引起的坡面振动效应变化规律，提出了相应的强夯振动控制标准及强夯隔振措施;Yang等[12]考虑坡角和地震系数等因素对阶梯型边坡三维结构进行了稳定性分析，并列出了不同边坡参数下的安全系数;Chen等[13]考虑阶梯型边坡不同位置和不同强度超载的情况，研究其稳定性以及临界滑动面趋势。

基于以上分析，本文提出了一种利用极限分析上限定理，估算阶梯型边坡在抗滑桩加固下的安全系数Fs的新方法。Fs的表达式通过内部能量耗散功率与外部做功功率的比值得出，通过建立抗滑桩加固下的边坡模型，利用MATLAB优化变量来获得安全系数。此外，提出并计算讨论了阶梯型边坡各关键参数对边坡安全系数的影响。

1 计算模型和计算原理

1.1 计算模型

本文采用极限分析法对阶梯型边坡抗滑桩加固下的稳定问题进行分析，假设边坡土体均质且各向同性，满足理想弹塑性模型，服从库仑屈服准则与相关联流动法则，滑动面为对数螺旋滑动面。建立阶梯型边坡基础计算模型，如图1所示，阶梯型边坡的剖面由水平地面线AB，具有倾斜角度β1的表面线BC，具有宽度a的水平台阶CD和具有倾斜角度β2的表面线DE组成。阶梯型边坡高度为H，上部高度为α1H，下部高度为α2H，其中α1、α2为高度参数，有

α1+α2=1（1）

边坡滑动面穿过阶梯型边坡的顶部和坡趾，滑动土体以角速度ω绕点O旋转破坏，滑动面轨迹为对数螺旋滑动面r（θ）=r0e（θ-θ0）tan φ，基准线OA与OE对应的角度分别为θ0和θh，B、C、D点对应的角度为θB、θC、θD，OA的长度为r0，φ为土体的内摩擦角，也是土体滑动速度v与滑动面切线的夹角。边坡顶部与滑动面接触点A到坡肩B的水平距离为L，坡肩与坡脚的水平距离为LX，抗滑桩与坡脚的水平距离为XF。

1.2 安全系数

在边坡稳定性分析中，强度折减法被广泛用于计算稳定性系数Fs[14-15]，Fs为使边坡达到临界状态时土体强度的折减系数。由于强度折减法只能提供关于Fs的等式，没有明确的表达式，在使用MATLAB对参数进行检索优化时比较复杂且难以实现。除此之外，Swan[16]和Li[17]等将Fs定义为内部能量耗散率与外力做功功率的比值，即

Fs=D/W（2）

式中：D为内部能量耗散率;W为外力做功功率。

该方法提供了Fs明确表达式，在本文中使用该方法计算抗滑桩加固阶梯型边坡的稳定性，并对比分析抗滑桩的最佳位置。

在计算Fs的过程中，对于不同的边坡参数与土体参数，所对应的滑动面不一样。为得到最小Fs以及相对应的滑动面，需要对几何参数（θ0，θh）进行优化，可以表示为

Fs=min f（θ0，θh）（3）

除此之外，在计算过程中还涉及给定的参数土体重度γ、黏聚力c、内摩擦角φ、抗滑桩桩径d以及土坡几何参数。

2 外功率与内能耗散率

在本文中，外力做功包括滑动土体重力做功Wy、附加荷载做功Wq以及水平地震力做功Wk，内能耗散包括滑动面土体摩擦内能耗散DS以及克服抗滑桩桩土间横向力的内能耗散DP。其相应关系用公式表示为

W=Wy+Wq+Wk（4）

D=DS+DP（5）

2.1 外力做功功率计算

阶梯型边坡受土体重力、外部附加应力以及地震力的影响。与著名的Mononobe-Okabe模型[18-19]一样，地震效应被准静态惯性力所取代，其大小可以通过引入水平地震系数k来估算。一般来说，做功的外力由土体自重G、附加应力q和水平地震荷载组成，如图2所示。

2.1.1 土体重力做功

边坡滑动面上部土体重力做功公式为

Wr=ωγr40g1（6）

式中：ω为角速度;γ為土体重度。

式（6）中函数g1的定义为

g1=κ1H（f1-f2-f3-f4-f5）（7）

其中

κ1=e（θh-θ0）tan φsin θh-sin θ0（8）

f1=13（1+9tan2φ）[（3tan φcos θh+sin θh）·

e3（θh-θ0）tan φ-（3tan φcos θ0+sin θ0）]（9）

f2=13κ2sin θ0（cos θ0-12κ2）（10）

f3=13α1κ1（cos θ0-κ2+sin θ0cot β1）·

（cos θ0-κ2-12α1κ1cot β1）（11）

f4=13λaκ1（sin θ0+α1κ1）·

（cos θ0-κ2-α1κ1cot β1-12λaκ1）（12）

f5=13α2κ1e（θh-θ0）tan φsin（θh+β2）sin β2·

[e（θh-θ0）tan φcos θh+12α2κ1cot β2]（13）

κ2=cos θ0-e（θh-θ0）tan φcos θh-

（α1cot β1+α2cot β2+λa）κ1（14）

式中：λa为台阶宽度系数，λa=aH;φ为土体内摩擦角。

2.1.2 附加荷载做功

外部附加荷载做功公式为

Wq=ωqr30g2 （15）

其中函数g2的定义为

g2=κ1κ2H（cos θ0-12κ2）（16）

2.1.3 地震力做功

地震力做功公式为

Wk=ωγkr40g3+ωqkr30g4（17）

其中函数g3和g4的定义为

g3=κ1H（f6-f7-f8-f9-f10）（18）

g4=κ1κ2Hsin θ0 （19）

其中

f6=13（1+9tan2φ）[（3tan φsin θh-cos θh）·

e3（θh-θ0）tan φ-3tan φsin θ0+cos θ0）]（20）

f7=13κ2sin2θ0（21）

f8=13α1κ1（cos θ0-κ2+sin θ0cot β1）·

（sin θ0+12α1κ1） （22）

f9=13λaκ1（sin θ0+α1κ1）2（23）

f10=13α2κ1e（θh-θ0）tan φsin（θh+β2）sin β2g·

g[e（θh-θ0）tan φsin θh-12α2κ1]（24）

2.2 内部耗能计算

2.2.1 内能耗散率

对于边坡对数螺旋滑动面上摩擦耗能DS的计算，Chen[8]已经作出了解答：

DS=∫θhθ0c（υcos φ）rdθcos φ=cr20ω2tan φg·

g{exp[2（θh-θ0）tan φ]-1}（25）

式中：c为土体黏聚力;υ为土体的黏性系数。

2.2.2 桩土间横向力能量损耗

针对抗滑桩加固的边坡，Itot等[20]基于塑性变形理论，对桩土间横向力计算作出了详细解答。然而，不同于单层土坡，在阶梯型边坡坡面进行抗滑桩加固时，需要对不同的坡面分别计算，模型如图3所示。

p（z）=cD1（D1D2）N1/2φtan φ+Nφ-1{1Nφtan φ[exp（D1-D2D2·

Nφtan φtan（π8+φ4））-2N1/2φtan φ-1]+

2tan φ+2N1/2φ+N-1/2φN1/2φtan φ+Nφ-1}-

c[D12tan φ+2N1/2φ+N-1/2φN1/2φtan φ+Nφ-1-2D2N-1/2φ]+

γzNφ[D1（D1D2）N1/2φtan φ+Nφ-1·

exp（D1-D2D2Nφtan φtan（π8+φ4））-D2]（26）

其中

Nφ=tan（π4+φ2）

式中：D1为桩轴间距，在计算中取4d，d为桩径;D2为桩边界间距，在计算中取3d。

桩间横向力做功功率DP由横向力与深度z处的线速度在破坏面深度范围内的乘积来计算，公式为

DP=ω∫h0p（z）l（z）dz（27）

式中：p（z）为深度z处的桩土间横向力;l（z）为深度z处桩土间横向力的力臂;h为桩处破坏面深度。

如图3所示，在BC、CD、DE段设置抗滑桩时，其破坏面深度h并不相同，这需要对其分别进行分析。

（1）在BC段時，有

h=rpsin θp-rhsin θh+α2H+（XF-α2Htan β2-a）tan β1（28）

l（z）=rhsin θh-α2H-（XF-α2Htan β2-a）tan β1+z（29）

rpcos θp+（LX-XF）+L=r0cos θ0（30）

（2）在CD段时，有

h=α2H+rpsin θp-rhsin θh（31）

l（z）=rhsin θh-α2H+z（32）

（3）在DE段时，有

h=rpsin θp-rhsin θh+XFtan β2（33）

l（z）=rhsin θh-XFtan β2+z（34）

式中：rp为破坏面深度h处与O的距离;θp为rp所对应的角度。

3 算例分析与参数分析

3.1 算例计算

本文分析中引入3个无量纲参数（即黏聚力系数λc、附加应力系数λq和阶梯宽度系数λa），它们由下面的表达式定义：

λc=cγH（35）

λq=qγH（36）

λa=aH（37）

边坡几何参数及土体参数见表1。

为验证上述分析计算方法的合理性，表1中给出的参数是直线边坡模型参数，未考虑台阶以及角度参数不同的情况。按照第2节中的Fs计算优化方法，计算得到抗滑桩在坡面不同位置时边坡Fs的变化情况，如图4所示。

由图4可以看出，相比于自然边坡而言，设置抗滑桩能大幅提高边坡稳定性。但在边坡坡面不同位置用抗滑桩进行加固的效果不同。当XF/LX<0.7时，Fs随其增大而增大，在大约XF/LX=0.7处达到最大值，当XF/LX>0.7，Fs逐渐减小。其原因如下：当XF/LX较小时，如XF/LX=0.3，虽然桩土间横向力做功力臂l（z）较大，但其分布范围较小;当XF/LX较大时，如XF/LX=0.9，虽然分布范围较大，但桩土间横向力做功力臂l（z）较小。边坡抗滑桩的最佳加固位置大约在XF/LX=0.7处，这与实际情况以及之前的理论研究得到的结果一致，证明了本文提出的分析计算方法的合理性与可靠性。接下来探讨边坡的几何参数及外力因素对边坡最佳抗滑桩加固位置的影响。

3.2 角度参数的影响

为研究上层边坡与下层边坡的坡角对抗滑桩加固下边坡Fs的影响规律，分别对β1、β2取值45°、55°、65°进行Fs计算，其他参数不变。计算结果如图5、图6所示。

由图5可以看出，随着β1的增大，边坡Fs减小。值得注意的是，当β1大于45°时，在大约XF/LX=0.5位置处，即坡面转角处，Fs有略微的减小，且β1与β2的差值越大，减小的幅度越明显。其原因分析如下：随着边坡角度的增大，土体重力做功功率变大，整体Fs减小;当β1不变，β2变大时，滑动面也会随之变化，导致桩土间横向力分布范围变小，使破坏结构内能耗散相对于外功率明显减小，导致Fs变小。除此之外，随着β1的增大，抗滑桩最佳加固位置不再处于XF/LX=0.7位置处，而向XF/LX>0.7的方向转移。由图6可以看出，随着β2的增大，边坡Fs减小。与β1的影响类似，抗滑桩最佳加固位置稍微向XF/LX>0.7的方向转移。对比图5与图6可以看出，β2增大导致Fs减小的程度远大于β1的影响，原因是β1增大时，边坡呈凹形，相较于β2增大时，边坡呈凸形更稳定。

3.3 高度参数的影响

为研究高度参数α1和α2对抗滑桩加固下边坡Fs的影响规律，根据式（1），分别选用高度参数α1为0.1、0.3、0.5、0.7、0.9进行抗滑桩加固边坡Fs的计算，λa=0.1，其他参数取值不变。结果如图7所示。

从图7可以看出，边坡Fs随高度参数的变化明显，即阶梯型边坡中台阶所处的位置对边坡稳定性有很大的影响。整体来看，随着高度参数α1增大，即随着台阶的高度降低，边坡的稳定性明显增强。值得注意的是，Fs曲线除了在大约XF/LX=0.7处存在波峰，在台阶所在位置处设置抗滑桩加固时也存在波峰的情况。其原因分析如下：从图3中可以看出，C点与D点高度相同，但在这两处设置抗滑桩时，D点的横向力分布范围更大，且其力臂l（z）相同，导致桩土间横向力耗能增大，所以在D点（下层边坡与台阶交界处）抗滑桩加固时抗滑作用更显著。

综上所述，当台阶处于0.7LX处时，在XF/LX=0.7处进行抗滑桩加固，其加固效果叠加增大。当台阶位于其他位置时，还需对比分析下层边坡与台阶交界处的安全系数。

3.4 台阶宽度的影响

为研究台阶宽度对抗滑桩加固下边坡Fs的影响规律，分别对λa取值0.10、0.15、0.20、0.25、0.30时的Fs进行计算，其他参数不变，结果如图8所示。

由图8可以看出，边坡其他参数相同的情况下，其在抗滑桩加固下的Fs整体随着台阶宽度的增大而增大，且台阶宽度对边坡Fs影响非常显著。除此之外，在3.3节中提到对阶梯型边坡进行抗滑桩加固时，最佳加固位置除了XF/LX=0.7处，还需考虑下层边坡与台阶交界处，在图8中其影响更加明显。随着台阶宽度的增加，在台阶上该交界处进行抗滑桩加固时，Fs更大，加固效果更为显著。

3.5 附加荷载系数与地震系数的影响

为研究附加荷载与地震系数对抗滑桩加固下边坡Fs的影响规律，分别对λq取值0.00、0.05、0.10、0.20，以及k取值0.00、0.05、0.10、0.20，λa=0.1，进行计算，其他参数不变。结果如图9、图10所示。

由图9可以看出，在其他参数不变时，随着附加荷载系数的增大，边坡Fs减小。由图10可以看出，其他参数不变时，地震系数增大，边坡稳定性降低。两者变化规律基本一致，原因是附加荷载系数以及地震系数增大，会导致式（4）中的Wq与Wk相较于其他项有较大提升，使得破坏结构的外部做功功率比内能耗散率明显增大，导致Fs减小。

4 结 语

通过建立抗滑桩加固阶梯型边坡模型，考慮阶梯型边坡高度参数、角度参数、台阶宽度、附加荷载系数以及地震系数等因素，计算分析了在边坡不同位置进行抗滑桩加固时的Fs，得出以下结论：

（1）单层均质土坡抗滑桩最佳加固位置在XF/LX=0.7处，但对于阶梯型边坡，需要额外考虑下层边坡与台阶交界处，当台阶宽度较大时，该处可能为最佳加固位置。

（2）对阶梯型边坡而言，下层边坡角度增大比上层边坡角度增大导致的Fs下降更明显。其他参数不变的情况下，台阶在边坡所处高度越高，边坡Fs越小，其宽度越大，边坡Fs越大。附加荷载以及地震力均对阶梯型边坡有负面影响，且地震系数的影响幅度较大。

（3）三维情况下群桩加固阶梯型边坡的安全稳定性是今后的研究方向。

致谢：本论文在研究中得到“管理科学与工程学科建设经费”支持，在此表示感谢！

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【責任编辑 张华岩】